安徽省淮北市樹人高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第二學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試卷

高二第二學(xué)期開學(xué)考試卷數(shù)學(xué)理

1.若復(fù)數(shù)z=±2,則5=（）

1-1

A.3+2iB.—3+2iC.—3—2iD.3—2i

2,下列四個命題中真命題的個數(shù)是（）

①。二1”是“好一4x+3=0”的充分不必要條件；

②命題FeR,sinx<1"的否定是a3x6R，sinx>1"；

③“若mF<6一則a<b"的逆命題為真命題;

④命題p；VX6[1,lgX>0,命出如TxwR,爐+叉+1<0,則pvq為真命題.

A.0B.1C.2D.3

3.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cn1）,則該幾何體的表面積（單位：\

cm2）>（）IT

正視圖側(cè)視圖

s

A.16+26B.16+2V6

mm

B.C.18+2百D.18+26

4.極坐標系中，圓p=1上的點到直線Pcose+Psin0=2的距離最大值為（）

A.\2B.y/2+1C.\/2—1D.2V2

5.已知I=(Jsind),b=(cos。,；)且a//b,則銳角a的大小為（）

5x

A.-B.C.D

643-77

6.已知直線ax+by+c-1=0(bc>0)經(jīng)過IBx：+y。一2y—5=0的圓心，則：的最小值

是()

A.10B.25C.4D.9

7.如圖，在長方形OABC內(nèi)任取一點P(x,y),則點P落在陰影部分BCD內(nèi)的概率為()

8.等差數(shù)列｛aj與｛bj的前n項和分別為Sn和7，若轉(zhuǎn)=鬻，則'=()

A.-B.-C.-D.-

27282930

9.已知a,b,c分別為△ABC的三個內(nèi)角4B,C的對邊，a=2,

(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,貝必48c面積的最大值為()

A.2B.V3C0D.2

333

10.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)丫=/'(為的圖象如圖所示，給出下列命題：

①一3是函數(shù)y=/(x)的極值點；

②-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點；

③y=f(x)在區(qū)間(一3,1)上單調(diào)遞增；

④y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零.以上正確命題的序號是()

A.①②B.③④C.@(3)1).②④

11.如圖，F(xiàn)r%是雙曲線C：l(a>0)的左，右焦點.過F0的直線與雙曲線C的兩

條漸近線分別交于A,B兩點，若點A為F4的中點，且F1B1.F;;B,則正#2|=()

A.4B.4V3C.6I).9

12.已知函數(shù)/"(X)=a*(a>0,且a=1)的圖象在(0,1)處的切線方程為y=24+1,若

f(x)2mx+x恒成立，則m的取值范圍為()

A.[-l,2e-1]B.(-?2e-1]C.[-l,e-1]D.(-?,e-1]

|2x—y—l>0,

13.設(shè)x,y滿足約束條件(2x+y-7v0,則z=2x—3y的最小值為

(2x+3y-5>0,

14.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-A3co中，側(cè)棱上4,底面A3cO,BCPAD,

ZABC=90°,PA=AB=HC=2,AD=\,則AD到平面P8C的距離為.

15.已知M是拋物線x2=4y上一點，F(xiàn)為其焦點，點A在圓(：：a+1》+@—6尸=1上，則

|MA|+|MF|的最小值是.

16.在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,下列結(jié)論中正確的選項有.

①，若4>B,則sirU>sinS；

②，若sin24=sin2B,則△ABC可能為等腰三角形或直角三角形；

③，若acosB-bcosA=c,則△月BC定為直角三角形；

④，若B=1a=2且該三角形有兩解，則b的取值范圍是(VX2)

17.已知函數(shù)/'(X)=Zcos:cox-1+2V5cos3xsin3X(0<3<1),直線x=￡是函數(shù)/(x)的圖

象的一條對稱軸.

(1)求函數(shù)r(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)已知函數(shù)丫=g(x)的圖象是由y=f(x)的圖象上的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再

向左平移半個單位長度得到的，若g(2a+》==,ere(0,2).求sina的值

18.設(shè)數(shù)列｛aj的前n項和為Sn，已知2Sn=30+3.

(1)求｛an｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛bn｝滿足anbn=log^n，求(bj的前n項和

19.如圖，長方體ABCO-AACQ的底面ABC。是正方形，點E在棱AA上，BE±EC,.

⑴證明：應(yīng)」平面EBC；B-EC-G

(2)若AE=AE，求二面角的正弦值.c

20.已知橢圓。捻+\=11〉1)>0)的離心率為手點(01)為(：上一點.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設(shè)坐標原點為。，點A,B在C上，點Pi商足而=61+加，且直線OA,OB的斜率之積為一；,

證明：京:+加二為定值.

21.函數(shù)g(x)=(x+a+2)ex,acR.

(1)討論g(x)的單調(diào)性；

(2)若對任意xeR,不等式g(x)-2ex>3ex-M亙成立，求實數(shù)a的取值范圍.

22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))，直線]的參數(shù)方程為

xOyC[x=2cos?’(0

(y=2sin0

卜g+tcosa,?為參數(shù))

(y=1+tsinCl

(1)求C的普通方程，并判斷直線1與曲線C的公共點的個數(shù)；

(2)若曲線C截直線1所得弦長為2V3,求tanCL的值.

23.(10分)已知函數(shù)/'(X)=|x-a|.

⑴當Q=3時，求不等式>2|x+l|+1的解集；

(2)若對任意x6[3,5],不等式/'(x)<\2x-5|+x恒成立，求a的取值范圍.

數(shù)學(xué)理科答案

1、【答案】D

【解析】

田％(5一i)(l+i)6+4i_.

因為z=---------=-----=3+21,z=3—21.

22

故選：D.

2.【答案】D

【考點】

命題的真假判斷與應(yīng)用

【解析】

對四個，命題分別進行判斷，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：①由x=l,則爐-4x+3=0,

反之，由X，—4x+3=0,得：x=3,或x=1,

所以，“％=1”是“爐一4x+3=0”的充分不必要條件，故正確；

②命題6R，sirix<1n的否定是“mxeR，sinx>1”,故正確；

③“若am二<bm:,則a<b”的逆命題為"若a<b,則am。<bm2，>若m=0時不符合，是

假命題，故不正確；

④命題p：vxc[1,+8),1即20,正確，

命題qTxeR,x:+x+1<0,不正確，

因為二二+x+1=(x+》]+2>0恒成立，pvq為真，故正確.

故選D.

3答案：C

解析：幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為由棱長為2的正方體切去一個正三棱錐

體A-BCO構(gòu)成的不規(guī)則幾何體.如圖，所以

s表=4x6-3xlx2x2+^x2>/2x2>/2x^=18+2>/3

故選C.

4?【解答】B

解：由題意可知圓的方程為A+y：=1,圓心坐標為(0,0),半徑為1,直線為x+y=2,

圓心到直線的距離為d=4A=0，

所以圓上的點到直線的最大距離為在+1.

故選B.

5.B【解答】

解：由題知la//b,得;xj-sinClcosCl=0,

解得sinacosCL==,即sin2a=L

,/a為銳角，即ae(o,4)1

:.2Q6(0.71),

2a==，即a=—.

故選B.

6.D【解答】

解：圓^+丫:-2丫-5=0化成標準方程，得x「+(y-l>=6,

圓x，+y2-2y—5=。的圓心為C(0,1),半徑r=V6.

;直線ax+by+c-1=。經(jīng)過圓心C,

:.axO+bxl+c—1=0,即b+c=1,

因此,：+9=8+0(/；)=弋+：+5,

*/b,c>0,

???爭+匚22號=4,當且僅當爭》=2時等號成立.

be\Jbcbc

由此可得當b=2c,即b=：且c=；時，"上+5的最小值為9.

33bcbc

故選D.

7.D

【答案】

8.【答案】A

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得*=f=產(chǎn)產(chǎn)=

b?2b7bi+bia

±LyUx13_S13_2X13Y_37

星李I(lǐng)嬴-Tj-2X13+1-27'

故選A.

9.【解答】B

解:因為(2+b)(sia4-sinB)=(c-b)sinC

=>(2+b)(a-b)=(c-b)c

2a-2b+ab-b:=c--be.

又因為a=2,

所以2a-b2=c2-be

=配+c，—a二=be

=cos/1=------Z-b--c=-2，

ir

=?A!=-,

3

△ABC面積5=-2bcsinA=-4be,

而爐+c2-a二=be

=爐+c，—be=a，

n爐+c，-be=4

=>he<4,

所以S=士匕csin/l=亙尻人b，即△ABC面積的最大值為J5.

24

故選B.

10.【答案】C

【解答】

解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知：當xe(-8,_3)時，

ff(%)<0,在xc(-3,1)時，f'(x)>0,

故函數(shù)y=f(x)在(一'一3)上單調(diào)遞減，

在(一3,1)上單調(diào)遞增，故③正確；

則一3是函數(shù)y=f(x)的極小值點，故①正確；

在(一3,1)上單調(diào)遞增，故一1不是函數(shù)y=/(x)的最小值點，故②不正確;

函數(shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)大于0,

即在x=0處切線的斜率大于零，故④不正確.

故選C.

11.【解答】A

解：因為點A為F4的中點，

所以O(shè)A〃￡B.

又F[B±F二B,

所以0A1RB,|OF」=|OF/=|OB|,

所以NAO%=ZAOB=ZBOFX=60°,

所以^=tan60°=>/3f

a

所以a=1,

所以艮F；|=2/m=4.

故選A.

12.【答案】A

【解答】

解：因為/1(%)=ax,所以r'(x)=axlna.

又函數(shù)f(x)的圖象在(0.1)處的切線方程為y=2x+L

所以/?'(0)=aOlna=2,解得a=e;，

所以/"GO=e"

因為/'(x)>mx+x恒成立，

所以e2mx+x恒成立.

當x=0時，e。20成立;

當xh0時，令g(x)=1-1,則g(x)=f?

當x6(-^(^^^(。.鄉(xiāng)時，g(x)<0,g(x)在(一8,0)和(0.5)上單調(diào)遞減.

當xeg,+8)時，屋(x)>0,g(x)在住+8)上單調(diào)遞增.

當x>0時，m<■—1恒成立，

所以=g^)=2e-1.

當x<0時，m>■—1恒成立，而g(x)=彳--1<一1,

所以m>-1.

綜上，-1wmw2e-1,

所以m的取值范圍為[—L2e-1].

故選4

13.【答案】-5

【解析】

作可行域，結(jié)合目標函數(shù)所表示的直線確定最優(yōu)解，解得結(jié)果.

【解答】

2x-y-1>0,

2x+y-7<0>的可行域，

(2x+3y-5>0

當直線z=2x-3y經(jīng)過點A(2,3)時，=2x2-3x3=-5.

故答案為：—5.

14.答案：&

解析：分析知AB,AO,AP兩兩垂直，.?.可建立以A為坐標原點，所在的直線分別

為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系(如圖所示)，

則A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,P（0,0,2）,PB=（2,0,-2）,BC=（0,2,0）,設(shè)平面PBC的法向量

（utr

、，/.\…〃PB=O口r[2。-2c住?,八…F.

為〃=（a,Z?,c）,則｛uuui，即1，取a=1,則Mb=0cl=，則〃=制）是平面PBC

，i,BC=O[2b=0

uim

的一個法向量.又罰=(2,0,0),4)「平面PBC,.?.所求距離為理

\n\

15.

【解答】

解：由題設(shè)得拋物線的焦點F(O,1),準線方程為y=—L

如圖所示，

由拋物線定義得|MP|=|MF|,

當A,M,P三點共線時，|MA|+|MF|的值最小，即CM_Lx軸,

此時|MA|+|MF|=|AP|=|CP|-1=7-1=6.

故答案為：6.

16.【答案】①②③④

【考點】

解三角形

命題的真假判斷與應(yīng)用

余弦定理

正弦定理

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：由正弦定理得A>Boa>bosinA>sinB,故①正確;

己知sin2A=sin2B=sin(nr-2B).

,/4B是三角形的內(nèi)角，

24=2B或24=

即A=B或A+B=j

ABC可能為等腰三角形或直角三角形，故②正確;

由acosB-bcosA=c以及正弦定理得

sinAcosB-sinBcosA=sinC,

即sinAcosB-sinBcos/4=sin(4+B)

=sinAcosB+cosAsinB

:.2sinBcos/4=0.

,:sinS>0,

???8sA=0,從=三故△ABC定為直角三角形，故③正確；

已知B=-?Q=2,

3

由正弦定理得b=三.

S1I14

V該三角形有兩解，

—>A>B=-,4

332

siiM6(竺，1),

即遍<b<2,故④正確.

綜上所述：正確的選項有①②③④.

故答案為：①②③④.

17.

【解答】

解：(1);函數(shù)f(x)=2cos2cox-1+2\^3costoxsinco%(0<3<1),

:.f(x)=cos(2tox)+V3sin(2ojx)

=2sin(2cux+-)(0<co<1).

直線》=：是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸,

2co?—+-=kn+—,kc

362Z,

■:(0<3<1),

/.CO=;.

:.f(x)=2sin(x+》，

令一三+2k/rwx+三工三+2kzr,kW

2622,

解得：—3+2knMxw三+2kn,kcZ

33

，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[一$+2/^5+2k可，keZ.

(2)由(1)知，f(x)=2sin(x+-),

6

可得9(%)=2sinR(x+^)+~]=2cos：x.

由9(2。+$=，ote(0<),

可得2COSR(2Q+：)]=：,

故cos(a+三)=

65

sin(a+-)=11-cos2(a+-)=

6\f65

sina=sin[(a+?)-*】=sin(a+~)cos7-cos(a+^)sin^=；x"一：x;

_4/IT

10

18.

【答案】

(1)因為2sB=3**+3,

所以當n=1時，2a^=32+3=6,故n=3,

當n>l時，2SnT=3nT+3,

此時，2an=2Sn-2Sn_i=3n-3n-1=2x3n-1,

即an=311-1,

所以“HUi.

(2)H^anbn=log3an,所以b，=；,

1nn1

當n>1時，bn=3--log33-=(n-1)x3"%

所以Ti=bx=1；

當n〉1時,Tn=bx+b:+...+bn

=1+[lx3-1+2x3-2+???+(n-1)x31-11],

所以=1+[1x3°+2x3-1+3x3-：+...+(n-1)x32-n],

兩式相減得：2Tn=；+[30+3T+3Y+..+32-n-(n-Dx3i-n]

==+l-^2_31_n=13_6n+￡>

31-L\/62X3n

所以％=”一段，經(jīng)檢驗，n=l時也適合，

綜上可得Tn盜-黑?

19.答案：（1）由已知得，平面AB4A，

5Eu平面故與CI-L8E.

又BEA.EG,所以龐：_L平面EB|G.

⑵由⑴知NBEg=90。.由題設(shè)知RtVABEnRtVAgE,所以NAEB=45。，故

AE=AB,AAl=2AB.

以D為坐標原點,D4的方向為x軸正方向，IDA|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐

UliULIUULU

標系。-孫z,則C@Q1)勘@夕/￡)(),CB=(1,0,0),C￡=(1,-1,1),CC,=(0,0,2).

設(shè)平面E8C的法向量為”=(x,y,z),則

,utr

CB-n=0,H/X=0,

uin即〈..

CEM=0,[x—y+z=o,

所以可取”=

設(shè)平面ECC,的法向量為，”=a，y,zj,則

懵…即尸，n

[CE/n=0,[*_y+z=0,

所以可取"?=(1,1,0).

-r口/、nm1

于是cos〈/i,m)=――-=--.

I"IImI2

所以，二面角的正弦值為日.

20.

【解答】

(1)解：由題知，

於+萬=1，(a=3,

<C_2>f2解得b=1,

a「三'”(c=2V2.

所以C的標準方程為?+y，=L

(2)證明：設(shè)A(xryi),當直線AB的斜率不存在時，BCx^-yJ,

因為直線OA,0B的斜率之積為一；,所以以.』=-；,即x；=9y；,

9X(X?9

又A,B在橢圓1+y。=1上，所以x；==,yf=7.

因為&=&+加，

所以靠:+而二=(6B-6A)+(6B+6A)-

=6B:+6A:-26B-6A+6B=+6A:+26B-6A

=2(|0A|2+|0B|2)

=4(xf+y；)=4xg+9=20.

當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m(m*0),

y=kx+m,

二+二_］消去y，得(1+9k，)x，+18kmx+9m。-9=0,

(9+y-

△=(18km)2-4(1+9k2)(9m2-9)=36(9k2-m2+l)>0,

設(shè)B(x二.y。，則A+X'=靛，勺町=安?

因為直線OA,0B的斜率之積為一；，即么.在=一±,x=-9yy,

9Xj9X1;x2

?/A,B在橢圓上，??.xf-9=-9yf@,xj-9=-9y￡@,

:.(xf-9)(x5-9)=81yfyj=xfxS,:.xf+xS=9,

①+②得y；+yx=1.

因為而=61+加，

所以靠:+而。=(6B-6A)+(6B+6A)-

=6B:+6A2-2OB-6A+6B=+6A::+26B-6A