2024屆湖南雅禮中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末調(diào)研模擬試題含解析_第1頁
2024屆湖南雅禮中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末調(diào)研模擬試題含解析_第2頁
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文檔簡介

2024屆湖南雅禮中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末調(diào)研模擬試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn),過B,C分別作AC,AB的垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.B.C.D.2.已知下列命題:①“”的否定是“”;②已知為兩個(gè)命題,若“”為假命題,則“”為真命題;③“”是“”的充分不必要條件;④“若,則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號(hào)為()A.③④ B.①② C.①③ D.②④3.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過的直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn),且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.橢圓的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,若,則的大小為()A. B. C. D.5.設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在雙曲線的右支上,且點(diǎn)不共線.若的周長的最小值為,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.6.若,,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.7.已知函數(shù)(,是常數(shù),其中且)的大致圖象如圖所示,下列關(guān)于,的表述正確的是()A., B.,C., D.,8.函數(shù)(或)的圖象大致是()A. B. C. D.9.二項(xiàng)式的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為()A. B.80 C. D.16010.已知集合,則全集則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.11.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,又稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的,如圖(1)),類比“趙爽弦圖”,可類似地構(gòu)造如圖(2)所示的圖形,它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形,設(shè),若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在四棱錐中,是邊長為的正三角形,為矩形,,.若四棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上,則球的表面積為_____.14.已知數(shù)列滿足對(duì)任意,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.15.在中,角的對(duì)邊分別為,且.若為鈍角,,則的面積為____________.16.已知的展開式中含有的項(xiàng)的系數(shù)是,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:的離心率為,右焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)為坐標(biāo)原點(diǎn),過作兩條射線,分別交橢圓于、兩點(diǎn),若、斜率之積為,求證:的面積為定值.18.(12分)已知函數(shù),的最大值為.求實(shí)數(shù)b的值;當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;當(dāng)時(shí),令,是否存在區(qū)間,,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)??若存在,求?shí)數(shù)k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.19.(12分)已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,向量,,且.(1)求角的大小;(2)若,求的值20.(12分)已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)在中,角所對(duì)的邊分別為,若,,,且.(1)求角的值;(2)求的最大值.22.(10分)已知圓:和拋物線:,為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)已知直線和圓相切,與拋物線交于兩點(diǎn),且滿足,求直線的方程;(2)過拋物線上一點(diǎn)作兩直線和圓相切,且分別交拋物線于兩點(diǎn),若直線的斜率為,求點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知在軸上,設(shè),則由得:,因?yàn)榈街本€的距離小于,所以,即,所以雙曲線漸近線斜率,故選A.2、B【解析】

由命題的否定,復(fù)合命題的真假,充分必要條件,四種命題的關(guān)系對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷.【詳解】“”的否定是“”,正確;已知為兩個(gè)命題,若“”為假命題,則“”為真命題,正確;“”是“”的必要不充分條件,錯(cuò)誤;“若,則且”是假命題,則它的逆否命題為假命題,錯(cuò)誤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假判斷,掌握四種命題的關(guān)系,復(fù)合命題的真假判斷,充分必要條件等概念是解題基礎(chǔ).3、B【解析】

先求出直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得A,B的縱坐標(biāo),利用,求出a,b的關(guān)系,即可求出該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線1(a>b>0)的漸近線方程為y=±x,∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍,∴kl,∴直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得y或y,∵,∴2?,∴ab,∴c=2b,∴e.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),考查向量知識(shí),考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.4、C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得,,再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,,,又,則,由余弦定理可得.故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義,考查余弦定理,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

依題意可得即可得到,從而求出雙曲線的離心率的取值范圍;【詳解】解:依題意可得如下圖象,所以則所以所以所以,即故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于中檔題.6、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),取得的取值范圍,即可求解,得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,即,又由,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵,著重考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出,故得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征,本題屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

確定函數(shù)的奇偶性,排除兩個(gè)選項(xiàng),再求時(shí)的函數(shù)值,再排除一個(gè),得正確選項(xiàng).【詳解】分析知,函數(shù)(或)為偶函數(shù),所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱,排除B,C,當(dāng)時(shí),,排除D,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,解題時(shí)可通過研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等,研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負(fù),以及函數(shù)值的變化趨勢,排除錯(cuò)誤選項(xiàng),得正確結(jié)論.9、A【解析】

求出二項(xiàng)式的展開式的通式,再令的次數(shù)為零,可得結(jié)果.【詳解】解:二項(xiàng)式展開式的通式為,令,解得,則常數(shù)項(xiàng)為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解,關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通式,是基礎(chǔ)題.10、D【解析】

化簡集合,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),化簡集合,按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義,逐項(xiàng)判斷,即可求出結(jié)論.【詳解】由,則,故,由知,,因此,,,,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系,求解不等式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

畫出可行域,根據(jù)可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離,求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由,,三點(diǎn)所圍成的三角形及其內(nèi)部,如圖中陰影部分,而可理解為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,顯然原點(diǎn)到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值,此時(shí),點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值,此時(shí).所以的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查線性規(guī)劃,兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識(shí).12、D【解析】

設(shè),則,小正六邊形的邊長為,利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為,再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè),則,即小正六邊形的邊長為,所以,,,在中,由余弦定理得,即,解得,所以,大正六邊形的邊長為,所以,小正六邊形的面積為,大正六邊形的面積為,所以,此點(diǎn)取自小正六邊形的概率.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

做中點(diǎn),的中點(diǎn),連接,由已知條件可求出,運(yùn)用余弦定理可求,從而在平面中建立坐標(biāo)系,則以及的外接圓圓心為和長方形的外接圓圓心為在該平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)可求,通過球心滿足,即可求出的坐標(biāo),從而可求球的半徑,進(jìn)而能求出球的表面積.【詳解】解:如圖做中點(diǎn),的中點(diǎn),連接,由題意知,則設(shè)的外接圓圓心為,則在直線上且設(shè)長方形的外接圓圓心為,則在上且.設(shè)外接球的球心為在中,由余弦定理可知,.在平面中,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線為軸,以過點(diǎn)垂直于軸的直線為軸,如圖建立坐標(biāo)系,由題意知,在平面中且設(shè),則,因?yàn)?,所以解?則所以球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體外接球的問題,考查了球的表面積.關(guān)于幾何體的外接球的做題思路有:一是通過將幾何體補(bǔ)充到長方體中,將幾何體的外接球等同于長方體的外接球,求出體對(duì)角線即為直徑,但這種方法適用性較差;二是通過球的球心與各面外接圓圓心的連線與該平面垂直,設(shè)半徑列方程求解;三是通過空間、平面坐標(biāo)系進(jìn)行求解.14、【解析】

利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由題,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

轉(zhuǎn)化為,利用二倍角公式可求解得,結(jié)合余弦定理可得b,再利用面積公式可得解.【詳解】因?yàn)?,所以.又因?yàn)?,且為銳角,所以.由余弦定理得,即,解得,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.16、1【解析】

由二項(xiàng)式定理及展開式通項(xiàng)公式得:,解得,令得:展開式中各項(xiàng)系數(shù)和,得解.【詳解】解:由的展開式的通項(xiàng),令,得含有的項(xiàng)的系數(shù)是,解得,令得:展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開式通項(xiàng)公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析【解析】

(1)由條件可得,再根據(jù)離心率可求得,則可得橢圓方程;(2)當(dāng)與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程為:,與橢圓聯(lián)立求得的坐標(biāo),通過、斜率之積為列方程可得的值,進(jìn)而可得的面積;當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè),,的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理和、斜率之積為可得,再利用弦長公式求出,以及到的距離,通過三角形的面積公式求解.【詳解】(1)拋物線的焦點(diǎn)為,,,,,,橢圓方程為;(2)(?。┊?dāng)與軸垂直時(shí),設(shè)直線的方程為:代入得:,,,解得:,;(ⅱ)當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè),,的方程為由,由①,,,即整理得:代入①得:到的距離綜上:為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,是中檔題.18、(1);(2)時(shí),在單調(diào)增;時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;時(shí),同理在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(3)不存在.【解析】分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)時(shí),取得極大值,也是最大值,由,可得結(jié)果;(2)求出,分三種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(3)假設(shè)存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則,問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根,進(jìn)而可得結(jié)果.詳解:(1)由題意得,令,解得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí),取得極大值,也是最大值,所以,解得.(2)的定義域?yàn)?①即,則,故在單調(diào)增②若,而,故,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)及時(shí),故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.③若,即,同理在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增(3)由(1)知,所以,令,則對(duì)恒成立,所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,所以恒成立,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.假設(shè)存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則,問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根,即方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根,令,,則,設(shè),,則對(duì)恒成立,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,故恒成立,所以,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,所以方程在區(qū)間內(nèi)不存在兩個(gè)不相等的實(shí)根.綜上所述,不存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是.點(diǎn)睛:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值值,屬于難題.求函數(shù)極值、最值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù);(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào),如果左正右負(fù)(左增右減),那么在處取極大值,如果左負(fù)右正(左減右增),那么在處取極小值.(5)如果只有一個(gè)極值點(diǎn),則在該處即是極值也是最值;(6)如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小.19、(1)(2)【解析】

利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角的余弦公式得到關(guān)于的方程,解方程即可求解;由知,在中利用余弦定理得到關(guān)于的方程,與方程聯(lián)立求出,進(jìn)而求出,利用兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意得,,由二倍角的余弦公式可得,,又因?yàn)?,所以,解得或,∵,?在中,由余弦定理得,即①又因?yàn)?把代入①整理得,,解得,,所以為等邊三角形,,∴,即.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和余弦定理及二倍角的余弦公式解三角形;熟練掌握余弦的二倍角公式和余弦定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.20、(1)(2)【解析】

(1)先利用等比數(shù)列的性質(zhì),可分別求出的值,從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2

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