第1章一元二次方程（易錯必刷30題12種題型專項訓練）（解析版）

第1章一元二次方程（易錯必刷30題12種題型專項訓練）一．一元二次方程的定義（共3小題）1．（2022秋?漣水縣校級月考）下列關于x的方程中，肯定是一元二次方程的是（）A．mx2+2x+1＝0 B．（m+1）x2+2x+1＝0 C．（m2+1）x2+2x+1＝0 D．（m2﹣1）x2+2x+1＝0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【解答】解：A．mx2+2x+1＝0，若m＝0，方程是一元一次方程，故本選項不符合題意；B．（m+1）x2+2x+1＝0，若m＝﹣1，方程是一元一次方程，故本選項不符合題意；C．因為m2+1＞0，所以（m2+1）x2+2x+1＝0肯定是一元二次方程，故本選項符合題意；D．（m2﹣1）x2+2x+1＝0，若m＝±1，方程是一元一次方程，故本選項不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，注意：只含有一次未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．2．（2022秋?東臺市月考）關于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，則a的取值范圍是a≠1．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答即可．【解答】解：∵方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，∴a≠1，故答案為：a≠1．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．3．（2022秋?灌南縣校級月考）關于x的方程是一元二次方程，則k的值是﹣2．【分析】是一元二次方程，那么x的指數(shù)為2，系數(shù)不為0，列式求值即可．【解答】解：由題意得：k2﹣2＝2；k﹣2≠0；解得k＝±2；k≠2；∴k＝﹣2．【點評】用到的知識點為：一元二次方程未知數(shù)的最高次數(shù)是2，并且二次項系數(shù)不為0．二．一元二次方程的一般形式（共2小題）4．（2022秋?沭陽縣校級月考）一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次項系數(shù)、二次項系數(shù)、常數(shù)項的和是2．【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）中，ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項，據(jù)此解答即可．【解答】解：一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次項系數(shù)、二次項系數(shù)、常數(shù)項分別為：1、4、﹣3，故其和為：1+4﹣3＝2．故答案為：2．【點評】本題主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在說明二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項時，一定要帶上前面的符號．5．（2022秋?句容市月考）一元二次方程（4x+1）（2x﹣3）＝5x2+1化成一般式后a，b，c的值為（）A．3，﹣10，﹣4 B．3，﹣12，﹣2 C．8，﹣10，﹣2 D．8，﹣12，4【分析】通過去括號、移項、合并同類項將方程化為一般形式即可得．【解答】解：（4x+1）（2x﹣3）＝5x2+1，去括號得：8x2﹣10x﹣3＝5x2+1，移項合并同類項得：3x2﹣10x﹣4＝0，a＝3，b＝﹣10，c＝﹣4，故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的概念是解題關鍵．三．一元二次方程的解（共3小題）6．（2022秋?連云區(qū)校級月考）下列關于x的方程中，有一個實數(shù)根為x＝﹣2的方程是（）A．x2﹣x+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝0 D．（x﹣1）2+1＝0【分析】把x＝﹣2分別代入每一個方程的左右兩邊，然后進行計算即可解答．【解答】解：A、把x＝﹣2代入方程x2﹣x+1＝0中，左邊＝（﹣2）2﹣（﹣2）+1＝4+2+1＝7，右邊＝0，∵左邊≠右邊，∴x＝﹣2不是方程x2﹣x+1＝0的根，故A不符合題意；B、把x＝﹣2代入方程x2+x+1＝0中，左邊＝（﹣2）2+（﹣2）+1＝4﹣2+1＝3，右邊＝0，∵左邊≠右邊，∴x＝﹣2不是方程x2+x+1＝0的根，故B不符合題意；C、把x＝﹣2代入方程（x﹣1）（x+2）＝0中，左邊＝（﹣2﹣1）×（﹣2+2）＝（﹣3）×0，右邊＝0，∵左邊＝右邊，∴x＝﹣2是方程（x﹣1）（x+2）＝0的根，故C符合題意；D、把x＝﹣2代入方程（x﹣1）2+1＝0中，左邊＝（﹣2﹣1）2+1＝9+1＝10，右邊＝0，∵左邊≠右邊，∴x＝﹣2不是方程（x﹣1）2+1＝0的根，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的解，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．7．（2021?涼山州模擬）已知x是方程x2+2x﹣2＝0的根，那么代數(shù)式（﹣x﹣2）÷的值是（）A．﹣1 B．+1 C．﹣1或﹣﹣1 D．﹣1或+1【分析】利用方程解的定義得等式x2+2x＝2，利用分式的計算法則化簡后整理出x2+2x的形式，再整體代入x2+2x＝2，即可求解．【解答】解：x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2．解得x＝±﹣1∴（﹣x﹣2）÷＝×＝×＝﹣（x2+3x）＝﹣（x2+2x+x）＝﹣（2+x）當x＝﹣1時，原式＝﹣（2±﹣1）故選：C．【點評】此題主要考查了方程解的定義和分式的運算，此類題型的特點是：利用方程解的定義找到相等關系，再把此相等關系整體代入所求代數(shù)式，即可求出代數(shù)式的值．8．（2022秋?江都區(qū)月考）關于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0有一個根是1，則m的值是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．±2【分析】把x＝1代入方程中進行計算可得m＝±2，再根據(jù)一元二次方程的二次項系數(shù)不為0，即可解答．【解答】解：由題意得：把x＝1代入（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0中可得，（m﹣2）﹣2+m2﹣m＝0，解得：m＝±2，∵m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣2，故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的二次項系數(shù)不為0是解題的關鍵．四．解一元二次方程-直接開平方法（共1小題）9．（2022秋?秦淮區(qū)校級月考）如果關于x的方程（x﹣1）2＝m沒有實數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是m＜0．【分析】根據(jù)負數(shù)沒有平方根，即可解答．【解答】解：如果關于x的方程（x﹣1）2＝m沒有實數(shù)根，那么實數(shù)m的取值范圍是：m＜0，故答案為：m＜0．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，熟練掌握負數(shù)沒有平方根是解題的關鍵．五．解一元二次方程-配方法（共4小題）10．（2022秋?邗江區(qū)月考）用配方法解方程x2﹣6x﹣2＝0的過程中，應將此方程化為（）A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝38 D．（x﹣6）2＝34【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答．【解答】解：x2﹣6x﹣2＝0，x2﹣6x＝2，x2﹣6x+9＝2+9，（x﹣3）2＝11，故選：A．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關鍵．11．（2022秋?玄武區(qū)校級月考）把方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，則m+n的值是3．【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答．【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，x2﹣2x+1＝3+1，（x﹣1）2＝4，∴m＝﹣1，n＝4，∴m+n＝﹣1+4＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關鍵．12．（2022秋?鎮(zhèn)江月考）用適當方法解下列方程：（1）4x2﹣1＝0；（2）4y2﹣4y+1＝0；（3）x2﹣6x﹣3＝0；（4）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接開平方法，進行計算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，進行計算即可解答；（3）利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答；（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法，進行計算即可解答．【解答】解：（1）4x2﹣1＝0，4x2＝1，x2＝，；（2）4y2﹣4y+1＝0，（2y﹣1）2＝0，2y＝1，y1＝y(tǒng)2＝；（3）x2﹣6x﹣3＝0，x2﹣6x＝3，x2﹣6x+9＝3+9，（x﹣3）2＝12，x﹣3＝，x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，；（4）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2，（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0，[（x﹣3）+（5﹣2x）][（x﹣3）﹣（5﹣2x）]＝0，（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）＝0，（2﹣x）（3x﹣8）＝0，2﹣x＝0或3x﹣8＝0，．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，直接開平方法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．13．（2022秋?云龍區(qū)校級月考）解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）（x﹣1）（x+2）＝18．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答；（2）先將原方程化簡整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣因式分解法，進行計算即可解答．【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，x2+2x＝4，x2+2x+1＝4+1，（x+1）2＝5，x+1＝±，x+1＝或x+1＝﹣，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1；（2）（x﹣1）（x+2）＝18，x2+x﹣2＝18，x2+x﹣20＝0，（x+5）（x﹣4）＝0，x+5＝0或x﹣4＝0，x1＝﹣5，x2＝4．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．六．解一元二次方程-因式分解法（共6小題）14．（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）解下列方程：（1）25（x+3）2﹣16＝0；（2）x2﹣2x﹣15＝0；（3）﹣3x2+2x＝﹣8；（4）（x﹣2）2＝（2x﹣1）（2﹣x）．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接開平方法，進行計算即可解答；（2）利用解一元二次因式分解法，進行計算即可解答；（3）先將原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次因式分解法，進行計算即可解答；（4）利用解一元二次因式分解法，進行計算即可解答．【解答】解：（1）25（x+3）2﹣16＝0，25（x+3）2＝16，（x+3）2＝，x+3＝±，x+3＝或x+3＝﹣，x1＝﹣，x2＝﹣；（2）x2﹣2x﹣15＝0，（x﹣5）（x+3）＝0，x﹣5＝0或x+3＝0，x1＝5，x2＝﹣3；（3）﹣3x2+2x＝﹣8，3x2﹣2x﹣8＝0，（x﹣2）（3x+4）＝0，x﹣2＝0或3x+4＝0，x1＝2，x2＝﹣；（4）（x﹣2）2＝（2x﹣1）（2﹣x），（x﹣2）2﹣（2x﹣1）（2﹣x）＝0，（x﹣2）（x﹣2+2x﹣1）＝0，（x﹣2）（3x﹣3）＝0，x﹣2＝0或3x﹣3＝0，x1＝2，x2＝1．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，因式分解法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．15．（2022秋?連云區(qū)校級月考）解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）（x﹣3）2﹣4x（3﹣x）＝0；（3）2x2﹣7x﹣2＝0；（4）（2x+1）（x﹣3）＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，進行計算即可解答；（3）利用解一元二次方程﹣公式法，進行計算即可解答；（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法，進行計算即可解答．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±，x﹣1＝或x﹣1＝﹣，x1＝1+，x2＝1﹣；（2）（x﹣3）2﹣4x（3﹣x）＝0，（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，（x﹣3）（5x﹣3）＝0，x﹣3＝0或5x﹣3＝0，x1＝3，x2＝；（3）2x2﹣7x﹣2＝0，∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣2）＝49+16＝65＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（4）（2x+1）（x﹣3）＝0，2x+1＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣，x2＝3．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．16．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）解方程：（1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）；（2）2x2﹣4x+1＝0；（3）4（x+3）2＝25（x﹣2）2；（4）（x+2）2﹣3（x+2）﹣4＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，進行計算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣公式法，進行計算即可解答；（3）利用解一元二次方程﹣因式分解法，進行計算即可解答；（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法，進行計算即可解答．【解答】解：（1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1），3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x﹣2）＝0，x﹣1＝0或3x﹣2＝0，x1＝1，x2＝；（2）2x2﹣4x+1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×2×1＝16﹣8＝8＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝；（3）4（x+3）2＝25（x﹣2）2，4（x+3）2﹣25（x﹣2）2＝0，[2（x+3）+5（x﹣2）][2（x+3）﹣5（x﹣2）]＝0，（2x+6+5x﹣10）（2x+6﹣5x+10）＝0，（7x﹣4）（16﹣3x）＝0，x1＝，x2＝；（4）（x+2）2﹣3（x+2）﹣4＝0，（x+2﹣4）（x+2+1）＝0，（x﹣2）（x+3）＝0，x﹣2＝0或x+3＝0，x1＝2，x2＝﹣3．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．17．（2022秋?灌云縣月考）解方程：（1）（2x﹣1）2﹣3＝0；（2）2x2+4x﹣5＝0（配方法）；（3）2（x2﹣2）＝7x（公式法）；（4）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接開平方法，進行計算即可解答；（2）解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答；（3）解一元二次方程﹣公式法，進行計算即可解答；（4）解一元二次方程﹣因式分解法，進行計算即可解答．【解答】解：（1）（2x﹣1）2﹣3＝0，（2x﹣1）2＝3，2x﹣1＝±，2x﹣1＝或2x﹣1＝﹣，x1＝，；（2）2x2+4x﹣5＝0，x2+2x﹣＝0，x2+2x＝，x2+2x+1＝，（x+1）2＝，x+1＝±，x+1＝或x+1＝﹣，，；（3）2（x2﹣2）＝7x，整理得：2x2﹣7x﹣4＝0，∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣4）＝49+32＝81＞0，∴x＝＝，∴x1＝4，x2＝﹣；（4）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，（x﹣3）（5x﹣3）＝0，x﹣3＝0或5x﹣3＝0，x1＝3，x2＝．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，因式分解法，配方法，公式法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．18．（2021秋?金壇區(qū)校級月考）方程x2﹣9x+18＝0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形的周長為15．【分析】求出方程的解，分為兩種情況：①當?shù)妊切蔚娜吺?，3，6時，②當?shù)妊切蔚娜吺?，6，6時，看看是否符合三角形的三邊關系定理，若符合求出即可．【解答】解：x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，∴x﹣3＝0，x﹣6＝0，∴x1＝3，x2＝6，當?shù)妊切蔚娜吺?，3，6時，3+3＝6，不符合三角形的三邊關系定理，∴此時不能組成三角形，當?shù)妊切蔚娜吺?，6，6時，此時符合三角形的三邊關系定理，周長是3+6+6＝15，故答案為：15．【點評】本題考查了解一元二次方程和三角形的三邊關系定理，等腰三角形的性質(zhì)的應用，關鍵是確定三角形的三邊的長度，用的數(shù)學思想是分類討論思想．19．（2021秋?鎮(zhèn)江期中）三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣6x+8＝0的解，則此三角形的周長是13．【分析】求出方程的解，有兩種情況：x＝2時，看看是否符合三角形三邊關系定理；x＝4時，看看是否符合三角形三邊關系定理；求出即可．【解答】解：x2﹣6x+8＝0，（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0，x1＝2，x2＝4，當x＝2時，2+3＜6，不符合三角形的三邊關系定理，所以x＝2舍去，當x＝4時，符合三角形的三邊關系定理，三角形的周長是3+6+4＝13，故答案為：13．【點評】本題考查了三角形的三邊關系定理和解一元二次方程等知識點，關鍵是確定第三邊的大小，三角形的兩邊之和大于第三邊，分類討論思想的運用，題型較好，難度適中．七．換元法解一元二次方程（共1小題）20．（2022春?江都區(qū)校級月考）若（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣4＝0，則代數(shù)式a2+b2的值為4【分析】把a2+b2看作整體t，解關于t的一元二次方程即可，注意t為非負數(shù)．【解答】解：設t＝a2+b2，則原方程為t2﹣3t﹣4＝0，解得t1＝4，t2＝﹣1，∵a2+b2≥0，∴t＝4，∴a2+b2＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了用換元法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解決本題的關鍵．解決本題易忽視a2+b2≥0的暗含條件，得兩個答案．八．根的判別式（共1小題）21．（2021春?崇川區(qū)校級月考）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正確的（）A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式及根的定義逐個判斷排除．【解答】解：①若a+b+c＝0，則x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正確；②方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0則方程ax2+bx+c＝0的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根，故②正確；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正確；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝±，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正確．故正確的有①②④，故選：B．【點評】本題考查一元二次方程根的判斷，根據(jù)方程形式，判斷根的情況是求解本題的關鍵．九．根與系數(shù)的關系（共3小題）22．（2022秋?太倉市校級月考）已知關于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，且x12+x22＝1，則m＝0．【分析】根據(jù)x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝1，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關系求解，最后根據(jù)一元二次方程根的判別式進行判斷即可．【解答】解：∵x1，x2是x2+（2m﹣1）x+m2＝0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2＝﹣2m+1，x1?x2＝m2，∵x12+x22＝1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝1，即（﹣2m+1）2﹣2m2＝1，解得：m1＝0，m2＝2．當m＝0時，Δ＝b2﹣4ac＝1＞0，原方程有兩個實數(shù)根；當m＝2時，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣16＝﹣7＜0，原方程無實數(shù)根，不符合題意，舍去．故答案為：0．【點評】本題主要考查了根與系數(shù)的關系，正確記憶根與系數(shù)的關系式式解題關鍵．23．（2022秋?海安市月考）若t為實數(shù)，x2﹣4x+t﹣2＝0的兩個非負實數(shù)根為a，b，則代數(shù)式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值﹣15【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關系可得a+b＝4，ab＝t﹣2，將所求代數(shù)式化簡代入可得結(jié)論．【解答】解：∵x2﹣4x+t﹣2＝0的兩個非負實數(shù)根為a，b，∴a+b＝4，ab＝t﹣2，Δ＝16﹣4（t﹣2）≥0．則，解得：2≤t≤6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2（t﹣2）＝﹣2t+20，∴（a2﹣1）（b2﹣1）＝a2b2﹣（a2+b2）+1＝（t﹣2）2+2t﹣20+1＝t2﹣2t﹣15＝（t﹣1）2﹣16，∵2≤t≤6，∴當t＝2時，代數(shù)式（a2﹣1）（b2﹣1）有最小值，∴代數(shù)式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是1﹣16＝﹣15，故答案為：﹣15．【點評】本題主要考查了根與系數(shù)的關系及根的判別式，屬于中檔題，關鍵要掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．24．（2021秋?海陵區(qū)校級月考）已知關于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k為常數(shù)）．（1）若方程的兩根為菱形相鄰兩邊長，求k的值；（2）是否存在滿足條件的常數(shù)k，使該方程的兩解等于邊長為2的菱形的兩對角線長，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)知四邊相等，方程的兩根為菱形相鄰兩邊長，得Δ＝0，求出k；（2）根與系數(shù)的關系求出兩根之和、兩根之積，根據(jù)菱形的兩對角線互相垂直平分，由勾股定理列等式，求出k．【解答】解：（1）∵方程的兩根為菱形相鄰兩邊長，∴此方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，∴[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+k+3）＝0，4（k2+2k+1）﹣4k2﹣4k﹣12＝0，4k2+8k+4﹣4k2﹣4k﹣12＝0，4k﹣8＝0，k＝2，（2）不存在，理由如下：∵該方程的兩解是菱形的兩對角線長，∴a+b＝2（k+1），ab＝k2+k+3，設菱形的兩對角線長a，b．∵菱形的兩對角線互相垂直平分，∴由勾股定理得，+＝4，+＝4，b2+a2＝16，∴b2+2ab+a2﹣2ab＝16，（a+b）2﹣2ab＝16，[2（k+1）]2﹣2（k2+k+3）＝16，解得k＝，∵Δ＝4k﹣8，∴4k﹣8≥0．∴k≥2，∵k＝＜2，∴不存在滿足條件的常數(shù)k．【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關系、菱形的判定與性質(zhì)，掌握根的判別式、菱形的性質(zhì)、勾股定理的綜合應用，第二問求出k時，一定注意4k﹣8≥0這個知識點．一十．一元二次方程的應用（共3小題）25．（2020秋?工業(yè)園區(qū)月考）如圖，利用一面墻（墻EF最長可利用28米），圍成一個矩形花園ABCD．與墻平行的一邊BC上要預留2米寬的入口（如圖中MN所示，不用砌墻）．用砌60米長的墻的材料，當矩形的長BC為多少米時，矩形花園的面積為300平方米；能否圍成480平方米的矩形花園，為什么？【分析】根據(jù)可以砌60m長的墻的材料，即總長度是60m，BC＝xm，則AB＝（60﹣x+2）m，再根據(jù)矩形的面積公式列方程，解一元二次方程即可．【解答】解：設矩形花園BC的長為x米，則其寬為（60﹣x+2）米，依題意列方程得：（60﹣x+2）x＝300，x2﹣62x+600＝0，解這個方程得：x1＝12，x2＝50，∵28＜50，∴x2＝50（不合題意，舍去），∴x＝12．（60﹣x+2）x＝480，x2﹣62x+960＝0，解這個方程得：x1＝32，x2＝30，∵墻EF最長可利用28米，而28＜30＜32，∴x1＝32，x2＝30均不合題意，舍去，答：當矩形的長BC為12米時，矩形花園的面積為300平方米；不能圍成480平方米的矩形花園．【點評】本題考查了一元二次方程的應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系求解，注意圍墻EF最長可利用28m，舍掉不符合題意的數(shù)據(jù)．26．（2022秋?灌南縣校級月考）近兩年直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音平臺上對一款成本價為60元的商品進行直播銷售，如果按每件100元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查，該商品售價每降低5元，日銷售量增加10件，設每件商品降價x元．（1）每件商品降價x元時，日銷售量為（20+2x）件；（2）求x為何值時，日銷售能盈利1200元，同時又能盡快銷售完該商品；（3）麗麗的線下實體商店也銷售同款商品，標價100元．為了提高市場競爭力，促進線下銷售，麗麗決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（2）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？【分析】（1）每件商品降價x元，日銷售量為20+×10＝（20+2x）件，（2）根據(jù)日利潤＝每件利潤×日銷售量，可求出售價為100元時的原利潤，根據(jù)日利潤＝每件利潤×日銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論；（3）設該商品需要打a折銷售，根據(jù)銷售價格不超過60元，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）已知每件商品降價x元，則日銷售量為20+×10＝（20+2x）件，故答案為：（20+2x）；（2）根據(jù)題意可知，（100﹣60﹣x）（20+2x）＝1200，解得x＝10或x＝20，此時，銷售的商品為40件或60件，∵為盡快銷售完該商品，∴取x＝20，∴當x＝20時，日銷售能盈利1200元，同時又能盡快銷售完該商品；（3）該商品需要打a折銷售，由題意，得，100×≤100﹣20，解得：a≤8，答：該商品至少需打8折銷售．【點評】本題考查了一元二次方程的應用和由實際問題抽象出一元一次不等式，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．27．（2022秋?銅山區(qū)校級月考）可以用如圖所示的圖形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以點A為圓心作弧交AB于點D，使AD＝AC，則該方程的一個正根是（）A．CD的長 B．BD的長 C．AC的長 D．BC的長【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理進行計算，可得BD2+aBD＝b2，從而可得BD的長該方程方程x2+ax＝b2的一個正根．【解答】解：∵AD＝AC＝，∴AB＝AD+BD＝+BD，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（）2+b2＝（+BD）2，∴+b2＝+aBD+BD2，∴BD2+aBD＝b2，∵BD2+aBD＝b2與方程x2+ax＝b2相同，且BD的長度是正數(shù)，∴BD的長該方程x2+ax＝b2的一個正根，故選：B．【點評】本題考查了勾股定理，一元二次方程的應用，利用勾股定理及各邊長得出BD2+aBD＝b2是解題的關鍵．一十一．配方法的應用（共2小題）28．（2021秋?宜興市月考）當x取何值時，代數(shù)式2x2﹣6x+7的值最??？并求出這個最小值．【分析】先提取2，對括號的多項式進行配方，根據(jù)偶次方具有非負性，求出x的值和代數(shù)式的最小值．【解答】解：2x2﹣6x+7＝2（x2﹣3x+）＝2（x2﹣3x+﹣+）＝2+，∵此代數(shù)式的值最小，∴x﹣＝0時，最小值是，∴x＝，最小值是．【點評】本題主要考查了配