第5章 習(xí)題課8 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 練習(xí) 高中數(shù)學(xué)新湘教版必修第一冊（2023~2024學(xué)年）

習(xí)題課8誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【課后精練】基礎(chǔ)訓(xùn)練1.sin210°cos120°=().A.14 B.-34 C.-32【答案】A【解析】sin210°cos120°=sin(180°+30°)cos(180°-60°)=-sin30°×(-cos60°)=-12×-12=14.故選A.2.(多選題)下列三角函數(shù)值與sinπ3的值相同的是()A.sinnπ+4π3 B.cos2nπ+π6C.sin2nπ+π3 D.cos(2n+1)π-π6【答案】BC【解析】sinπ3=32.A不同,當(dāng)n是偶數(shù)時,sinnπ+4π3=sin4π3=sinπ+π3=-32,當(dāng)n是奇數(shù)時,sinnπ+4π3=sinnπ+π+π3=sinπ3=32;B相同,cos2nπ+π6=cosπ6=32;同理可知C化簡的結(jié)果為32;D化簡的結(jié)果為-33.已知α∈π2,π,若cosπ6-α=-34,則sinα+5π6的值為().A.-34 B.3C.-134 D.【答案】C【解析】∵α∈π2,π,∴-5π6<π6-α<-π則sinπ6-α=-1-cos2(π∴sinα+5π6=sinπ-π6-α=sinπ6-α=-134.故選C.4.已知α,β∈0,π2,且α,β的終邊關(guān)于直線y=x對稱,若sinα=35,則sinβ=().A.35 B.C.7210 D【答案】B【解析】由α,β∈0,π2,且α,β的終邊關(guān)于直線y=x對稱知,α+β=π2,因此β=π2-α,所以sinβ=sinπ2-α=cosα=1-sin2α=455.已知3sinθ+π2+sin(θ+π)=0,θ∈(-π,0),則sinθ=().A.-31010 B.-C.31010 D【答案】A【解析】因為3sinθ+π2+sin(θ+π)=0,所以3cosθ-sinθ=0,所以cosθ=13sinθ因為θ∈(-π,0),sin2θ+cos2θ=1,所以sinθ=-31010.故選6.已知a=tan-7π6,b=cos23π4,c=sin-33π4,則b+c=;a,b,c的大小關(guān)系是.

【答案】0b>a>c【解析】∵a=-tan7π6=-tanπ6=-33,b=cos6π-π4=cosπ4=22,c=-sin33π4=-sinπ47.已知α是第四象限角,且tanα=-2,計算下列各式的值:(1)3sin(π(2)sin(π-α)cos(π+α)+3cos2α.【解析】(1)3sin(=3cosα5cosα+sinα=35+tanα=35+(-2)(2)由tanα=sinαcosα=-2,得sinα=-2cosα則sin2α+cos2α=(-2cosα)2+cos2α=5cos2α=1,因為α是第四象限角,所以cosα=55,sinα=-2所以sin(π-α)cos(π+α)+3cos2α=-sinαcosα+3cos2α=255×55+3×552=25+3能力拔高8.(多選題)下列等式成立的有().A.tanπ6-α=tan5π6+αB.sinπ3+α=cosα-π6C.tan2αsin2α=tan2α-sin2αD.sin4α-cos4α=2sin2α-1【答案】BCD【解析】對于A,tanπ6-α=tanπ-5π6+α=-tan5π6+α,故A錯誤;對于B,sinπ3+α=sinπ2+α-π6=cosα-π6,故B正確;對于C,tan2αsin2α=sin2αcos2α·sin2α=1-cos2αcos2α·sin2α=1cos2α-1·sin2α=對于D,sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1,故D正確.故選BCD.9.已知tanα=2,則sin(π2-α)+3cos(π+【答案】-1【解析】原式=cosα-3cosαsinα+sinα=-1tanα=-10.由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形,如圖所示,若直角三角形中較小的內(nèi)角為θ,大正方形的面積是1,小正方形的面積是125,則sin2θ-cos2θ=【答案】-7【解析】由題意可知,拼圖中的每個直角三角形的長直角邊為cosθ,短直角邊為sinθ,小正方形的邊長為cosθ-sinθ.∵小正方形的面積是125,∴(cosθ-sinθ)2=1∵θ為直角三角形中較小的銳角,∴cosθ>sinθ,∴cosθ-sinθ=15又∵(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=125∴2sinθcosθ=2425,∴1+2sinθcosθ=49即(cosθ+sinθ)2=4925,∴cosθ+sinθ=7∴sin2θ-cos2θ=(cosθ+sinθ)(sinθ-cosθ)=-72511.在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為頂點,以x軸的非負(fù)半軸為角的始邊,已知角α的終邊與單位圓交于點A-35,45,角β的終邊落在射線y=x(x>0)上.(1)求sinαtanβ的值;(2)求sinπ2-α)sin(3π+【解析】(1)依題意,點A到原點O的距離為(45由三角函數(shù)的定義知sinα=45設(shè)射線y=x(x>0)上任意一點為B(m,m),m>0,則tanβ=mm=1,所以sinαtanβ=4(2)(法一)由三角函數(shù)的定義知,tanα=-43,tanβ=故sin(π2=-cosαsinα+=-1tanα+1tan2β+3tanβ=(法二)由三角函數(shù)的定義知,sinα=45,cosα=-35,sinβ=22,cos故sin(π2=-cosαsinα+cos2βsin2思維拓展12.是否存在α∈-π2,π2,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=2cosπ2-β,3cos(-α)=-2cos(π+β)同時成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,請說明理由.【解析】假設(shè)存在角α,β滿足條件,則由已知條件可得sinα=由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2,∴sin2α=12,∴sinα=±2∵α∈-π2,π2,∴α=±π4當(dāng)α=π4時,由②式知cosβ=3又β∈(0,π),∴β=π6,此時①式成立當(dāng)α=-π4時,由②式知cosβ=3又β∈(0,π),∴β=π6,此時①式不成立,故舍去∴存在α=π4,β=π613.在①4sin(2021π-α)=3cos(2021π+α),②sinα+cosα=15,③α,β的終邊關(guān)于x軸對稱,并且4sinβ=3cosβ這三個條件中任選一個,補充在下面問題中已知第四象限角α滿足,求下列各式的值.

(1)3sinα(2)sin2α+3sinαcosα.【解析】選①,∵4sin(2021π-α)=3cos(2021π+α),∴4sinα=-3cosα,∴tanα=-34選②,∵α是第四象限角,∴sinα<0,cosα>0,又∵sinα+cosα=15,∴15-cosα2+cos2α=1,∴cosα=45,sinα=-3∴tanα=-34選③,∵α是第四象限角,∴sinα<0,cos