北京市2022年中考數(shù)學模擬試題含解析

2021-2022中考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的

1.下列等式正確的是（）

A.x3-x2=xB.a34-a3=a

C.(-2)2+(—2)3=_：D.(-7)F(-7)2=-72

AH1

2.如圖，△ABC中，DE〃BC,——=一，AE=2cm,則AC的長是()

AB3

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

3.下列事件是確定事件的是（）

A.陰天一定會下雨

B.黑暗中從5把不同的鑰匙中隨意摸出一把，用它打開了門

C.打開電視機，任選一個頻道，屏幕上正在播放新聞聯(lián)播

D.在五個抽屜中任意放入6本書，則至少有一個抽屜里有兩本書

4.已知一次函數(shù)y=（k-2）x+k不經(jīng)過第三象限，則k的取值范圍是（）

A.導2B.k>2C.0<k<2D.0<k<2

5.如圖，。尸平分NA08,PCLO4于C,點。是08上的動點，若PC=6cm,則尸。的長可以是（）

C.5cmD.3cm

6.如圖所示的正方體的展開圖是（）

7.如圖，等邊△ABC的邊長為1cm,D、E分另ljAB、AC是上的點，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A，處,

且點A，在△ABC外部，則陰影部分的周長為（）cm

A.1B.2C.3D.4

8.如圖，直線a〃b,一塊含60。角的直角三角板ABC（NA=60。）按如圖所示放置.若Nl=55。，則N2的度數(shù)為（）

B.CD.

11.計算一、‘彳一|一3|的結果是（）

A.-1B.-5C.1D.5

3a3

12.計算：7~~八7的結果是()

(fl-1)

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.為慶?！傲弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽.如圖所示，按照這樣的規(guī)律，擺第"個圖，需用火

柴棒的根數(shù)為_______________

(1)(2)(3)

22

14.如圖，R3ABC的直角邊BC在x軸上，直線y=§x-§經(jīng)過直角頂點B,且平分△ABC的面積，BC=3,點A

在反比例函數(shù)y=V圖象上，貝!Jk=.

15.一個不透明的袋子中裝有6個球，其中2個紅球、4個黑球，這些球除顏色外無其他差別.現(xiàn)從袋子中隨機摸出

一個球，則它是黑球的概率是.

16.若---卜＜2—x有意義,則x的范圍是.

x-3

17.化簡：＜72+3\^=___.

\3

18.已知一個多邊形的每一個外角都等于72?，則這個多邊形的邊數(shù)是.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）小明對A,B,C,D四個中小型超市的女工人數(shù)進行了統(tǒng)計，并繪制了下面的統(tǒng)計圖表，已知A超市有女

工20人.所有超市女工占比統(tǒng)計表

超市ABCD

女工人數(shù)占比62.5%62.5%50%75%

A超市共有員工多少人？8超市有女工多少人？若從這些女工中隨機選出一個，求正好是C超市的

概率；現(xiàn)在。超市又招進男、女員工各1人，。超市女工占比還是75%嗎？甲同學認為是，乙同學認為不是.你認為

誰說的對，并說明理由.

20.（6分）如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60。方向，與燈塔P的距離為80海里的A處，它沿正南方向航行一

段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45。方向的B處,求此時輪船所在的B處與燈塔P的距離.（參考數(shù)據(jù)：76=2.449,

結果保留整數(shù)）

21.（6分）我市在黨中央實施“精準扶貧”政策的號召下，大力開展科技扶貧工作，幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷售公司，

某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費用y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點為原點

的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產(chǎn)品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是如圖②所示

的一條線段，生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當年銷售完，達到產(chǎn)銷平衡，所獲毛利潤為W萬元.（毛利潤=銷售額-生產(chǎn)費用）

（1）請直接寫出y與x以及z與x之間的函數(shù)關系式；（寫出自變量x的取值范圍）

（2）求W與x之間的函數(shù)關系式；（寫出自變量x的取值范圍）；并求年產(chǎn)量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛

利潤是多少？

（3）由于受資金的影響，今年投入生產(chǎn)的費用不會超過360萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤？

圖①圖②

3（x-l）<2x

22.（8分）解不等式組：］x1+X

23.（8分）深圳某書店為了迎接“讀書節(jié)”制定了活動計劃，以下是活動計劃書的部分信息:

“讀書節(jié)“活動計劃書

書本類別科普類文學類

進價」（單位：元）1812

（1）用不超過16800元購進兩類圖書共1000本；科普類圖書不少于600

備注本；

（1）已知科普類圖書的標價是文學類圖書標價的L5倍，若顧客用540元購買的圖書，能單獨購買科普類圖書的數(shù)量

恰好比單獨購買文學類圖書的數(shù)量少10本，請求出兩類圖書的標價；經(jīng)市場調查后發(fā)現(xiàn)：他們高估了“讀書節(jié)”對圖書

銷售的影響，便調整了銷售方案，科普類圖書每本標價降低a（0<a<5）元銷售，文學類圖書價格不變，那么書店應

如何進貨才能獲得最大利潤？

24.（10分）為營造“安全出行”的良好交通氛圍，實時監(jiān)控道路交迸，某市交管部門在路口安裝的高清攝像頭如圖所示，

立桿MA與地面AB垂直,斜拉桿CD與AM交于點C,橫桿DE〃AB,攝像頭EF±DE于點E,AC=55米,CD=3米,EF=0.4

米,NCDE=162。.

25.（10分）如圖，若要在寬為20米的城南大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂BC長2米，且與燈柱48成120。角，

路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線C。與燈臂8c垂直，當燈罩的軸線C。通過公路路面的中心線時照明效果最好.此

時，路燈的燈柱A3的高應該設計為多少米.（結果保留根號）

A

26.(12分)某中學為了考察九年級學生的中考體育測試成績(滿分30分)，隨機抽查了40名學生的成績(單位：分),

得到如下的統(tǒng)計圖①和圖②.請根據(jù)相關信息，解答下列問題：

(1)圖中m的值為.

(2)求這40個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)：

(3)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計該中學九年級2000名學生中，體育測試成績得滿分的大約有多少名學生。

27.(12分)AB為。O直徑，C為。。上的一點，過點C的切線與AB的延長線相交于點D,CA=CD.

(1)連接BC,求證：BC=OB；

(2)E是AS中點，連接CE,BE,若BE=2,求CE的長.

參考答案

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1、C

【解析】

直接利用同底數(shù)塞的乘除運算法則以及有理數(shù)的乘方運算法則分別計算得出答案.

【詳解】

解：A、X3~2,無法計算，故此選項錯誤；

B、a3-ra3=l,故此選項錯誤；

C、(-2)2+(-2)3=--,正確；

2

D、(-7)匕(，)2=72,故此選項錯誤；

故選C.

【點睛】

此題主要考查了同底數(shù)騫的乘除運算以及有理數(shù)的乘方運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

2、C

【解析】

由DE〃可得AADE-AABC,再根據(jù)相似三角形的性質即可求得結果.

【詳解】

■:DE//BC

.'.△ADE^AABC

.ADAE]

**AB-AC_3

VAE=2cm

AC=6cm

故選C.

考點：相似三角形的判定和性質

點評：解答本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的對應邊成比例，注意對應字母在對應位置上.

3、D

【解析】

試題分析：找到一定發(fā)生或一定不發(fā)生的事件即可.

A、陰天一定會下雨，是隨機事件；

B、黑暗中從5把不同的鑰匙中隨意摸出一把，用它打開了門，是隨機事件；

C、打開電視機，任選一個頻道，屏幕上正在播放新聞聯(lián)播，是隨機事件；

D、在學校操場上向上拋出的籃球一定會下落，是必然事件.

故選D.

考點：隨機事件.

4、D

【解析】

直線不經(jīng)過第三象限，則經(jīng)過第二、四象限或第一、二、四象限，當經(jīng)過第二、四象限時，函數(shù)為正比例函數(shù)，k=0

k—2<0

當經(jīng)過第一、二、四象限時，\,八，解得0<k<2,

K>0

綜上所述，0<k<2,故選D

5、A

【解析】

過點尸作PD_LOB于O,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得尸C=PZ),再根據(jù)垂線段最短解答即可.

【詳解】

解：作尸于O,

:。尸平分NA08,PCVOA,PD±OA,

:.PD=PC=6cm,

則尸。的最小值是6cm,

故選4.

【點睛】

考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，垂線段最短的性質，熟記性質是解題的關鍵.

6、A

【解析】

有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當?shù)募糸_，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應

立體圖形的展開圖.根據(jù)立體圖形表面的圖形相對位置可以判斷.

【詳解】

把各個展開圖折回立方體，根據(jù)三個特殊圖案的相對位置關系，可知只有選項A正確.

故選A

【點睛】

本題考核知識點：長方體表面展開圖.解題關鍵點：把展開圖折回立方體再觀察.

7、C

【解析】

由題意得到EA'=EA,經(jīng)分析判斷得到陰影部分的周長等于△ABC的周長即可解決問題.

【詳解】

A

如圖，由題意得：

DA'=DA,EA'=EA,

二陰影部分的周長=OA，+EA，+O5+CE+5G+G尸+CF

=(DA+BD)+(BG+GF+CF)+(AE+CE)

=AB+BC+AC

=l+l+l=3(cm)

故選C.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質以及折疊的問題，折疊問題的實質是“軸對稱”，解題關鍵是找出經(jīng)軸對稱變換所得的等

量關系.

8、C

【解析】

如圖，首先證明NAMO=N2,然后運用對頂角的性質求出NANM=55。；借助三角形外角的性質求出NAMO即可解決

問題.

【詳解】

如圖，對圖形進行點標注.

,直線a〃b,

.,.ZAMO=Z2；

VZANM=Z1,而Nl=55°,

.?.ZANM=55°,

.,.Z2=ZAMO=ZA+ZANM=60°+55o=115°,

故選C.

【點睛】

本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.

9、A

【解析】

已知AB〃CD〃EF,根據(jù)平行線分線段成比例定理，對各項進行分析即可.

【詳解】

?；AB〃CD〃EF,

.ADBC

,*DF-C￡'

故選A.

【點睛】

本題考查平行線分線段成比例定理，找準對應關系，避免錯選其他答案.

10、D

【解析】

試題分析：根據(jù)中心對稱圖形的定義，結合選項所給圖形進行判斷即可.

解：A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

D、是中心對稱圖形，故本選項正確；

故選D.

考點：中心對稱圖形.

11、B

【解析】

原式利用算術平方根定義，以及絕對值的代數(shù)意義計算即可求出值.

【詳解】

原式=-2-3=-5,

故選：B.

【點睛】

此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

12、B

【解析】

根據(jù)分式的運算法則即可求出答案.

【詳解】

3a-3

解：原式=7TT

(a-1)

3(a-l)

3

a—1

故選；B

【點睛】

本題考查分式的運算法則，解題關鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎題型.

二、填空題：(本大題共6個小題，每小題4分，共24分.)

13、6n+l.

【解析】

尋找規(guī)律：不難發(fā)現(xiàn)，后一個圖形比前一個圖形多6根火柴棒，即：

第1個圖形有8根火柴棒，

第1個圖形有14=6x1+8根火柴棒，

第3個圖形有10=6x1+8根火柴棒，

第n個圖形有6n+l根火柴棒.

14、1

【解析】

分析：根據(jù)題意得出點B的坐標，根據(jù)面積平分得出點D的坐標，利用三角形相似可得點A的坐標，從而求出k的

值.

詳解：根據(jù)一次函數(shù)可得：點B的坐標為(1,()),???!?□平分△ABC的面積，BC=3

.??點D的橫坐標1.5,...點D的坐標為VDE：AB=1：1,

...點A的坐標為(1,1),Ak=lxl=l.

點睛：本題主要考查的是反比例函數(shù)的性質以及三角形相似的應用，屬于中等難度的題型.得出點D的坐標是解決這

個問題的關鍵.

2

15、-

3

【解析】

根據(jù)概率的概念直接求得.

【詳解】

酬2

解：4+6=—.

3

2

故答案為：

3

【點睛】

本題用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

16、x<l.

【解析】

根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件列出不等式，解不等式即可.

【詳解】

依題意得：1-於0且1-3邦，

解得：x<l.

故答案是：x<l.

【點睛】

本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，分式有意義的條件

是分母不等于零.

17、

【解析】

試題分析：先進行二次根式的化簡，然后合并，可得原式=2、m+、j=3、。.

18、5

【解析】

???多邊形的每個外角都等于72。，

,??多邊形的外角和為360。，

二360°+72°=5,

這個多邊形的邊數(shù)為5.

故答案為5.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、（1）32（人），25（人）；（2）-；（3）乙同學，見解析.

3

【解析】

（1）用A超市有女工人數(shù)除以女工人數(shù)占比，可求A超市共有員工多少人；先求出D超市女工所占圓心角度數(shù)，進

一步得到四個中小型超市的女工人數(shù)比，從而求得B超市有女工多少人；

（2）先求出C超市有女工人數(shù)，進一步得到四個中小型超市共有女工人數(shù)，再根據(jù)概率的定義即可求解；

（3）先求出D超市有女工人數(shù)、共有員工多少人，再得到D超市又招進男、女員工各1人，D超市有女工人數(shù)、共

有員工多少人，再根據(jù)概率的定義即可求解.

【詳解】

解：（1）A超市共有員工：20+62.5%=32（人），

V360°-80°-100°-120°=60°,

.??四個超市女工人數(shù)的比為：80：100：120：60=4：5：6：3,

.?.B超市有女工：20x*=25（人）；

4

（2）C超市有女工：20x9=30（人）.

4

四個超市共有女工：20x4+5+6+3=90（人）.

4

301

從這些女工中隨機選出一個，正好是C超市的概率為一=-.

903

（3）乙同學.

3

理由：D超市有女工20x-=15（人），共有員工15+75%=20（人），

4

再招進男、女員工各1人，共有員工22人，其中女工是16人，女工占比為￡=三#75%.

2211

【點睛】

本題考查了統(tǒng)計表與扇形統(tǒng)計圖的綜合，以及概率的知識.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

20、此時輪船所在的B處與燈塔P的距離是98海里.

【解析】

【分析】過點P作PC_LAB,則在RSAPC中易得PC的長，再在直角△BPC中求出PB的長即可.

【詳解】作PC_LAB于C點，

APC=PA?cosZAPC=4073(海里)，

PC

在R3PCB中，cosZBPC=—,

PB

：.PB=—―—=40G=4076=98(海里)，

cosZ.BPCcos45°

答:此時輪船所在的B處與燈塔P的距離是98海里.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用舉例，正確添加輔助線構建直角三角形是解題的關鍵.

21、⑴y=\xLz=-\x+30(0<x<100)；(1)年產(chǎn)量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1115萬元；⑶今

年最多可獲得毛利潤1080萬元

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法可求出y與x以及z與x之間的函數(shù)關系式；

(1)根據(jù)(D的表達式及毛利潤=銷售額-生產(chǎn)費用，可得出w與x的函數(shù)關系式，再利用配方法求出最值即可；

(3)首先求出x的取值范圍，再利用二次函數(shù)增減性得出答案即可.

【詳解】

(1)圖①可得函數(shù)經(jīng)過點(100,1000),

設拋物線的解析式為(中0),

將點(100,1000)代入得:1000=10000a,

解得：a=—,

故y與x之間的關系式為尸白.

圖②可得：函數(shù)經(jīng)過點(0,30)、(100,10),

100%+8=20

設z=fcr+Z?,則)=30

解得：<k-lo,

b=30

故Z與X之間的關系式為2=-y^x+30(0<x<100)；

(1)W=zx-v=——x1+30x——x1

1010

=-*i+30x

=--(x1-150x)

5

=--(x-75)*4-1115,

5

V--<0,

5

.,.當x=75時,W有最大值1115,

.?.年產(chǎn)量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1115萬元；

(3)令y=360,得《r=360,

解得：x=±60(負值舍去)，

由圖象可知，當0〈底360時，0〈爛60,

由W=-：(x-75)1+1115的性質可知，

當0VXW60時，W隨x的增大而增大，

故當x=60時，W有最大值1080,

答：今年最多可獲得毛利潤1080萬元.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的應用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，注意二次函數(shù)最值的求法，一般用配方法.

22、-9<x<l.

【解析】

先求每一個不等式的解集，然后找出它們的公共部分，即可得出答案.

【詳解】

解不等式1(x-1)<2x,得：x<l,

解不等式名-乎VI，得：x>-9,

則原不等式組的解集為-9<x<l.

【點睛】

此題考查了解一元一次不等式組，用到的知識點是解一元一次不等式組的步驟，關鍵是找出兩個不等式解集的公共部

分.

23、(1)A類圖書的標價為27元，B類圖書的標價為18元；(2)當A類圖書每本降價少于3元時，A類圖書購進800

本，B類圖書購進200本，利潤最大；當A類圖書每本降價大于等于3元，小于5元時，A類圖書購進600本，B類

圖書購進400本，利潤最大.

【解析】

(1)先設B類圖書的標價為x元，則由題意可知A類圖書的標價為1.5x元，然后根據(jù)題意列出方程，求解即可.

(2)先設購進A類圖書f本，總利潤為w元，則購進B類圖書為(1000-力本，根據(jù)題目中所給的信息列出不等式組,

求出f的取值范圍，然后根據(jù)總利潤w=總售價-總成本，求出最佳的進貨方案.

【詳解】

解：(D設B類圖書的標價為x元，則A類圖書的標價為1.5x元，

根據(jù)題意可得——54010=54"0,

x1.5%

化簡得：540-10x=360,

解得：x=18,

經(jīng)檢驗：x=18是原分式方程的解，且符合題意，

則A類圖書的標價為：1.5x=1.5xl8=27(元),

答：A類圖書的標價為27元，8類圖書的標價為18元；

(2)設購進A類圖書，本，總利潤為w元，A類圖書的標價為(27田)元(0<a<5),

■|8Z+12(1000-Z)<I6800

由題意得，\/>600,

解得：600</<800,

則總利潤卬=(27-4-18)t+(18-12)(1000-/)

=(9-a)t+6(1000-Z)

=6000+(3-a)t,

故當0Va<3時，3-a>0,f=800時，總利潤最大，且大于6000元；

當a=3時，3-a=0,無論f值如何變化，總利潤均為6000元；

當3<aV5時，3-a<0,f=600時，總利潤最大，且小于6000元；

答：當A類圖書每本降價少于3元時，4類圖書購進800本，8類圖書購進200本時，利潤最大；當A類圖書每本降

價大于等于3元，小于5元時，A類圖書購進600本，8類圖書購進400本時，利潤最大.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)的應用，分式方程的應用、一元一次不等式組的應用、一次函數(shù)的最值問題，解答本題的關鍵在

于讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列出方程和不等式組求解.

24、(1)72°(2)6.03米

【解析】

分析：延長ED,AM交于點P,由NCDE=162。及三角形外角的性質可得出結果;⑵利用解直角三角形求出PC,再利

用PC+AC-EF即可得解.

詳解：(1)如圖，延長ED,AM交于點P,

'JDE//AB,MA±AB

AEP±MA,即NMPO=90。

,:ZCDE=162°

AZMCD=1620-90=72°

(2)如圖，在RtAPCD中，CD=3>米，ZMCD=72°

二PC=CDcosNMCD=3-cos720?3x0.31=0.93米

?.,4C=5.5米，Ef=0.4米，

:.PC+AC-EF=0.93+5.5-0.4=6.03

答:攝像頭下端點尸到地面A8的距離為6.03米.

點睛：本題考查了解直角三角形的應用，解決此類問題要了解角之間的關系，找到已知和未知相關聯(lián)的的直角三角形,

當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高線或垂線構造直角三角形.

25、(106-4)米

【解析】

延長OC,AB交于點P,△PCB^APAO,根據(jù)相似三角形對應邊比例相等的性質即可解題.

【詳解】

解：如圖，延長OC,48交于點尸.

'：ZABC=12d°,

：.ZPBC=60°,

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