電路第十四章上

在含有L,C的電路中，出現(xiàn)隨時(shí)間變化的電壓電流，描述電路的方程是微分方程。在處理正弦電路穩(wěn)態(tài)分析時(shí)，我們成功地引入了相量法，變微分方程為復(fù)變量代數(shù)方程，簡(jiǎn)化了正弦穩(wěn)態(tài)分析。在暫態(tài)分析中處理高階微分方程是困難的。本章介紹拉普拉斯變換就是一種化微分方程為代數(shù)方程的一般性方法，是線性電路分析的一種基本工具，與微分方程的時(shí)域分析不同，用拉普拉斯變換的方法進(jìn)行電路分析稱為頻域分析，又稱運(yùn)算法。第十四章線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

——拉普拉斯變換拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)上的積分變換方法，可將時(shí)域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程來(lái)求解。時(shí)域微分方程頻域代數(shù)方程拉氏變換拉氏逆變換求解時(shí)域解優(yōu)點(diǎn)：不需要確定積分常數(shù)，適用于高階復(fù)雜的動(dòng)態(tài)電路。重點(diǎn)：1.運(yùn)算形式的電路定律和元件約束2.用運(yùn)算法分析線性電路14.1

拉氏變換的定義拉普拉斯變換的簡(jiǎn)介拉普拉斯變換是由英國(guó)工程師哈維賽發(fā)展來(lái)的，是應(yīng)用在電路上及控制工程上的相當(dāng)好的一種方法，我們利用此一方法，可不必先求出微分方程的通解，經(jīng)由已知的條件再去求出常數(shù)，此法遠(yuǎn)比其它方法簡(jiǎn)單、迅速，可應(yīng)用于微分方程式，積分方程式，差分方程式及邊界值問(wèn)題的應(yīng)用等。1.拉普拉斯變換的定義

一個(gè)定義在[0,

)的f(t)，它的拉普拉斯變換式F(s)定義為f(t)的象函數(shù)，F(xiàn)(s)其中，

簡(jiǎn)稱拉氏變換

拉氏變換把一個(gè)時(shí)間域的函數(shù)f(t)變換為一個(gè)s域內(nèi)的復(fù)變函數(shù)F(s)；積分下限取0

可以計(jì)及t=0時(shí)f(t)包含的沖激，給計(jì)算沖激響應(yīng)帶來(lái)方便。如果已知F(s)，求它對(duì)應(yīng)的f(t)，則稱為拉普拉斯反變換，且有

F(s)的原函數(shù)，f(t)簡(jiǎn)寫：

L[f(t)]表示對(duì)f(t)作拉氏變換;L1[F(s)]表示對(duì)F(s)作拉氏反變換例題：求下列函數(shù)的象函數(shù)。1.單位階躍函數(shù)；2.單位沖擊函數(shù)；3.指數(shù)函數(shù)解：1.單位階躍函數(shù)的象函數(shù)：2.單位沖擊函數(shù)的象函數(shù)：3.指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)：14.2

拉氏變換基本性質(zhì)1.線性性質(zhì)例題：例題：2.微分性質(zhì)例題：3.積分性質(zhì)4.延遲性質(zhì)1Ttf(t)5.

頻域平移性質(zhì)補(bǔ)充：頻域?qū)?shù)性質(zhì)積分小結(jié)：微分1Ttf(t)由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對(duì)F(S)進(jìn)行部分分式展開14.3

拉普拉斯反變換的部分分式展開電路響應(yīng)的象函數(shù)通?？杀硎緸閮蓚€(gè)實(shí)系數(shù)的s的多項(xiàng)式之比，即s的一個(gè)有理式：式中m和n為正整數(shù)，且n≥m。用部分分式展開真分式時(shí)，需要對(duì)分母多項(xiàng)式作因式分解，求出D（s）＝0的根。下面分幾種情況進(jìn)行討論：1.如果D(s)＝0有n個(gè)單根，設(shè)n個(gè)單根分別是p1,p2…,pn。于是F(s)可以展開為：待定系數(shù)Ki：也可用求極限的方法來(lái)求：例題：解：k1=1，k2=-3，k3=3例解：令D(s)=0，則s1=0，s2=－2，s3=－52.如果D(s)＝0有共軛復(fù)根p1=α+jω,

p2=α-jω,則由于F(s)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式之比，故K1,K2為共軛復(fù)數(shù)。例題：解：有共軛復(fù)根：p1=-1+j2,p2=-1-j2例：求的原函數(shù)3.如果D(s)＝0有重根，則應(yīng)含(s-p1)n的因式?，F(xiàn)設(shè)D(s)中含有(s-p1)3的因式，p1為D(s)＝0的三重根，其余為單根，則例題：解：小結(jié)：1.)n=m時(shí)將F(S)化成真分式1.由F(S)求f(t)的步驟2.)求真分式分母的根，確定分解單元3.)求各部分分式的系數(shù)4.)對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換。2.拉氏變換法分析電路正變換反變換元件相量形式電路模型類似地運(yùn)算阻抗、運(yùn)算導(dǎo)納運(yùn)算形式電路模型復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納運(yùn)算形式KCL、KVL元件相量形式KCL、KVL§14.4

運(yùn)算電路二、R,L(M),C的運(yùn)算電路1、電阻的運(yùn)算電路一、基爾霍夫定律的運(yùn)算形式對(duì)任一節(jié)點(diǎn):對(duì)任一回路:R+–u(t)i(t)R+–U(s)I(s)電感的約束方程又可寫成：式中1/sL是電感的運(yùn)算導(dǎo)納；i(0-)/s是附加電流源的電流。2、電感的運(yùn)算電路其中,sL是電感的運(yùn)算阻抗；Li(0-)是附加電源電壓，反映電感的初始能量。L+–u(t)i(t)+–I(s)sLU(s)+–Li(0

)I(s)+–U(s)i(0

)/s3、電容的運(yùn)算電路電容的約束方程又可為：+–u(t)i(t)+–C+–I(s)U(s)–+–+sCI(s)+–U(s)Cu(0

)–+4、互感的運(yùn)算電路+i1i2+––u1u2ML1L2––++I1(s)–U1(s)sMsL1sL2U2(s)++++––I2(s)L1i1(0

)L2i2(0

)Mi2(0

)

Mi1(0

)

–注意：自感壓降uL和互感壓降uM

都對(duì)應(yīng)象函數(shù)中的兩項(xiàng)。Mi(0-)是互感引起的附加電源，其極性與電壓、電流的參考方向以及同名端有關(guān)。sM

為互感運(yùn)算阻抗。5、受控源的運(yùn)算電路–++–iR+–u1u2

u1

U1(s)–++–R+–U1(s)I(s)U2(s)u1=Riu2=

u1稱為端口的運(yùn)算阻抗運(yùn)算形式歐姆定律三、運(yùn)算電路+–R+iCLuCuL–+u–UC(s)+–R+I(s)sL–+–UL(s)U(s)1.運(yùn)算阻抗和運(yùn)算導(dǎo)納由KVL，得

對(duì)該方程取拉氏變換，有稱為端口的運(yùn)算導(dǎo)納令

則

有

又令

運(yùn)算阻抗+–R+iCLuCuL–+u–對(duì)該方程取拉氏變換，有R+I(s)sL+–U(s)+–Li(0

)–uC(0

)s運(yùn)算電路ii)如果

L

、C

有初值，初值應(yīng)考慮為附加電源。i)電壓電流用象函數(shù)表示，元件用運(yùn)算形式表示；2.如何畫運(yùn)算電路？例1.i2+i1–LR2CUS

(t)時(shí)域電路i2i1US(s)R1+–R2I1(s)CI2(s)US

(t)LsL例5Ω1F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-uc+

-iL時(shí)域電路t=0時(shí)打開開關(guān)t>0運(yùn)算電路200.5S-++-1/S25/S2.55IL(S)UC(S)步驟：1.由換路前電路計(jì)算uc(0-),iL(0-)2.畫運(yùn)算電路圖3.應(yīng)用電路分析方法求響應(yīng)的象函數(shù)4.反變換求原函數(shù)§14.5

應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路2)畫運(yùn)算電路

iL

1000

F200V+–+–30

10

0.1HS(t=0)uC例1：已知uC(0

)=100V,t=0時(shí)閉合S,求iL、uL。解：1）求初值

iL(0

)=5A，uC(0

)=100VI1(s)

0.5

I2(s)

+–+–30

10

0.1s

IL(s)

+–1000s

100s

200s

I2(s)

3)應(yīng)用回路法

解方程得

4)反變換求原函數(shù)

根據(jù)D(s)根，I1(s)可分解為其中求UL(s)0.5

I2(s)

+–+–30

10

0.1s

IL(s)

+–1000s

100s

200s

UL(s)解：例2.

若給定u(t)=12sin5t,uC(0

)=1V,iL(0

)=5A,R=6

,L=1H,

C=0.04F,求i(t)。uCu(t)

+–+R

i(t)

S(t=0)L

–CU(s)=L[u(t)]=L[12sin5t]，由運(yùn)算電路得I(s)

5

+–+6

s

–+–s25–+U(s)

1s所以：例3.

在圖示電路中，uC1(0-)=0,uC2(0-)=0.C1=1F,C2=2F，求沖擊響應(yīng)uC1(t),iC1(t),uC2(t),iC2(t)解：1

iC1(t)

+–+–C1C2iC2(t)

1

+–uC1(t)

(t)

uC2(t)

uC1(t)

IC2(s)

IC1(s)

11+–+–1+–UC1(s)

UC2(s)

UC1(s)

1/s1/2s

作出運(yùn)算電路如圖節(jié)點(diǎn)方程：整理：解得：例4.

圖示電路中，求開關(guān)打開后的電流及兩電感元件上的電壓。解：3

iL1(t)

10V–2

S(t=0)0.3H0.1H+s101.5+–3

I(s)

–20.3s0.1s+iL1(0-)=10/2=5A，畫出運(yùn)算電路，則可得即電流初值可以使用磁鏈?zhǔn)睾阌?jì)算：說(shuō)明：兩個(gè)線圈作為一個(gè)系統(tǒng)觀察，其上并無(wú)沖擊電壓，故系統(tǒng)的總磁鏈應(yīng)守恒。3

iL1(t)

10V–2

S(t=0)0.3H0.1H+即1突變的電流的初值還可以這樣計(jì)算：故有i(0+)=3.75A在t=0+時(shí)，由KCL:iL1(0–)

iL1(0+)，iL2(0+)

iL2(0–)，即iL1、

iL2都發(fā)生了突變，L1和L2上都有沖激電壓；注意到t=0時(shí)KVL必須成立，所以回路上的兩個(gè)沖激電壓必須等值反向如圖所示：–iL2(t)

+10V+–3

–2

0.3H0.1H+iL1(t)

K

K

i(t)

由iL1(0+)=iL2(0+)L1i1(0-)

I2(s)

+sM

–+–R2

sL1

sL2

R1

–+I1(s)

US2sMi1(0-)

（1）

當(dāng)本回路電流通過(guò)的線圈間存在互感時(shí)，自阻抗中增加一項(xiàng)互感自阻抗，若回路電流流過(guò)順向串聯(lián)的互感線圈則取“﹢”號(hào)，反之取“﹣”號(hào)。含有互感的電路列寫回路電流法小結(jié)：（2）任何兩個(gè)回路電流通過(guò)的線圈間存在互感時(shí)，互阻抗中增加一項(xiàng)互感互阻抗，若兩回路電流的參考方向?qū)ν艘恢聲r(shí)取“﹢”號(hào)，反之取“﹣”號(hào)。解：寫回路方程：5.在圖示電路中求互感電壓uM1和uM2。解方程得出I1(s),I2(s)+M

US1

–+–R2

L1

L2

i2

i1

R1

US2

L1i1(0-)

I2(s)

+sM