第一章習(xí)題課二項(xiàng)式定理

2023/12/28第一章習(xí)題課二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能熟練地掌握二項(xiàng)式定理的展開式及有關(guān)概念.2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測(cè)題型探究?jī)?nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)1.二項(xiàng)式定理及其相關(guān)概念二項(xiàng)式定理公式(a＋b)n＝

，稱為二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式系數(shù)_______________________________________________通項(xiàng)Tk＋1＝

(k＝0,1，…n)二項(xiàng)式定理的特例2.二項(xiàng)式系數(shù)的四個(gè)性質(zhì)(楊輝三角的規(guī)律)(1)對(duì)稱性：

；(2)性質(zhì)：

＝

；(3)二項(xiàng)式系數(shù)的最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的

取得最大值，即

最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的

相等，且同時(shí)取得最大值，即

最大；(4)二項(xiàng)式系數(shù)之和：

，所用方法是

.一項(xiàng)賦值法兩項(xiàng)題型探究命題角度1兩個(gè)二項(xiàng)式積的問題類型一二項(xiàng)式定理的靈活應(yīng)用答案解析例1

(1)的展開式中x的系數(shù)是A.－4 B.－3C.3 D.4√(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝_____.解析(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.答案解析－1則10＋5a＝5，解得a＝－1.反思與感悟兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式中特定項(xiàng)問題(1)分別對(duì)每個(gè)二項(xiàng)展開式進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)它們各自項(xiàng)的特點(diǎn).(2)找到構(gòu)成展開式中特定項(xiàng)的組成部分.(3)分別求解再相乘，求和即得.答案解析√解析

令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，令5－2k＝1，得k＝2，令5－2k＝－1，得k＝3，(2)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝_____.解析

f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)答案解析120答案解析命題角度2三項(xiàng)展開式問題令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5.∴展開式的通項(xiàng)為

(k1＝0,1,2，…，5). (k2＝0,1,2，…，5－k1).反思與感悟三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開問題，應(yīng)根據(jù)式子的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來解決，轉(zhuǎn)化的方法通常為配方法，因式分解，項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合，項(xiàng)與項(xiàng)結(jié)合時(shí)，要注意合理性和簡(jiǎn)捷性.跟蹤訓(xùn)練2

(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為_____.解析方法一

(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，答案解析30方法二

(x2＋x＋y)5為5個(gè)x2＋x＋y之積，其中有兩個(gè)取y，兩個(gè)取x2，一個(gè)取x即可，命題角度3整除和余數(shù)問題例3

今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期A.一

B.二

C.三

D.四√解析求第810天是星期幾，實(shí)質(zhì)是求810除以7的余數(shù)，應(yīng)用二項(xiàng)式定理將數(shù)變形求余數(shù).答案解析所以第810天相當(dāng)于第1天，故為星期一.反思與感悟(1)利用二項(xiàng)式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開，只考慮后面(或前面)一、二項(xiàng)就可以了.(2)解決求余數(shù)問題，必須構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式.跟蹤訓(xùn)練3

設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512017＋a能被13整除，則a＝____.答案解析1能被13整除，0≤a<13.故－1＋a能被13整除，故a＝1.(1)若展開式中第五項(xiàng)、第六項(xiàng)、第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)；類型二二項(xiàng)式系數(shù)的綜合應(yīng)用解答即n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14.當(dāng)n＝7時(shí)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)和第五項(xiàng)，當(dāng)n＝14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第八項(xiàng)，(2)若展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).解答得n＝－13(舍去)或n＝12.設(shè)Tk＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，∵0≤k≤n，k∈N，∴k＝10.∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第11項(xiàng)，反思與感悟解決此類問題，首先要分辨二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式的項(xiàng)的系數(shù)，其次理解記憶其有關(guān)性質(zhì)，最后對(duì)解決此類問題的方法作下總結(jié)，尤其是有關(guān)排列組合的計(jì)算問題加以細(xì)心.跟蹤訓(xùn)練4

已知

展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和比(2x＋xlgx)2n展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和少112，第二個(gè)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值為1120，求x.解答解依題意得2n－22n－1＝－112，整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4，所以第二個(gè)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng).化簡(jiǎn)得x4(1＋lgx)＝1，所以x＝1或4(1＋lgx)＝0，達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.在x(1＋x)6的展開式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)為A.30 B.20C.15 D.10答案解析√12345答案解析2.在(x＋y)n的展開式中，第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是A.第6項(xiàng)

B.第5項(xiàng)C.第5、6項(xiàng)

D.第6、7項(xiàng)√12345∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng).答案解析√12345答案解析√12345因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余數(shù)為7.答案解析5.設(shè)

的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M,8，N三數(shù)成等比數(shù)列，則展開式中第四項(xiàng)為________.解析

當(dāng)x＝1時(shí)，可得M＝1，二項(xiàng)式系數(shù)之和N＝2n，由題意，得M·N＝64，∴2n＝64，∴n＝6.12345－160x1.兩個(gè)二項(xiàng)展開式乘積的展開式