第02講 一元一次方程的解法（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）

第02講一元一次方程的解法1.會通過去分母解一元一次方程；2.歸納一元一次方程解法的一般步驟，體會解方程中化歸和程序化的思想方法；3.體會建立方程模型解決問題的一般過程；4.體會方程思想，增強(qiáng)應(yīng)用意識和應(yīng)用能力．知識點1解一元一次方程解一元一次方程的步驟：去分母兩邊同乘最簡公分母2.去括號（1）先去小括號，再去中括號，最后去大括號（2）乘法分配律應(yīng)滿足分配到每一項注意：特別是去掉括號，符合變化3.移項（1）定義：把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，不含有未知數(shù)的項移到另一邊；（2）注意：①移項要變符號；②一般把含有未知數(shù)的項移到左邊，其余項移到右邊．4.合并同類項（1）定義：把方程中的同類項分別合并，化成“axb”的形式（a0）；（2）注意：合并同類項時，把同類項的系數(shù)相加，字母不變．5.系數(shù)化為1（1）定義：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)a，得；（2）注意：分子、分母不能顛倒【題型1解一元一次方程】【典例1】解一元一次方程：5x+3＝3x﹣15．【變式1-1】解方程：5x﹣8＝2x﹣3．【變式1-2】解方程：2x+2＝3x﹣2．【典例2】解下列一元一次方程：（1）3（x+1）﹣2＝2（x﹣3）；（2）．【變式2-1】解方程：（1）4（2﹣y）+2（3y﹣1）＝7；（2）．【變式2-2】解方程：（1）；（2）．【變式2-3】解方程．（1）3（x﹣2）﹣4（2x+1）＝7；（2）．【題型2一元一次方程的整數(shù)解問題】【典例3】是否存在整數(shù)k，使關(guān)于x的方程（k﹣4）x+6＝1﹣5x有整數(shù)解？并求出解．【變式3-1】當(dāng)整數(shù)k為何值時，方程9x﹣3＝kx+14有正整數(shù)解？并求出正整數(shù)解．【變式3-2】（2022秋?通川區(qū)校級期末）若關(guān)于x的方程kx﹣2x＝14的解是正整數(shù)，則k的整數(shù)值有（）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型3根據(jù)兩個一元一次方程的解之間的關(guān)系求參數(shù)】【典例4】若代數(shù)式與的值的和為5，則m的值為（）A．18 B．10 C．﹣7 D．7【變式4-1】（2023春?新鄉(xiāng)期末）若和3﹣2x互為相反數(shù)，則x的值為（）A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1【變式4-2】（2022秋?柳州期末）已知代數(shù)式5a+1與a﹣3的值相等，那么a＝．【變式4-3】若式子﹣2a+1的值比a﹣2的值大6，則a等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【變式4-4】已知A＝2x+1，B＝5x﹣4，若A比B小1，則x的值為（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【題型4錯解一元一次方程的問題】【典例5】一位同學(xué)在解方程5x﹣1＝（）x+3時，把“（）”處的數(shù)字看錯了，解得，這位同學(xué)把“（）”處的數(shù)字看成了（）A．3 B．﹣ C．﹣8 D．8【變式5-1】某同學(xué)解方程2x﹣3＝ax+3時，把x的系數(shù)a看錯了，解得x＝﹣2，他把x的系數(shù)看成了（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式5-2】某同學(xué)解方程5y﹣1＝口y+4時，把“口”處的系數(shù)看錯了，解得y＝﹣5，他把“口”處的系數(shù)看成了（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6【變式5-3】小明同學(xué)在解方程5x﹣1＝mx+3時，把數(shù)字m看錯了，解得x＝﹣，則該同學(xué)把m看成了（）A．3 B． C．8 D．﹣8【變式5-4】某同學(xué)解方程2x﹣3＝ax+3時，把x的系數(shù)a看錯了，解得x＝﹣2，他把x的系數(shù)a看成了下列哪個數(shù)？（）A．5 B．6 C．7 D．8【題型5一元一次方程的解與參數(shù)無關(guān)】【典例6】定義一種新運算：a⊙b＝5a﹣b．（1）計算：（﹣6）⊙8＝；（2）若（2x﹣1）⊙（x+1）＝12，求x的值；（3）化簡：（3xy﹣2x﹣3）⊙（﹣5xy+1），若化簡后代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，求y的值．【變式6-1】（1）先化簡，再求值：已知代數(shù)式A＝（3a2b﹣ab2），B＝（﹣ab2+3a2b），求5A﹣4B，并求出當(dāng)a＝﹣2，b＝3時5A﹣4B的值．（2）對于任意四個有理數(shù)a，b，c，d，可以組成兩個有理數(shù)對（a，b）與（c，d）．規(guī)定：（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc，如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2根據(jù)上述規(guī)定解決下列問題：①有理數(shù)對（5，﹣3）★（3，2）＝．②若有理數(shù)對（﹣3，x）★（2，2x+1）＝15，則x＝．③若有理數(shù)對（2，x﹣1）★（k，2x+k）的值與x的取值無關(guān)，求k的值．【變式6-2】（1）已知多項式3x2+my﹣8與多項式﹣nx2+2y+7的差與x，y的值無關(guān)，求nm+mn的值．（2）解方程＝1﹣．【題型6一元一次方程的解在新定義中運用】【典例7】定義“※”運算為“a※b＝ab+2a”，若（3※x）+（x※3）＝14，則x等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【變式7-1】（2022秋?東明縣校級期末）規(guī)定一種運算法則：a※b＝a2+2ab，若（﹣3）※2x＝﹣3﹣2x，則x的值為（）A． B． C． D．﹣1【變式7-2】新定義一種運算符號“△”，規(guī)定x△y＝xy+x2﹣3y，已知2△m＝6，則m的值為．【變式7-3】（2022秋?滕州市校級期末）對于任意有理數(shù)a、b，規(guī)定一種新運算“*”，使a*b＝3a﹣2b，例如：5*（﹣3）＝3×5﹣2×（﹣3）＝21．（2x﹣1）*（x﹣2）＝﹣3，則x的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．11．（2022?百色）方程3x＝2x+7的解是（）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣72．（2022?海南）若代數(shù)式x+1的值為6，則x等于（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣73．（2021?溫州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括號正確的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x4．（2023?隴西縣校級模擬）定義a?b＝2a+b，則方程3?x＝4?2的解為（）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝2 D．x＝﹣25．（2023?青山區(qū)一模）若的值與x﹣7互為相反數(shù)，則x的值為（）A．1 B． C．3 D．﹣36．（2023?懷遠(yuǎn)縣二模）方程＝1去分母正確的是（）A．2（3x﹣1）﹣3（2x+1）＝6 B．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝1 C．9x﹣3﹣4x+2＝6 D．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6（2021?廣元）解方程：+＝4．8．（2021?桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．9．（2021?西湖區(qū)校級自主招生）以下是圓圓解方程＝1的解答過程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括號，得3x+1﹣2x+3＝1．移項，合并同類項，得x＝﹣3．圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．10．（2022秋?陵城區(qū)期末）解方程（1）18（x﹣1）﹣2x＝﹣2（2x﹣1）；（2）．1．（2023秋?北京期中）若x＝﹣1是關(guān)于x的方程x+3a＝5的解，則a的值為（）A．﹣1 B．1 C．2 D．52．（2023秋?西豐縣期中）方程3x+4＝2x﹣3移項后正確的是（）A．3x+2x＝4﹣3 B．3x﹣2x＝4﹣3 C．3x﹣2x＝﹣3﹣4 D．3x+2x＝﹣3﹣43．（2023秋?同安區(qū)期中）下列哪個選項是方程5﹣3x＝8的解（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C． D．4．（2022秋?白云區(qū)期末）如果方程2x＝2和方程的解相同，那么a的值為（）A．1 B．5 C．0 D．﹣55．（2022秋?利川市期末）下列解一元一次方程的過程正確的是（）A．方程x﹣2（3﹣x）＝1去括號得x﹣6+2x＝1 B．方程3x+2＝2x﹣2移項得3x﹣2x＝﹣2+2 C．方程去分母得2x+1﹣1＝3x D．方程分母化為整數(shù)得6．（2022秋?武昌區(qū)期末）解方程﹣＝1，去分母正確的是（）A．3（x﹣1）﹣2（2+3x）＝1 B．3（x﹣1）﹣2（2x+3）＝6 C．3x﹣1﹣4x+3＝1 D．3x﹣1﹣4x+3＝67．（2023春?惠城區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程有非負(fù)整數(shù)解，則整數(shù)a的所有可能的取值的和為（）A．﹣6 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣198．（2022秋?滕州市校級期末）任何一個無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，應(yīng)該怎樣寫呢？我們以無限循環(huán)小數(shù)0.為例進(jìn)行說明：設(shè)0.，由0.可知，10x＝7.777?，所以10x﹣x＝7，解方程，得x＝．于是，得0.，將0.寫成分?jǐn)?shù)的形式是（）A． B． C． D．9．（2022秋?豐寧縣校級期末）若方程2x＝8和方程ax+2x＝4的解相同，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．010．（2022秋?金華期末）若和互為相反數(shù)，則x的值為（）A． B． C． D．11．（2023春?偃師市校級期末）關(guān)于x的一元一次方程2xm﹣2+n＝4的解是x＝1，則m+n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．712．（2023秋?西湖區(qū)期中）滿足|x+3|+|x﹣1|＝4的整數(shù)x的個數(shù)為（）A．4個 B．3個 C．2個 D．5個13．（2022秋?興化市期末）已知y1＝x+3，y2＝2﹣x，當(dāng)y1＝y(tǒng)2時，x的值是（）A．2 B． C．﹣2 D．二．解答題（共5小題）14．（2023秋?西城區(qū)校級期中）解方程：（1）3x﹣4＝2x+5；（2）．15．（2022秋?海滄區(qū)期末）對于任意不為0的有理數(shù)m，n，定義一種新運算“※”，規(guī)則如下：m※n＝3m﹣n．例如：（﹣1）※2＝3×（﹣1）﹣2＝﹣3﹣2＝﹣5．（1）若（x﹣2）※5x＝6，求x的值；（2）判斷這種新運算“※”是否滿足分配律a※（b+c）＝a※b+a※c，并說明理由．16．（2023秋?西城區(qū)校級期中）小亮在解關(guān)于x的一元一次方程+■＝3時，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)■被污染了．（1）小亮猜■是5，則方程的解x＝；（2）若老師告訴小亮這個方程的解是正整數(shù)，則被污染的正整數(shù)是多少？17．（2023秋?金州區(qū)校級期中）根據(jù)絕對值定義，若有|x|＝4，則x＝4或﹣4，若|y|＝a，則y＝±a，我們可以根據(jù)這樣的結(jié)論，解一些簡單的絕對值方程，例如：|2x+4|＝5解：方程|2x+4|＝5可化為：2x+4＝5或2x+4＝﹣5，當(dāng)2x+4＝5時，則有：2x＝1，所以x＝，當(dāng)2x+4＝﹣5時，則有：2x＝﹣9；所以x＝﹣，故，方程|2x+4|＝5的解為x＝或x＝﹣．（1）解方程：|3x﹣2|＝4；（2