3.1.2單調(diào)性的定義與證明第1課時課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

第三章函數(shù)

3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)

3.1.2函數(shù)的單調(diào)性第1課時

單調(diào)性的定義與證明基礎(chǔ)知識情境與問題我們知道，“記憶”在我們的學(xué)習(xí)過程中扮演著非常重要的角色，因此有關(guān)記憶的規(guī)律一直都是人們研究的課題。德國心理學(xué)家艾賓浩斯曾經(jīng)對記憶保持量進行了系統(tǒng)的實驗研究，并給出了類似如圖所示的記憶規(guī)律。如果我們以x

表示時間間隔(單位:h)，y

表示記憶保持量，則不難看出，上圖中，y是x的函數(shù)，記這個函數(shù)為y=f(x)。這個函數(shù)反映出記憶具有什么規(guī)律?你能從中得到什么啟發(fā)?情境與問題中的函數(shù)y=f(x)反映出記憶的如下規(guī)律：隨著時間間隔x的增大，記憶保持量y將減小。給定一個函數(shù)，人們有時候關(guān)心的是，函數(shù)值會隨著自變量增大而怎樣變化，類似的內(nèi)容我們在初中曾經(jīng)接觸過。

嘗試與發(fā)現(xiàn)如圖所示的函數(shù)y=f(x)，在[-6，-4]上是增函數(shù)，在[-4，-2]上是減函數(shù)，在[-2，1]上是__________函數(shù)，在[1，3]上是__________函數(shù)，在[3，6]上是__________函數(shù)。增增減由嘗試與發(fā)現(xiàn)可知，從函數(shù)的圖象能方便地看出函數(shù)的單調(diào)性。但一般情況下，得到函數(shù)的圖象并不容易，而且手工作出的圖象往往都不精確，因此我們要探討怎樣從函數(shù)的解析式來證明函數(shù)的單調(diào)性。這可以利用函數(shù)單調(diào)性的定義和不等式的證明方法。思考1：若把增、減函數(shù)定義中的“任意x1，x2”改為“存在x1，x2”可以嗎？提示：不可以，如圖：思考2：“函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間是D”與“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)”是否相同？提示：不相同。函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間是D，這一說法意味著除D之外，函數(shù)f(x)再無其他單調(diào)增(減)區(qū)間。函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)，則意味著區(qū)間D是函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間的子區(qū)間，即除區(qū)間D外，函數(shù)f(x)還可能有其他的單調(diào)增(減)區(qū)間。典例精析求證：函數(shù)f(x)=-2x

在R上是減函數(shù)。證明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，則x1－x2<0，那么f(x1)－f(x2)=(-2x1)－(-2x2)=2(x2－x1)>0，從而f(x1)＞f(x2)。因此，函數(shù)f(x)=－2x

在R上是減函數(shù)。一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，且x0∈D，如果對任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x)的最大值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最大值點；如果對任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，則稱f(x)的最小值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最小值點。最大值和最小值統(tǒng)稱為最值，最大值點和最小值點統(tǒng)稱為最值點。

不難看出，如果函數(shù)有最值而且函數(shù)的單調(diào)性容易求出，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值點和最值。判斷函數(shù)f(x)=3x+5，x∈[-1，6]的單調(diào)性，并求這個函數(shù)的最值。典例精析解：任取x1，x2∈[-1，6]且x1<x2，則x1－x2<0，那么f(x1)－f(x2)=(3x1+5)－(3x2+5)=3(x1-x2)＜0，所以這個函數(shù)是_________函數(shù)。因此，當(dāng)-1≤x≤6時，有f(-1)≤f(x)≤f(6)，從而這個函數(shù)的最小值為f(-1)=_______，最大值為f(6)=_______。結(jié)論也可由不等式的知識得到：因為-1≤x≤6，所以-3≤3x≤18，2≤3x+5≤23，即f(-1)≤f(x)≤f(6)，其余同上。增223基礎(chǔ)自測1．函數(shù)f(x)＝2在[－2，4]上的單調(diào)性為(

)A．減函數(shù) B．增函數(shù)C．先減后增 D．不具有單調(diào)性解析：當(dāng)x∈[－2,4]時，f(x)的值恒等于2，故函數(shù)f(x)＝2在[－2，4]上不具有單調(diào)性．D

2．對于函數(shù)y＝f(x)，在給定區(qū)間內(nèi)有兩個值x1、x2，且x1<x2，使f(x1)<f(x2)成立，則y＝f(x)(

)A．一定是增函數(shù) B．一定是減函數(shù)C．可能是常數(shù)函數(shù) D．單調(diào)性不能確定解析：由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，判斷單調(diào)性時不能用特殊值代替任意值，故選D。D

3．函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，其增區(qū)間是___________.4．函數(shù)f(x)＝－x2－2x的單調(diào)遞增區(qū)間是______________.解析：f(x)＝－(x＋1)2＋1，函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝－1，故函數(shù)的遞增區(qū)間為(－∞，－1]．[－3，1]

(－∞，－1]

5．若y＝(2k－1)x＋b是R上的減函數(shù)，則k的取值范圍為_________，b的取值范圍為____.R

典例剖析求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間已知x∈R，函數(shù)f(x)＝x|x－2|，試畫出y＝f(x)的圖像，并結(jié)合圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。思路探究：首先分類討論，去掉絕對值號，將函數(shù)化為分段函數(shù)，然后畫出圖像求解即可。歸納提升：1.作出函數(shù)的圖像，利用圖形的直觀性能快速判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但要注意圖像一定要畫準(zhǔn)確。2．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，在求解的過程中不要忽略了函數(shù)的定義域。3．一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“∪”連接兩個單調(diào)區(qū)間，而要用“和”或“，”連接。對點訓(xùn)練(1)如圖是定義在區(qū)間[－2，2]的函數(shù)y＝f(x)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是___________.(2)函數(shù)f(x)＝x|x|－2x的單調(diào)遞增區(qū)間為_________________________.解析：(1)由圖像可以看出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[－1,1]．(2)x≥0時，f(x)＝x2－2x，對稱軸為x＝1，開口向上，在(1，＋∞)單調(diào)遞增，x＜0時f(x)＝－x2－2x，對稱軸x＝－1，開口向下，在(－∞，－1)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，＋∞)．[－1，1]

(－∞，－1)和(1，＋∞)

典例剖析用定義證明函數(shù)的單調(diào)性思路探究：函數(shù)解析式和區(qū)間已給出，要證明函數(shù)的單調(diào)性，只需用定義證明即可。歸納提升：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟如下：(1)取值：設(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1<x2。(2)作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子。(3)定號：確定f(x1)－f(x2)的符號。(4)結(jié)論：根據(jù)f(x1)－f(x2)的符號及定義判斷單調(diào)性。對點訓(xùn)練典例剖析證明含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性歸納提升：判斷含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時，利用定義邊證明邊討論，從而確定單調(diào)性。對點訓(xùn)練∴當(dāng)a>0時，f(x2)－f(x1)<0，故此時函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，當(dāng)a<0時，f(x2)－f(x1)>0，故此時函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)。綜上所述，當(dāng)a>0時，f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，當(dāng)a<0時，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)。典例剖析函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用1．利用單調(diào)性解函數(shù)不等式已知f(t)是定義在區(qū)間[－1,1]上的增函數(shù)，且f(x－2)＜f(1－x)，則x的取值范圍為________.思路探究：典例剖析利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍(0，3]

解析：因為函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，所以f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，故a＞0，設(shè)y＝ax－1，x∈(－∞，1)，因為a＞0，所以y＜a－1.而當(dāng)x≥1時，f(x)＝x2＋1單調(diào)遞增，且此時f(x)min＝12＋1＝2，故只需a－1≤2，即a≤3即可．所以a的取值范圍是(0,3]．歸納提升：1.利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小或解不等式利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小。在解決比較函數(shù)值大小的問題時，要注意將對應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上。利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小、解不等式時有如下結(jié)論：一是正向應(yīng)用，即若y＝f(x)在給定區(qū)間M上單調(diào)遞增，則x1＜x2且x1，x2∈M時，f(x1)＜f(x2)；當(dāng)x1＞x2且x1，x2∈M時，f(x1)＞f(x2)。二是逆向應(yīng)用，即若y＝f(x)在給定區(qū)間M上單調(diào)遞增且x1，x2∈M，則當(dāng)f(x