圓與二次函數(shù)知識點

./圓和二次函數(shù)知識點《圓》一、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；3、圓的部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心,定長為半徑的圓；2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線〔也叫中垂線；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點與圓的位置關(guān)系1、點在圓點在圓；2、點在圓上點在圓上；3、點在圓外點在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無交點；2、直線與圓相切有一個交點；3、直線與圓相交有兩個交點；四、圓與圓的位置關(guān)系外離〔圖1無交點；外切〔圖2有一個交點；相交〔圖3有兩個交點；切〔圖4有一個交點；含〔圖5無交點；五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1：〔1平分弦〔不是直徑的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條??；〔2弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條弧；〔3平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理,簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中,只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論,即：①是直徑②③④弧弧⑤弧弧中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙中,∵∥∴弧弧六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弦相等,所對的弧相等,弦心距相等。此定理也稱1推3定理,即上述四個結(jié)論中,只要知道其中的1個相等,則可以推出其它的3個結(jié)論,即：①；②；③；④弧弧七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角∴2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧是等弧；即：在⊙中,∵、都是所對的圓周角∴推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓,所對的弦是直徑。即：在⊙中,∵是直徑或∵∴∴是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形。即：在△中,∵∴△是直角三角形或注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓接四邊形圓的接四邊形定理：圓的接四邊形的對角互補,外角等于它的對角。即：在⊙中,∵四邊形是接四邊形∴九、切線的性質(zhì)與判定定理〔1切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不可即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線〔2性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑〔如上圖推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點；③垂直切線,三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴平分十一、圓冪定理〔1相交弦定理：圓兩弦相交,交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在⊙中,∵弦、相交于點,∴〔2推論：如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在⊙中,∵直徑,∴〔3切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在⊙中,∵是切線,是割線∴〔4割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等〔如上圖。即：在⊙中,∵、是割線∴十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：∵⊙、⊙相交于、兩點∴垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：〔1公切線長：中,；〔2外公切線長：是半徑之差；公切線長：是半徑之和。十四、圓正多邊形的計算〔1正三角形在⊙中△是正三角形,有關(guān)計算在中進(jìn)行：；〔2正四邊形同理,四邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行,：〔3正六邊形同理,六邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行,.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形：〔1弧長公式：；〔2扇形面積公式：：圓心角：扇形多對應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長：扇形面積2、圓柱：〔1圓柱側(cè)面展開圖=〔2圓柱的體積：3、圓錐側(cè)面展開圖〔1=〔2圓錐的體積：《二次函數(shù)知識點》〔一、定義與定義表達(dá)式一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c〔a≠0,則稱y為x的二次函數(shù)?！捕⒍魏瘮?shù)的三種表達(dá)式一般式：y=ax2+bx+c〔a≠0頂點式：y=a<x-h>2+k〔a≠0,此時拋物線的頂點坐標(biāo)為P〔h,k交點式：y=a<x-x1><x-x2>〔a≠0僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個交點時,x1、x2為交點的橫坐標(biāo),所以兩交點的坐標(biāo)分別為A〔x1,0和B〔x2,0,對稱軸所在的直線為x=注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系：h=—,k=；x1,x2=；〔三、二次函數(shù)的圖像從圖像可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線,屬于軸對稱圖形。二次函數(shù)圖像的畫法五點法：〔1先根據(jù)函數(shù)解析式,求出頂點坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M,并用虛線畫出對稱軸〔2求拋物線與坐標(biāo)軸的交點：當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時,描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C,再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來,并向上或向下延伸,就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時,描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像,可再描出一對對稱點A、B,然后順次連接五點,畫出二次函數(shù)的圖像。〔四、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時開口向上當(dāng)時開口向下<軸><0,0><軸><0,><,0><,><>圖象平移規(guī)律：左加右減,對x；上加下減,直接加減〔五、拋物線的性質(zhì)拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.1．拋物線是軸對稱圖形,對稱軸為直線,對稱軸與拋物線唯一的交點是拋物線的頂點P。特別地,當(dāng)b=0時,拋物線的對稱軸是y軸〔即直線x=02．拋物線有一個頂點P,坐標(biāo)為P〔-,。當(dāng)x=-時,y最值=,當(dāng)a>0時,函數(shù)y有最小值；當(dāng)a<0時,函數(shù)y有最大值。當(dāng)-=0時,P在y軸上〔即交點的橫坐標(biāo)為0；當(dāng)Δ=b2-4ac=0時,P在x軸上〔即函數(shù)與x軸只有一個交點。3．二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小〔即形狀。當(dāng)a＞0時,拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時,拋物線開口向下。|a|越大,則拋物線的開口越小。對于兩個拋物線,若形狀相同,開口方向相同,則a相等；若形狀相同,開口方向相反,則a互為相反數(shù)。4．二次項系數(shù)a和一次項系數(shù)b共同決定對稱軸的位置,四字口訣為"左同右異",即：當(dāng)對稱軸在y軸左邊時,a與b同號〔即ab＞0；當(dāng)對稱軸在y軸右邊時,a與b異號〔即ab＜0。5．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置,拋物線與y軸交于點〔0,c。6．拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0與x軸交點個數(shù)與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：Δ=b2-4ac＞0時,拋物線與x軸有2個交點,對應(yīng)方程有兩個不相同的實數(shù)根；Δ=b2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點,對應(yīng)方程有兩個相同的實數(shù)根。Δ=b2-4ac＜0時,拋物線與x軸沒有交點,對應(yīng)方程沒有實數(shù)根。〔六、二次函數(shù)的對稱性關(guān)于X軸對稱關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是；關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是；關(guān)于Y軸對稱關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是；關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是；關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱后,得到的解析式是；關(guān)于原點對稱后,得到的解析式是關(guān)于頂點對稱關(guān)于頂點對稱后,得到的解析式是；關(guān)