新教材2024版高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)章末素養(yǎng)提升課件新人教A版必修第一冊(cè)

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)章末素養(yǎng)提升|體系構(gòu)建||核心歸納|(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪也適用．2．對(duì)數(shù)重要公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)(a＞0，且a≠1，N＞0)①loga1＝0；logaa＝1；②alogaN＝N；logaaN＝N．3．指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logaxa＞10＜a＜1a＞10＜a＜1圖象

定義域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logaxa＞10＜a＜1a＞10＜a＜1性質(zhì)過定點(diǎn)(0，1)過定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x＞0時(shí)，y＞1；當(dāng)x＜0時(shí)，0＜y＜1當(dāng)x＞0時(shí)，0＜y＜1；當(dāng)x＜0時(shí)，y＞1當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減在(0，＋∞)上單調(diào)遞增在(0，＋∞)上單調(diào)遞減函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logaxa＞10＜a＜1a＞10＜a＜1底數(shù)大小的比較

注：指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(如圖所示)．4．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．5．給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下：(1)確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)＜0，給定精確度ε．(2)求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c．(3)計(jì)算f(c)．①若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若f(a)·f(c)＜0，則令b＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)＜0，則令a＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b))．(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|＜ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)，否則重復(fù)(2)～(4)．6．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)比較性質(zhì)函數(shù)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性單調(diào)遞增，且a越大，增長(zhǎng)越快單調(diào)遞增，且a越小，增長(zhǎng)越快單調(diào)遞增，且x＞1時(shí)，n越大，增長(zhǎng)越快增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢越來越快圖象的變化隨x的增大越來越陡隨x的增大逐漸變緩隨著n值的不同而不同選取上述三個(gè)增長(zhǎng)函數(shù)模型時(shí)，應(yīng)注意：(1)當(dāng)描述增長(zhǎng)速度變化很快時(shí)，常常選用指數(shù)函數(shù)模型．(2)當(dāng)要求不斷增長(zhǎng)，但又不會(huì)增長(zhǎng)過快，也不會(huì)增長(zhǎng)到很大時(shí)，常常選用對(duì)數(shù)函數(shù)模型．(3)冪函數(shù)模型y＝xn(n＞0)可以描述增長(zhǎng)幅度不同的變化．當(dāng)n值較小(n≤1)時(shí)，增長(zhǎng)較慢；當(dāng)n值較大(n＞1)時(shí)，增長(zhǎng)較快．7．建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本思路|素養(yǎng)提升|(一)函數(shù)與方程思想思想方法解讀：函數(shù)的某一種狀態(tài)就是方程，例如，方程的問題可以利用它對(duì)應(yīng)的函數(shù)的性質(zhì)來解決，而函數(shù)的許多問題則需要利用方程來解決．函數(shù)思想是從變量出發(fā)研究整體的性質(zhì)，而方程思想則是從未知數(shù)的角度出發(fā)，研究函數(shù)在某一狀態(tài)下的性質(zhì)．【點(diǎn)評(píng)】要注意在含變量的數(shù)學(xué)問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化．一般地，已知范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù)．1．已知函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象過點(diǎn)(－2，16)．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若f(2m＋5)＜f(3m＋3)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．(二)數(shù)形結(jié)合思想思想方法解讀：用分析圖形的方法解決問題，一方面要發(fā)揮圖形的直觀形象的作用，另一方面要注意畫圖的準(zhǔn)確性、完整性和對(duì)圖形的觀察是否細(xì)致，并注意結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算來完成．【答案】(1)－1

(2)(－∞，0)∪[1，＋∞)【解析】(1)由分段函數(shù)的表達(dá)式，得f(－1)＝2－(－1)＝2，f(2)＝a＋1，則由f(f(－1))＝0，得f(2)＝a＋1＝0，得實(shí)數(shù)a＝－1．作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示．由圖象知當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，且f(x)＞1，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤1．所以要使直線y＝m與y＝f(x)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m≥1或m＜0，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，0)∪[1，＋∞)．

【點(diǎn)評(píng)】數(shù)形結(jié)合思想能把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機(jī)結(jié)合起來，通過對(duì)規(guī)范圖形或示意圖的觀察分析，化抽象為具體，化直觀為精確，從而使問題得解．【答案】1【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中作函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，依題意，h(x)的圖象如圖所示．易知A(2，1)為圖象的最高點(diǎn)，因此h(x)的最大值為h(2)＝1．(三)分類與整合思想思想方法解讀：涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)a不確定時(shí)，要分0＜a＜1和a＞1討論；涉及形如f(x)＝ax2＋bx＋c的函數(shù)，要分a＝0和a≠0討論．【答案】C【解析】當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)＝－x＋6，f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞減，所以f(x)∈[4，＋∞)．當(dāng)x＞2時(shí)，若a∈(0，1)，則f(x)＝3＋logax在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，f(x)∈(－∞，3＋loga2)，顯然不滿足題意，故a＞1，此時(shí)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)∈(3＋loga2，＋∞)．由題意可知(3＋loga2，＋∞)?[4，＋∞)，則3＋loga2≥4，即loga2≥1，解得1＜a≤2．故選C．【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，往往對(duì)底數(shù)是否大于1進(jìn)行討論，這是由它的性質(zhì)決定的．在處理分段函數(shù)問題時(shí)，首先要確定自變量的取值屬于哪個(gè)區(qū)間段，再選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)法則，離開定義域討論問題是產(chǎn)生錯(cuò)誤的重要原因之一．3．(2022年金華期中)當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2＋4(a＋1)x－3在x＝2時(shí)取得最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．|思想方法|1．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算——指數(shù)運(yùn)數(shù)中的學(xué)科素養(yǎng)指數(shù)的運(yùn)算除了熟練運(yùn)用定義和法則外，根據(jù)不同的題目結(jié)構(gòu)，會(huì)有不同的方法技巧，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．化簡(jiǎn)下列各式(x＞0，y＞0)：【思路點(diǎn)撥】

善于根據(jù)題目特點(diǎn)利用平方差公式、立方差、立方和公式化簡(jiǎn)．【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于分式的化簡(jiǎn)求值，我們應(yīng)著重掌握乘法公式在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中的應(yīng)用，并能靈活運(yùn)用乘法公式，熟記并靈活使用下列常用公式：①a2－b2＝(a－b)·(a＋b)；②a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．2．?dāng)?shù)學(xué)抽象——指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)中的學(xué)科素養(yǎng)大量的抽象函數(shù)都是以中學(xué)階段所學(xué)的基本初等函數(shù)為背景抽象而得．解題時(shí)，若能從研究抽象函數(shù)的背景入手，通過類比、猜想出它們可能為某種基本初等函數(shù)，常可找到解題的切入點(diǎn)，進(jìn)而加以解決．(一)以指數(shù)函數(shù)為模型的抽象函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，滿足條件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，對(duì)任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．(1)求f(0)；(2)對(duì)任意x∈R，判斷f(x)值的正負(fù)．【思路點(diǎn)撥】由已知猜想f(x)是指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的抽象函數(shù)，從而猜想f(0)＝1，且f(x)＞0．解：(1)將y＝0代入f(x＋y)＝f(x)·f(y)，得f(x)＝f(x)·f(0)，于是有f(x)[1－f(0)]＝0．若f(x)＝0，則對(duì)任意x1≠x2，有f(x1)＝f(x2)＝0，這與已知題設(shè)矛盾，所以f(x)≠0，從而f(0)＝1．(2)設(shè)x＝y(tǒng)≠0，則f(2x)＝f(x)·f(x)＝[f(x)]2≥0．又由(1)知f(x)≠0，所以f(2x)＞0．由x為任意實(shí)數(shù)，知f(x)＞0．故對(duì)任意x∈R，都有f(x)＞0．【點(diǎn)評(píng)】從已知條件聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)模型，為問題的解決指出了方向．但在推導(dǎo)過程中，說理的嚴(yán)密性是很重要的，如不能由f(x)[1－f(0)]＝0，直接得出f(0)＝1，這是求解有關(guān)抽象函數(shù)問題時(shí)必須注意的地方．【思路點(diǎn)撥】由已知猜想f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的抽象函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】(1)對(duì)不等式右端的“2”進(jìn)行變形是本題求解的關(guān)鍵之處；(2)本題是增函數(shù)概念“若x1＜x2，則f(x1)＜f(x2)”的逆用．利用這個(gè)性質(zhì)可以去掉函數(shù)的符號(hào)“f”，從而使問題得以解決．|鏈接高考|指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算【答案】C【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，將L＝4.9代入題中所給公式，計(jì)算即可求出結(jié)果．【答案】C【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算，注意整體代入思想的運(yùn)用，屬基礎(chǔ)題．

(2022年天津)化簡(jiǎn)(2log43＋log83)·(log32＋log92)的值為 (

)A．1 B．2C．4 D．6【答案】B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的換底公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．【答案】C【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)的運(yùn)算與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．【答案】C指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷函數(shù)值大小，是基礎(chǔ)題．

(2021年新高考Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，則a＝______