2022-2023學(xué)年廣東省深圳市龍崗區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年廣東省深圳市龍崗區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知直線的方程為x﹣y+1＝0，則該直線的傾斜角為（）A．π6 B．π4 C．2π32．（5分）“m＝4”是“2，m，8成等比數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）已知等差數(shù)列{an}中，a2+a7＝18，則數(shù)列{an}的前8項和S8等于（）A．42 B．50 C．72 D．904．（5分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，A．12a→+C．12a→5．（5分）已知直線l的方向向量是a→=（3，﹣2，1），平面α的法向量是μ→=（1，2，1），則A．l⊥α B．l∥α C．l與α相交但不垂直 D．l∥α或l?α6．（5分）已知兩條異面直線的方向向量分別是m→=(1，-2，3)，n→A．sinθ=914 B．sinθ=14 C．7．（5分）已知點P是拋物線x2＝4y上的一個動點，則點P到點B（4，3）的距離與P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（）A．172 B．3 C．25 8．（5分）直線y＝kx交橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)于A，B兩點，P為橢圓上異于A，B的點，PA，PBA．35 B．34 C．3二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分20分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）下列四個選項中，正確的是（）A．?dāng)?shù)列1，0，1，0，?與數(shù)列0，1，0，1，?是同一數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的圖象是一群孤立的點 C．?dāng)?shù)列13，25，37，4D．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2+2n+1，則a3＝7（多選）10．（5分）已知雙曲線C：x29A．實軸長為6 B．焦距為5 C．離心率為43D．焦點到漸近線的距離為4（多選）11．（5分）在平面上，動點M與兩定點A，B滿足|MA|＝λ|MB|（λ＞0且λ≠1），則M的軌跡是個圓，這個圓稱作為阿波羅尼斯圓．已知動點M（x，y）與兩定點A（﹣3，0），B（0，0）滿足|MA|＝2|MB|，記M的軌跡為圓C．則下列結(jié)論正確的是（）A．.圓C方程為：（x﹣1）2+y2＝4 B．.過點P（0，3）作圓C的切線，則切線長是6 C．.過點Q（0，3）作圓C的切線，則切線方程為x-3D．.直線（m+1）x﹣my﹣（2m+2）＝0（m∈R）與圓C相交于A，B兩點，則|AB|的最小值是23（多選）12．（5分）如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點，則（）A．直線EF與AC所成的角為60° B．直線A1G與平面ABCD所成的角為60° C．直線A1G與平面AEF平行 D．平面AEF截正方體所得的截面面積為9三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（5分）已知空間向量a→=(1，2，0)，b→=(-2，1，3)14．（5分）已知直線3x+4y﹣3＝0與6x+my+1＝0互相平行，則它們之間的距離是．15．（5分）在數(shù)列{an}中，2an+1=1an+1an+2，a1＝1，a2=12，則a1a16．（5分）已知實數(shù)x，y滿足(x+7)2+y2+四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）求出滿足下列條件曲線的方程：（1）求焦點在x軸上，長軸長為4，短軸長為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點A（1，2）的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．18．（12分）（1）在等差數(shù)列{an}中，a1+a3＝5，a2+a4＝10，求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn；（2）在等比數(shù)列{bn}中，b1+b3＝5，b2+b4＝10，求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Tn．19．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）經(jīng)過點P（1，2），O為坐標(biāo)原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點．（1）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）若OA⊥OB，求證：直線AB過x軸上一定點．20．（12分）已知數(shù)列{an}的首項a1＝3，且滿足an+1＝2an﹣1．（1）求證：{an﹣1}是等比數(shù)列；（2）若bn=3n-2an-1，記數(shù)列{bn}的前n項和為21．（12分）如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形BDEF為平行四邊形，F(xiàn)A＝FC，AB＝2，∠DAB＝60°．（1）求證：AC⊥平面BDEF；（2）若FB＝FD，平面AEF與平面ABF的夾角為45°，求點B到平面AEF的距離．22．（12分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的兩焦點F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點F1作不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與y軸負(fù)半軸交于點Q，若點Q的縱坐標(biāo)的最大值為-18，求|

2022-2023學(xué)年廣東省深圳市龍崗區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知直線的方程為x﹣y+1＝0，則該直線的傾斜角為（）A．π6 B．π4 C．2π3【解答】解：直線x﹣y+1＝0的斜率k＝1，設(shè)其傾斜角為θ（0°≤θ＜180°），∴tanθ＝1，得θ=π故選：B．2．（5分）“m＝4”是“2，m，8成等比數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：若2，m，8成等比數(shù)列，則m2＝16，解得m＝±4，故“m＝4”是“2，m，8成等比數(shù)列”的充分不必要條件，故選：A．3．（5分）已知等差數(shù)列{an}中，a2+a7＝18，則數(shù)列{an}的前8項和S8等于（）A．42 B．50 C．72 D．90【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，a2+a7＝18，則S8=(故選：C．4．（5分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，A．12a→+C．12a→【解答】解：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，AD→=b→，故DO→故選：B．5．（5分）已知直線l的方向向量是a→=（3，﹣2，1），平面α的法向量是μ→=（1，2，1），則A．l⊥α B．l∥α C．l與α相交但不垂直 D．l∥α或l?α【解答】解：直線l的方向向量是a→=（3，﹣2，1），平面α的法向量是∵a→∴則l與α的位置關(guān)系是l∥α或l?α．故選：D．6．（5分）已知兩條異面直線的方向向量分別是m→=(1，-2，3)，n→A．sinθ=914 B．sinθ=14 C．【解答】解：兩條異面直線的方向向量分別是m→=(1，-2，3)，∴cos＜m∴這兩條異面直線所成的角θ滿足cosθ=9sinθ=1-(故選：C．7．（5分）已知點P是拋物線x2＝4y上的一個動點，則點P到點B（4，3）的距離與P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（）A．172 B．3 C．25 【解答】解：已知拋物線方程為x2＝4y，則拋物線的焦點F的坐標(biāo)為（0，1），又42＞4×3，即點B（4，3）在拋物線外部，由拋物線的定義可得：點P到點B（4，3）的距離與P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離等于|PB|+|PF|，又|PB|+|PF|≥|BF|=(4-0)2+(3-1)2=2即點P到點B（4，3）的距離與P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為25故選：C．8．（5分）直線y＝kx交橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)于A，B兩點，P為橢圓上異于A，B的點，PA，PBA．35 B．34 C．3【解答】解：設(shè)P（x0，y0），則由P在橢圓上可得y02=a2∵直線AP與BP的斜率之積為-16∴y02把①代入②化簡可得b2a2=1625故選：A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分20分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）下列四個選項中，正確的是（）A．?dāng)?shù)列1，0，1，0，?與數(shù)列0，1，0，1，?是同一數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的圖象是一群孤立的點 C．?dāng)?shù)列13，25，37，4D．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2+2n+1，則a3＝7【解答】解：根據(jù)數(shù)列項的有序性可知，A顯然錯誤；由于n為正整數(shù)，即數(shù)列的圖象是一群孤立的點，B正確；數(shù)列13，25，37，49，…分子為從1開始的連續(xù)正整數(shù)，分母為3開始，相差2的正整數(shù)，故其一個通項公式為an數(shù)若列{an}的前n項和Sn＝n2+2n+1，則a3＝S3﹣S2＝7，D正確．故選：BCD．（多選）10．（5分）已知雙曲線C：x29A．實軸長為6 B．焦距為5 C．離心率為43D．焦點到漸近線的距離為4【解答】解：已知雙曲線C：x則a＝3，b＝4，c=9+16對于選項A，雙曲線的實軸長為6，即選項A正確；對于選項B，雙曲線的焦距為10，即選項B錯誤；對于選項C，雙曲線的離心率為53即選項C錯誤；對于選項D，雙曲線的焦點到漸近線的距離為43即選項D正確．故選：AD．（多選）11．（5分）在平面上，動點M與兩定點A，B滿足|MA|＝λ|MB|（λ＞0且λ≠1），則M的軌跡是個圓，這個圓稱作為阿波羅尼斯圓．已知動點M（x，y）與兩定點A（﹣3，0），B（0，0）滿足|MA|＝2|MB|，記M的軌跡為圓C．則下列結(jié)論正確的是（）A．.圓C方程為：（x﹣1）2+y2＝4 B．.過點P（0，3）作圓C的切線，則切線長是6 C．.過點Q（0，3）作圓C的切線，則切線方程為x-3D．.直線（m+1）x﹣my﹣（2m+2）＝0（m∈R）與圓C相交于A，B兩點，則|AB|的最小值是23【解答】解：設(shè)M（x，y），由題意可得(x+3)2+整理可得：（x﹣1）2+y2＝4，即M的軌跡為圓心M（1，0），半徑r＝2的圓，所以A正確；B中，因為|PM|=12+32=10C中，因為（0﹣1）2+（3）2＝4，即Q在圓上，kQM=3所以過Q的切線的斜率為-1所以切線方程為：y-3=33x，即x-D中，直線AB：（m+1）x﹣my﹣（2m+2）＝0（m∈R）整理可得：m（x﹣y﹣2）+x﹣2＝0，則直線AB過x﹣y﹣2＝0與x﹣2＝0的交點E（2，0），即直線恒過E（2，0），而此點在圓內(nèi)，所以直線AB與圓有兩個交點，當(dāng)ME與直線AB垂直時，弦長|AB|最小，|ME|＝1，此時|AB|＝2r2-|ME|2=24-1故選：ABD．（多選）12．（5分）如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點，則（）A．直線EF與AC所成的角為60° B．直線A1G與平面ABCD所成的角為60° C．直線A1G與平面AEF平行 D．平面AEF截正方體所得的截面面積為9【解答】解：對于A：連接A1C1，A1B，C1B，由E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點，可得BC1∥EF，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，可得A1C1∥AC，所以∠A1C1B為異面直線直線EF與AC所成的角，由△A1C1B為等邊三角形，所以可得直線EF與AC所成的角為60°，故A正確；對于B：取AA1的中點為M，連接MB，因為G是BB1的中點，可得四邊形MBGA1為平行四邊形，所以A1G∥MB，因為AA1⊥平面ABCD，所以直線A1G與平面ABCD所成的角為∠MBA，其中tan∠MBA=12，所以∠MBA≠60°，所以對于C：如圖所示，取B1C1的中點Q，連接AQ，GQ，由GQ∥EF，且GQ?平面AEF，EF?平面AEF，所以GQ∥平面AEF，同理可證：A1Q∥平面AEF，因為GQ∩A1Q＝Q，且GQ，A1Q?平面A1GQ，平面A1GQ∥平面AEF，又因為A1G?平面A1GQ，所以A1G∥平面AEF，所以C正確；對于D：因為E，F(xiàn)為BC，C1C的中點，所以EF∥BC1，因為AD1∥BC1，所以EF∥AD1，所以A，E，F(xiàn)，D1四點共面，所以截面即為等腰梯形AEFD1，因為正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，可得EF=22，AD1=則高為h=(所以梯形的面積為S=12?(故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（5分）已知空間向量a→=(1，2，0)，b→=(-2，1，3)【解答】解：由于空間向量a→=(1，2，0)，b→故答案為：（5，0，﹣6）．14．（5分）已知直線3x+4y﹣3＝0與6x+my+1＝0互相平行，則它們之間的距離是710【解答】解：直線3x+4y﹣3＝0與6x+my+1＝0分別化為：y=-34x+∵直線3x+4y﹣3＝0與6x+my+1＝0互相平行，∴-6解得m＝8，直線6x+my+1＝0即3x+4y+1∴它們之間的距離d=|-3-故答案為：71015．（5分）在數(shù)列{an}中，2an+1=1an+1an+2，a1＝1，a2=12，則a1a2+【解答】解：在數(shù)列{an}中，2an+1=1an可得{1an}是首項為1，公差為則1an=1+n﹣1＝n，即a所以anan+1=1所以a1a2+a2a3+?+a2022a2023＝1-12+12故答案為：2022202316．（5分）已知實數(shù)x，y滿足(x+7)2+y2+(x-7【解答】解：因為實數(shù)x，y滿足(x+7即點P（x，y）到點F1（-7，0）與到點F2（7又因為27=所以點P（x，y）的軌跡是以F1（-7，0），F(xiàn)2（7所以2a＝8，a＝4，c=7，b2＝a2﹣c2所以橢圓的方程為x2而|3x﹣4y﹣24|表示橢圓x216+y2設(shè)M（4cosθ，3sinθ）（θ∈R）為橢圓x216+y29=1上的任意一點，且點M則d=|12cosθ-12sinθ-24|所以當(dāng)cos（θ+π4）＝﹣1時，d取最大值為所以此時|3x﹣4y﹣24|最大值為122+故答案為：122+四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）求出滿足下列條件曲線的方程：（1）求焦點在x軸上，長軸長為4，短軸長為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點A（1，2）的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：（1）∵橢圓的焦點在x軸上，且長軸長為4，短軸長為2，∴2a＝4，2b＝2，∴a＝2，b＝1，∴橢圓的方程為：x24+（2）設(shè)對稱軸在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程為x2﹣y2＝λ（λ≠0），將點A（1，2），代入可得12﹣22＝λ，∴λ＝﹣3，∴方程為x2﹣y2＝﹣3，即y218．（12分）（1）在等差數(shù)列{an}中，a1+a3＝5，a2+a4＝10，求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn；（2）在等比數(shù)列{bn}中，b1+b3＝5，b2+b4＝10，求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Tn．【解答】解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a1整理，得2a解得a1∴an＝0+52?（n﹣1）=52n-5Sn＝n?0+n(n-1)2?52=5（2）由題意，設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則b1即b1解得b1∴bn＝1?2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*，Tn=1-2n19．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）經(jīng)過點P（1，2），O為坐標(biāo)原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點．（1）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）若OA⊥OB，求證：直線AB過x軸上一定點．【解答】解：（1）由拋物線C：y2＝2px經(jīng)過P（1，2）知，2p＝4，解得p＝2，所以拋物線C的方程為：y2＝4x，所以拋物線C的焦點坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1；（2）證明：①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，設(shè)A（n24，n），B（n2因為OA⊥OB，所以O(shè)A→?OB→=n416此時AB的方程為x＝4，過x軸上的（4，0）點；②當(dāng)直線AB的斜率存在時且不為0，設(shè)其方程：x＝ty+m，m≠0，設(shè)A（x1，y1），B（x1，y1），聯(lián)立x=ty+my2=4x，整理可得：y2﹣4ty﹣4m＝0，Δ＝16t2+16m＞0，即t2y1y2＝﹣4m，x1x2=(y1因為OA⊥OB，即OA→?OB→=x1x2+y1y1＝m2﹣4m即直線AB的方程為：x＝ty+4，可證得直線AB過定點（4，0）．20．（12分）已知數(shù)列{an}的首項a1＝3，且滿足an+1＝2an﹣1．（1）求證：{an﹣1}是等比數(shù)列；（2）若bn=3n-2an-1，記數(shù)列{bn}的前n項和為【解答】證明：（1）由an+1＝2an﹣1，變形為an+1﹣1＝2（an﹣1），a1﹣1＝2，∴數(shù)列{an﹣1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．（2）由（1）可得：an﹣1＝2n，∴bn=3n-2an∴數(shù)列{bn}的前n項和Mn=12+4×122+12Mn=122+4×123+?+相減可得12Mn=12+3（122+123+?+化為Mn＝4-3n+4∴Mn＜4．21．（12分）如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形BDEF為平行四邊形，F(xiàn)A＝FC，AB＝2，∠DAB＝60°．（1）求證：AC⊥平面BDEF；（2）若FB＝FD，平面AEF與平面ABF的夾角為45°，求點B到平面AEF的距離．【解答】解：（1）證明：設(shè)AC與BD相交于O點，連接OF，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，O為AC的中點，∵FA＝FC，∴AC⊥OF，又∵OF∩BD＝O，OF?平面BDEF，BD?平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF；（2）連接DF，∵FB＝FD，O為BD中點，∴OF⊥BD，又∵AC⊥OF，AC∩BD＝0，∴OF⊥平面ABCD，以點O為坐標(biāo)原點，OA、OB、OF所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．∴A(