清單05 函數(shù)概念與性質(zhì)（11個(gè)考點(diǎn)梳理題型解讀提升訓(xùn)練）（原卷版）

清單05函數(shù)概念與性質(zhì)（11個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【知識導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分布圖】【知識清單】（一）函數(shù)的概念和圖象1、函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集設(shè)A，B是非空的集合A，B對應(yīng)關(guān)系f：A→B如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x，在集合B中都有唯一的實(shí)數(shù)y和它對應(yīng)如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的每一個(gè)元素，在B中都有唯一的元素與之對應(yīng)定義稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱對應(yīng)為從集合A到集合B的映射記法y＝f(x)，x∈A映射f：A→B提醒：映射實(shí)質(zhì)是一對一或多對一，函數(shù)是特殊的映射．2、函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{y|y＝f(x)，x∈A}稱為函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．3、函數(shù)的圖象將自變量的一個(gè)值作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值作為縱坐標(biāo)，就得到坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn).當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域A的每一個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn).所有這些點(diǎn)組成的集合（點(diǎn)集）為，所有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)的圖象.（二）函數(shù)的表示法（1）表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法．提醒：兩個(gè)函數(shù)的值域和對應(yīng)關(guān)系相同，但兩個(gè)函數(shù)不一定相同，例如，函數(shù)f(x)＝|x|，x∈[0,2]與函數(shù)f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．（2）分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．提醒：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．（三）函數(shù)的單調(diào)性4、單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，區(qū)間，如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù)單調(diào)區(qū)間I是y＝f(x)的增區(qū)間I是y＝f(x)的減區(qū)間圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的5、提醒：(1)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式或集合表示．(2)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用符號“∪”連接，也不能用“或”連接，只能用“逗號”或“和”連接．6、函數(shù)的最值設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，存在x0∈A，使得對于任意的，都有，那么稱為y＝f(x)的最大值，記為；設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，存在x0∈A，使得對于任意的，都有，那么稱為y＝f(x)的最小值，記為7、函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論(1)?x1，x2∈D(x1≠x2)，?f(x)在D上是增函數(shù)；?f(x)在D上是減函數(shù)．(2)對勾函數(shù)y＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的增區(qū)間為(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)，減區(qū)間為[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]．(3)當(dāng)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí)，f(x)＋g(x)是增(減)函數(shù)．的單調(diào)性呢？(4)若k＞0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k＜0，則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相反．(5)函數(shù)y＝f(x)在公共定義域內(nèi)與的單調(diào)性相反．(6)復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性關(guān)系是“同增異減”．8、函數(shù)最值存在的兩個(gè)結(jié)論(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值．（四）函數(shù)的奇偶性9、函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有并且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)并且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)圖象特征關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱10、提醒：(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．(2)若f(x)≠0，則奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式如下：①f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?.②f(x)為偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?.11、函數(shù)奇偶性的四個(gè)重要結(jié)論(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．即“奇同偶反”.(4)若y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則f(－x＋a)＝f(x＋a)．【考點(diǎn)精講】考點(diǎn)1：求函數(shù)的定義域例1．（2023·廣東深圳·高一?？计谥校┖瘮?shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．例2．（2023·湖北武漢·高一武漢市新洲區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．例3．（2023·河北石家莊·高一河北師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域是，函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)2：函數(shù)的最值(值域)例4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（）．例5．（2023·河北石家莊·高一石家莊市第六中學(xué)?？计谥校┮阎嵌魏瘮?shù)，若，且．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求二次函數(shù)的最大值與最小值．例6．（2023·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值19，最小值5.(1)求，的值；(2)設(shè)，求的最小值.考點(diǎn)3：分段函數(shù)及其應(yīng)用例7．（多選題）（2023·遼寧阜新·高一阜新市高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象由如圖所示的兩條線段組成，則（

）A．的值域?yàn)锽．C．D．，不等式的解集為例8．（多選題）（2023·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)镃． D．若，則x的值是例9．（多選題）（2023·河北保定·高一保定一中?？计谀┤艉瘮?shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A． B． C． D．例10．（2023·廣東深圳·高一深圳市高級中學(xué)?？计谥校帽硎局械淖钚≌?，記為，，則的最大值為．考點(diǎn)4：函數(shù)解析的求法例11．（2023·甘肅金昌·高一永昌縣第一高級中學(xué)?？计谀?）已知，求函數(shù)的解析式；（2）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（3）已知，求函數(shù)的解析式；例12．（2023·山東淄博·高一?？计谥校?）已知，求函數(shù)的解析式；（2）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；例13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足：對一切實(shí)數(shù)、，均有成立，且.求函數(shù)的表達(dá)式.考點(diǎn)5：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明例14．（2023·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，．(1)求的值；(2)證明：函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)；(3)解不等式．例15．（2023·重慶開州·高一臨江中學(xué)校考期中）已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值是12.(1)求的解析式；(2)試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明.例16．（2023·四川·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)滿足．(1)求的值；(2)試判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明．考點(diǎn)6：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例17．（2023·天津?qū)氎妗じ咭惶旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.例18．（2023·遼寧大連·高三大連八中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.例19．（2023·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是．考點(diǎn)7：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例20．（2023·廣東深圳·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是.例21．（2023·江蘇無錫·高一?？计谥校┘褐瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．例22．（2023·福建莆田·高一莆田第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍為.考點(diǎn)8：函數(shù)奇偶性的判斷例23．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中的奇函數(shù)是（

）A． B． C． D．例24．（2023·廣東廣州·高一華南師大附中?？计谥校┖瘮?shù)，的圖象大致是（

）A． B．C． D．例25．（2023·河北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性，并說明理由．(1)；(2)；(3)考點(diǎn)9：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例26．（2023·重慶·高一重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為（

）A． B． C．1 D．0例27．（2023·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，滿足，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4例28．（2023·福建莆田·高一莆田一中?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（

）A． B． C． D．例29．（2023·黑龍江雞西·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，，且，則（

）A． B． C． D．例30．（2023·重慶云陽·高一重慶市云陽鳳鳴中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為偶函數(shù)，則（

）A．1 B． C．0 D．2考點(diǎn)10：函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用例31．（2023·山西·高一統(tǒng)考期中）已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足：對任意的，都有．若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例32．（2023·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)，與的圖像有8個(gè)交點(diǎn)，分別為，則.例33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且，則．例34．（2023·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，若，則x的取值范圍是．例35．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期末）定義在上的函數(shù)滿足：，且對于上的有：.則關(guān)于的不等式解集為.考點(diǎn)11：抽象函數(shù)的綜合應(yīng)用例36．（2023·江蘇宿遷·高一?？计谥校┘褐瘮?shù)為上的函數(shù)，對于任意，都有，且當(dāng)時(shí)，.(1)求；(2)證明函數(shù)是奇函數(shù)；(3)解關(guān)于的不等式，例37．（2023·山東青島·高一青島二中?？计谥校┰O(shè)函數(shù)是增函數(shù)，對于任意都有．(1)證明是奇函數(shù)；(2)關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【提升練習(xí)】一、單選題1．（2023·福建·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是R上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，關(guān)于對稱，若實(shí)數(shù)m，n滿足等式，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高一赤峰二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A． B．C．在上單調(diào)遞增 D．4．（2023·廣東深圳·高一深圳市高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．5．（2023·河北石家莊·高一河北師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校└咚故堑聡臄?shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號．他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．6．（2023·北京·高一北京四中?？计谥校┖瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2023·河南南陽·高一南陽中學(xué)校考階段練習(xí)）給出以下四個(gè)判斷，其中正確的是（

）A．函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)最多有1個(gè)C．已知，則函數(shù)D．函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍8．（2023·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞減 B．C．在上的最小值為 D．不等式的解集為9．（2023·河北石家莊·高一河北師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，成立，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023·河北石家莊·高一河北師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)與的定義域均為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則下列說法正確的有（

）A． B．在上單調(diào)遞增C．為奇函數(shù) D．三、填空題11．（2023·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則.12．（2023·河南南陽·高一南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，若任取，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍.13．（2023·廣東廣州·高一廣州大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)且，則.14．（2023·北京·高一北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).（1）若，則求在上的最小值.（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則給出