第01講 一元二次方程（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）

第1講一元二次方程掌握一元二次方程有關(guān)概念；會把一元二次方程化成一般形式并確定各項及各項系數(shù)；會用整體思想求解知識點1一元二次方程的概念等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。注意：一元二次方程成立必須同時滿足三個條件：（1）是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式方程，即等號兩邊都是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式。方程中如果有\(zhòng)t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分母，且未知數(shù)在分母上，那么這個方程就是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根號，且未知數(shù)在根號內(nèi)，那么這個方程也不是一元二次方程（是無理方程）（2）只含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)項的最高次數(shù)是2。知識點2：一元二次方程的一般形式一元二次方程經(jīng)過整理都可化成一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫作二次項，a是二次項系數(shù)；bx叫作一次項，b是一次項系數(shù)；c叫作常數(shù)項。注意：（1）ax2+bx+c=0中的a≠0．因當(dāng)a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程（2）在求各項系數(shù)時，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各項系數(shù)時不要漏掉前面的性質(zhì)符號。知識點3：一元二次方程的解能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解，解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進(jìn)行求解.知識點4：一元二次方程的重要結(jié)論：（1）若a+b+c=0,則一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為x=1;若x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個根，則a+b+c=0。（2）若a-b+c=0,則一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為x=-1;若x=11是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個根，則a-b+c=0。【題型1一元二次方程的概念】【典例1】（2023春?包河區(qū)校級期中）下列關(guān)于x的方程中，是一元二次方程的為（）A． B．x2﹣4＝2y C．﹣2x2+3＝0 D．（a﹣1）x2﹣2x＝0【變式1-1】（2023春?溫州期中）在下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A． B．2（x﹣1）+x＝2 C．x2＝2+3x D．x2﹣xy+4＝0【變式1-2】（2022秋?寧強縣期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．a(chǎn)x2+bx+c＝0 D．m2﹣2m+1＝0【變式1-3】（2022秋?深圳期末）下列方程是一元二次方程的是（）A．x+1＝0 B．2x＞2 C． D．x2+1＝5【典例2】（2023春?青田縣月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【變式2-1】（2023?河?xùn)|區(qū)校級模擬）若關(guān)于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)≠0【變式2-2】（2022秋?襄州區(qū)期末）關(guān)于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，則（）A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)≠1 D．a(chǎn)≥0【變式2-3】（2020春?福山區(qū)期末）方程（a+3）x+ax+2＝0為一元二次方程，字母a的取值為（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．0【題型2一元二次方程的一般形式】【典例3】（2023?魚峰區(qū)模擬）將方程3x2＝5x﹣1化為一元二次方程一般式后得（）A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0【變式3-1】（2022秋?天元區(qū)校級期末）將方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正確的是（）A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0【變式3-2】（2022秋?禹州市期中）將一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化成一般形式，正確的是（）A．2x2﹣7x﹣8＝0 B．2x2﹣5x﹣8＝0 C．2x2﹣7x+2＝0 D．2x2﹣5x+2＝0【變式3-3】（2022秋?新會區(qū)期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，則a、b、c的值分別是（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝6【典例4】（2022秋?江漢區(qū)校級期末）一元二次方程x2＝﹣6x+1的二次項系數(shù)為1，則一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．﹣6，1 B．6，﹣1 C．﹣6x，1 D．6x，﹣1【變式4-1】（2022秋?惠東縣期中）把一元二次方程4x2+5x＝81化為一般形式后，二次項系數(shù)為4，則一次項系數(shù)及常數(shù)項分別為（）A．5，81 B．5x，81 C．5，﹣81 D．﹣5x，﹣81【變式4-2】（2022秋?龍江縣期末）一元二次方程3（x2﹣3）＝5x的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．3，﹣5；9 B．3，﹣5，﹣9 C．3，5，9 D．3，5，﹣9【變式4-3】（2022秋?定海區(qū)校級月考）將一元二次方程3x2﹣x＝5x化為一般形式后，其中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A．3，5，﹣1 B．﹣3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣6，0【題型3一元二次方程的解】【典例5】（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）若關(guān)于x的方程x2+2x+a＝0有一個根是1，則a等于（）A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．1【變式5-1】（2022秋?宜賓期末）一元二次方程x2+mx＝2的一個根為2，則m的值為（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【變式5-2】（2023春?富陽區(qū)期中）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一個根為0，則m的值為（）A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣3或3【變式5-3】（2023春?崇左月考）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+a2﹣9＝0的一個根是0，則a的值是（）A．4 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3【典例6】（2023?邗江區(qū)校級一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一個根，則2023﹣m2+m的值為（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【變式6-1】（2021秋?金湖縣期末）若a為方程x2+2x﹣4＝0的解，則a2+2a﹣8的值為（）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣12【變式6-2】（2023?宿遷一模）若m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一個根，則代數(shù)式2m2﹣2m的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．4【變式6-3】（2022秋?天河區(qū)校級期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，則6m2﹣9m+2018的值為（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20211．（2021?聊城）關(guān)于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一個解是﹣2，則k值為（）A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或22．（2021?黔東南州）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一個根是2，則a的值為（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2021?黑龍江）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化為一般形式后不含一次項，則m的值為（）A．0 B．±3 C．3 D．﹣34．（2022?遂寧）已知m為方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值為（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．40445．（2021?深圳）已知方程x2+mx﹣3＝0的一個根是1，則m的值為．6．（2022?連云港）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一個根是x＝1，則m+n的值是．7．（2022?廣東）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，則a＝．8．（2022?衢州）將一個容積為360cm3的包裝盒剪開鋪平，紙樣如圖所示．利用容積列出圖中x（cm）滿足的一元二次方程：（不必化簡）．9．（2022?資陽）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一個根，則2a2+4a的值是．10．（2021?廣東）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c為常數(shù)）的兩根x1，x2滿足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，則符合條件的一個方程為．1．（2023春?廬陽區(qū)校級期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B．a(chǎn)x2+bx+c＝0 C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣4 D．x2﹣3x+2＝02．（2023春?定遠(yuǎn)縣校級月考）已知是關(guān)于x的一元二次方程，那么a的值為（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上選項都不對3．（2023春?攸縣月考）若關(guān)于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，則m應(yīng)滿足的條件是（）A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＝24．（2022秋?雙峰縣期末）方程3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（）A．﹣3x2，1，6 B．3x2，1，6 C．3，1，6 D．3，﹣1，﹣65．（2022秋?北塔區(qū)期末）將一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化為一般形式后，對應(yīng)的a，b，c的值分別是（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a(chǎn)＝1，b﹣1，c＝6 C．a(chǎn)＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a(chǎn)＝1，b＝﹣5，c＝26．（2023春?江岸區(qū)校級月考）方程x2﹣x＝0二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A．1，1，0 B．0，1，0 C．0，﹣1，0 D．1，﹣1，07．（2022秋?漳州期末）一元二次方程7x2﹣2x﹣1＝0的常數(shù)項是（）A．7 B．﹣2 C．﹣1 D．18.（2022秋?甘井子區(qū)期末）將方程4x（x+2）＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，259．（2023春?龍灣區(qū)期中）已知x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一個根，則a的值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．310．（2023春?淮北月考）若關(guān)于x的一元二次方程mx2+x﹣m2+1＝0的一個根為﹣1，則m的值為（）A．0 B．1 C．﹣1或0 D．0或111．（2022秋?銅梁區(qū)校級期末）已知m為一元二次方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么2m2+6m的值為（）A．﹣4046 B．﹣2023 C．0 D．40461