用空間向量探究立體幾何中的存在型問(wèn)題獲獎(jiǎng)科研報(bào)告

用空間向量探究立體幾何中的存在型問(wèn)題獲獎(jiǎng)科研報(bào)告摘

要：在高中階段，立體幾何這一部分占有著十分重要的地位，且更是高考的必考內(nèi)容?？臻g向量作為求空間角和距離的有利工具，是歷年高考的必考點(diǎn)。立體幾何中存在型問(wèn)題的基本特征是要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象（數(shù)值、圖形等）是否存在或某一結(jié)論是否成立。此類問(wèn)題的難點(diǎn)在于涉及的點(diǎn)具有運(yùn)動(dòng)性和不確定性，用傳統(tǒng)方法解決起來(lái)的難度較大。若用空間向量的方法來(lái)處理，通過(guò)待定系數(shù)法求解，則思路簡(jiǎn)單，解法固定，操作方便。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何提高學(xué)生利用空間向量解決立體幾何中的存在型問(wèn)題，則為教師提出了更高的教學(xué)發(fā)展要求。

關(guān)鍵詞：空間向量;立體幾何;存在型問(wèn)題

空間向量在平面向量，立體幾何等教學(xué)之后，空間向量既體現(xiàn)了幾何圖形直觀，又提供了代數(shù)定量刻畫，在這個(gè)過(guò)程中，向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的自由性為求解帶來(lái)很大便利。以“平行、垂直、距離和角”為背景的存在型問(wèn)題是近年來(lái)高考數(shù)學(xué)中創(chuàng)新型命題的一個(gè)重要類型，它以較高的新穎性、開放性、探索性和創(chuàng)造性深受命題者的青睞。

一、學(xué)生解決立體幾何中的存在型問(wèn)題時(shí)所產(chǎn)生的問(wèn)題：

1、基礎(chǔ)知識(shí)差。數(shù)學(xué)是一個(gè)知識(shí)積累的過(guò)程，在利用空間向量探索立體幾何的存在型問(wèn)題時(shí)，不僅要求學(xué)生對(duì)立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系和度量關(guān)系熟練掌握，同時(shí)對(duì)空間直角坐標(biāo)的建立、空間向量及其運(yùn)算，空間向量坐標(biāo)表示及應(yīng)用做到運(yùn)用自如。但在實(shí)際的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，許多學(xué)生對(duì)空間幾何體的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系沒有熟練掌握，數(shù)學(xué)運(yùn)算較差，因此用向量探究立體幾何的存在型問(wèn)題時(shí)常常不盡人意。

2、題目分析過(guò)程中，讀不懂題。缺乏直觀想象能力和空間觀念。雖然知道要用向量，但不能準(zhǔn)確建立空間直角坐標(biāo)系，不能正確地將點(diǎn)、線用空間向量表示，向量運(yùn)算結(jié)果不能準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化成幾何度量關(guān)系和位置關(guān)系，導(dǎo)致學(xué)生將大量時(shí)間浪費(fèi)在題目分析上和計(jì)算上。

所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，對(duì)于利用空間向量探究立體幾何的存在型問(wèn)題時(shí)，老師必須注重對(duì)學(xué)生空間觀念、直觀想象的培養(yǎng)，注重對(duì)解題思維的引導(dǎo)，對(duì)向量運(yùn)算的訓(xùn)練，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題和解題的能力。

二、用空間向量探究立體幾何的存在型問(wèn)題的措施

1、引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，分析題目中幾何體的位置關(guān)系和度量關(guān)系，明確題目考察方向，做到有的放矢。對(duì)于數(shù)學(xué)題進(jìn)行認(rèn)真審題是問(wèn)題解決的基礎(chǔ)。在題目分析過(guò)程中，注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固。

例如對(duì)于下面題目：

（2016北京理）如圖，在四棱錐

中，平面

平面

（Ⅲ）在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？若存在，求

的值;若不存在，說(shuō)明理由.

這道題以四棱錐為背景，考察線面垂直，線面成角及點(diǎn)的存在判斷問(wèn)題。對(duì)于這道題的分析，教師引導(dǎo)學(xué)生從面面垂直得出線面垂直，及AD的中線PO垂直底面ABCD.

又由AC=CD，得到中AD邊的中線CD也是高線，由此得出三條兩兩垂直的線，可以作為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系。又由AB=1等長(zhǎng)度條件，可以得出相應(yīng)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。引導(dǎo)學(xué)生分析還能推出哪些線面垂直關(guān)系。得出AB與面PAD垂直，PO與面PAB垂直，又得出PD與面PAB內(nèi)的線都垂直。

對(duì)于這類不以長(zhǎng)方體為載體的問(wèn)題，老師首先引導(dǎo)學(xué)生尋找題目中的垂直關(guān)系，以便可以建系。然后再利用空間向量進(jìn)行求解。通過(guò)一步步引導(dǎo)學(xué)生分析題中的垂直關(guān)系及長(zhǎng)度，使學(xué)生對(duì)立體幾何中的位置關(guān)系更加鞏固掌握，使學(xué)生建立空間觀念，提升直觀想象。

2、把握做題原則，注重通式通法的教學(xué)，提升解決問(wèn)題的能力。例如對(duì)如下題目：

如圖，在長(zhǎng)方體中，E為CD中點(diǎn).

（2）在棱上是否存在一點(diǎn)P，使得DP//平面若存在，求AP的長(zhǎng);若不存在，說(shuō)明理由.

以長(zhǎng)方體為載體，考查線線垂直，點(diǎn)的存在判斷問(wèn)題。在教師引導(dǎo)學(xué)生分析后，讓學(xué)生用綜合幾何法和空間向量法兩種方法進(jìn)行求解。

通過(guò)兩種方法對(duì)比，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的關(guān)鍵。發(fā)現(xiàn)兩種方法的共性與差異。

此類“是否存在”問(wèn)題的命題形式有兩種情況：如果存在，找出一個(gè)來(lái)，如果不存在，需要說(shuō)明理由。常用“肯定順推”的方法，用空間向量法來(lái)處理，通過(guò)待定系數(shù)法求解。

歸納用向量研究存在型問(wèn)題的方法，可以得出通性通法，即程序思想方法：

第一步：建立空間直角坐標(biāo)系。

第二步：假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)。

第三步：寫出相應(yīng)向量坐標(biāo)。

第四步：得出關(guān)于變量的方程。

第五步：求出變量的值。

第六步：驗(yàn)證得出結(jié)論。

通過(guò)以上分析，得到解決問(wèn)題的程序，提煉出解決問(wèn)題的通式通法。

3、關(guān)于變式訓(xùn)練的應(yīng)用教學(xué)。使學(xué)生學(xué)會(huì)變式訓(xùn)練，舉一反三，加深理解知識(shí)間的聯(lián)系，提升解題能力。例如：引導(dǎo)學(xué)生將題中條件改變，或?qū)?wèn)題改變，由學(xué)生動(dòng)手，得到變式訓(xùn)練題，再進(jìn)行解答。不足之處，