2023新高考新教材版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)3

2023新高考新教材版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)

3.5函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根

考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)

2—|x|x<2

1.(2015天津文,8,5分)已知函數(shù)1?)='一’函數(shù)g(x)=3-f(2-x),則函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

0-2汽x>2,

A.2B.3C.4().5

(\x-2\+1,x>0,

答案A由已知條件可得g(x)=3-f(2-x)={°2,A函數(shù)尸f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)與產(chǎn)g(x)圖象

的交點(diǎn)個(gè)數(shù),在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象如圖所示.

由圖可知函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,選A.

2.(2S4北版，6,5分)已知函數(shù)f(x)=|-log2x.國(guó)咧區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,4)D.(4,+8)

答案C'.-f(l)=6-log2l=6>0,￡(2)=3-10蚯=2>0,￡(4)=沁824等2<0,:包含￡q)零點(diǎn)的區(qū)間是(2,4),故選(；.

3.(2011課標(biāo),10,5分)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=e"+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

MT.。)B.M)

C(品)D.(彩)

答案C顯然f(x)為定義域R上的連續(xù)函數(shù).如圖作出y=e,與y=3-4x的圖象,由圖象知函數(shù)f(x)=e'+4x-3的零點(diǎn)一定落在區(qū)

間(0,9內(nèi)，又《》=處-2<0,fQ)=V^-l>0.故選C.

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評(píng)析本題考查函數(shù)零點(diǎn)的概念及求解方法,考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,屬中等難度試題.

4.(2016山東文,15,5分)已知函數(shù)￡儀)=，可‘),,、‘叫其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)

1%—2mx+4m,x>m,

不同的根,則m的取值范圍是.

答案(3,+8)

解析f(x)的圖象如圖所示，

若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,只需解之得m>3或m<0,又m>0,所以m>3.

方法總結(jié)分段函數(shù)問(wèn)題、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題或方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題通常采用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決.

評(píng)析本題考查基本初等函數(shù)及分段函數(shù)的圖象,考查數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于難題.

5.(2016天津文,14,5分)已知函數(shù)f(x)=

(x2+(4a—3)x+3a,x<0,Y

(a>0,且aH1)在R上單調(diào)遞減,且關(guān)于x的方程|f(x)|=2力恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取

[loga(x+1)+1,x>0

值范圍是.

4a—3

13x

0<；<1,解得wWaWl在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)y=|f(x)I與y=2§的圖象,如

{3a>1,

圖所示.

X___x___2

方程If(x)恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解等價(jià)于尸If(x)的圖象與尸2-§的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則需滿足3a<2,得水孑綜上可

知,gwa<|.

4a—3八

----->0,

易錯(cuò)警示(l)f(x)在R上單調(diào)遞減，需滿足?0<；<1,缺少條件是失分的一個(gè)原因;

3a>1,

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(2)由方程解的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍往往利用數(shù)形結(jié)合思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題是解決這類問(wèn)題常用的方

法.

評(píng)析本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)與方程,利用數(shù)形結(jié)合思想,將方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)

數(shù)的問(wèn)題是求解這類問(wèn)題的常用方法.

6.(2015湖南理,15,5分)已知函數(shù)f(x)=￡'X-"若存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍

(x,x>a.

是?

答案(-OO,0)U(l,+oo)

22

解析當(dāng)a<0時(shí)，若x￡(a,+oo),則f(x)=x,當(dāng)bw(0,a)時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),分別是x產(chǎn)-x2=y/b.

當(dāng)OWaW1時(shí),f(x)的圖象如圖所示,

易知函數(shù)y=f(x)-b最多有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a>l時(shí),f(x)的圖象如圖所示，

當(dāng)be(a2,al時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個(gè)零點(diǎn),分別是x尸時(shí),x尸孤.

綜上,(-00,0)U(1,+oo).

2'—a,x<1,

7.(2015北京理,14,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=

4(%—a)(x—2d),x>1.

①若a=l,則f(x)的最小值為;

②若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案①T②E，l)U[2,+8)

2X—1x<1

“；、，其大致圖象如圖所示:

{4(x-l)(x-2),x>1,

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由圖可知f(x)的最小值為r.

②當(dāng)aWO時(shí),顯然函數(shù)f(x)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)O〈a〈l時(shí)，易知f(x)在(-8,1)上有一個(gè)零點(diǎn)，要使f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)x3l時(shí)，f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象可

11

知,2a》l,即a光,貝叼Wa<l;

當(dāng)a&l時(shí),2a>l,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x>l時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)，

則要使f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則需要f(x)在(-8,1)上無(wú)零點(diǎn)則2-aWO,即42.

綜上可知,滿足條件的a的取值范圍是展,1)U⑵+8).

8.(2015湖北文,13,5分)函數(shù)f(x)=2sinxsin(x+的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

答案2

解析f(x)=2sinxcosx-x-=sin2xr；函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y】=sin2x與y2=x2圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),在同一坐標(biāo)系

中畫出yFsin2x與的圖象