1.2 代數(shù)式的運(yùn)算

第1章代數(shù)實(shí)用知識全國中等職業(yè)學(xué)財(cái)經(jīng)類教材財(cái)經(jīng)應(yīng)用數(shù)學(xué)§1.2代數(shù)式的運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解整式的概念2.掌握整式的相關(guān)運(yùn)算（加、減、乘、乘方）3.掌握因式分解常用的三種方法：提公因式法、十字相乘法、公式法4.會靈活選用不同的方法將多項(xiàng)式分解因式5.理解分式的基本概念6.掌握分式的基本運(yùn)算（約分、加減、乘除）7.理解二次根式的基本概念8.*掌握二次根式的相關(guān)運(yùn)算（加減、乘除）內(nèi)容提要代數(shù)式的運(yùn)算整式因式分解分式二次根式1.2.1整式1．整式的概念由數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式，叫做單項(xiàng)式單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式如：都是單項(xiàng)式

1．整式的概念單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做它的系數(shù)。單項(xiàng)式中的所有字母的指數(shù)的和叫做它的次數(shù)如：的系數(shù)是,次數(shù)是1；

的系數(shù)是1，次數(shù)是2；的系數(shù)是－1，次數(shù)是3；4的系數(shù)是4，次數(shù)是01.2.1整式1．整式的概念幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。

每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)

如：是四次三項(xiàng)式是一次二項(xiàng)式；是二次三項(xiàng)式1.2.1整式1．整式的概念單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)叫做整式在一個(gè)多項(xiàng)式里所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)。

如：是同類項(xiàng),

不是同類項(xiàng)

把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。1.2.1整式舉例

例１先標(biāo)出多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)。解：

是同類項(xiàng)，是同類項(xiàng)，是同類項(xiàng)。合并同類項(xiàng)的法則是：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變．1.2.1整式2．乘法公式平方差公式：

完全平方公式：

立方和公式：

立方差公式：

1.2.1整式3．整式的運(yùn)算（1）加減運(yùn)算整式的加減運(yùn)算就是合并同類項(xiàng)，若有括號，應(yīng)先去括號；再合并同類項(xiàng)。

例2

化簡解：

1.2.1整式3．整式的運(yùn)算（2）乘法與乘方

單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：把系數(shù)相乘作為積的系數(shù)，并把同底數(shù)的冪相乘。1.2.1整式例3

計(jì)算：

（2）

（1）

（1）解：

（2）1.2.1整式舉例例4

計(jì)算

解：

1.2.1整式舉例（2）乘法與乘方

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式把單項(xiàng)式分別乘以多項(xiàng)式的各項(xiàng)，再將所得的積相加．即：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc1.2.1整式3．整式的運(yùn)算例5

計(jì)算：

解：

1.2.1整式舉例3．整式的運(yùn)算（3）整式的除法：

單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：將它們的系數(shù)及同底數(shù)冪分別相除。1.2.1整式例6計(jì)算：（1）（2）解：

（1）（2）1.2.1整式舉例（3）整式的除法：

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。1.2.1整式3．整式的運(yùn)算例7

計(jì)算解：

1.2.1整式舉例想一想練一練計(jì)算：（1）（4m2－4mn－3n2）－（2m2－4mn＋n2）；（2）1.2.1整式想一想練一練計(jì)算：（3）（4）1.2.1整式1.2.2因式分解1.基本概念

把一個(gè)多項(xiàng)式分成幾個(gè)整式的乘積形式，叫做因式分解。如：整式乘法因式分解2.因式分解的方法

（1）提公因式法

如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。1.2.2因式分解例1

把下列各式分解因式：（1）（2）解：

（1）（2）1.2.2因式分解舉例

把下列各式分解因式：（1）（2）1.2.2因式分解想一想練一練2x(a－2)－3y(2－a)14abx－8abx＋4ax（2）十字相乘法若能分解為且它們交叉乘積的和等于一次項(xiàng)的系數(shù)（即則對于二次三項(xiàng)式1.2.2因式分解例2

把下列各式分解因式：（1）（2）解：（1）121-8（2）1

41-71.2.2因式分解舉例

把下列各式分解因式：（1）（2）1.2.2因式分解想一想練一練（3）運(yùn)用公式法

利用乘法公式對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，這種因式分解的方法叫做公式法。

1.2.2因式分解（3）運(yùn)用公式法平方差公式：

完全平方公式：

立方和公式：

立方差公式：1.2.2因式分解例3

把下列各式分解因式：（1）（2）（3）解：

（1）（2）（3）1.2.2因式分解舉例

把下列各式分解因式：（1）（2）1.2.2因式分解想一想練一練p3－27x2＋4xy＋4y2－11.2.3分式1.分式的概念形如的式子叫做分式。

其中、是整式且中含有字母，分?jǐn)?shù)線

分式的分子

分式的分母

例如：等都是分式。1.分式的概念注意：分式與整式的區(qū)別在于分式的分母中含有字母，整式中有時(shí)有分母但不含字母。分式運(yùn)算的最后結(jié)果應(yīng)為最簡分式或整式。例如：都不是分式而是整式整式和分式統(tǒng)稱有理式

1.2.3分式＊拓展延伸

在分式中，分母的值不能為0，分母的值為0時(shí)，分式?jīng)]有意義如：在分式中，；在分式中，。分式的概念1.2.3分式例*

當(dāng)x取什么值時(shí)，下列分式有意義？解：

（1）由分母，得∴當(dāng)時(shí)，分式有意義。（2）由分母，得∴當(dāng)

時(shí)，分式有意義。1.2.3分式舉例1.2.2因式分解想一想練一練當(dāng)x取什么值時(shí)，下列分式有意義？(1)(4)(3)(2)2.分式的運(yùn)算(1)分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變．這個(gè)性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)。

（其中M是不等于零的整式）1.2.3分式例1

約分：解：

分式的分子、分母中都有相同的因式這個(gè)相同的因式我們稱它為公因式。所以1.2.3分式舉例2.分式的運(yùn)算(2)分式的加減法同分母的分式加減法的運(yùn)算公式：異分母的分式加減法的運(yùn)算公式：1.2.3分式例2

計(jì)算

解：1.2.3分式舉例例3

計(jì)算

解：先找出兩個(gè)分式的最簡公分母。最簡公分母是(n+4)(n－4)1.2.3分式舉例例4

計(jì)算

解：最簡公分母是a－21.2.3分式舉例(3)分式的乘法

分式乘以分式的運(yùn)算方法：用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母。用式子表示：1.2.3分式2.分式的運(yùn)算(3)分式的除法

分式除以分式的運(yùn)算方法：把除式的分子分母顛倒位置后，與被除式相乘。用式子表示：1.2.3分式2.分式的運(yùn)算例5

計(jì)算（1）（2）（1）注意：分式運(yùn)算的最后結(jié)果應(yīng)為最簡分式或整式．解：

（2）1.2.3分式舉例想一想練一練計(jì)算:1.2.3分式想一想練一練1.2.3分式1.二次根式的概念

形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被開方數(shù)如：等都是二次根式1.2.4二次根式

例1

當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

解：

由知，得，所以當(dāng)，式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。1.2.4二次根式舉例想一想練一練當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？(2)(1)(3)(4)1.2.4二次根式２.二次根式的性質(zhì)(1)(2)例如：1.2.4二次根式3.二次根式的乘除法乘法：

除法：

分母有理化：分子、分母同乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號.1.2.4二次根式例2

化簡解：

1.2.4二次根式舉例例3計(jì)算:解:

1.2.4二次根式舉例想一想練一練(1)(2)(3)計(jì)算1.2.4二次根式例4

把下列各式的分母有理化解：1.2.4二次根式舉例想一想練一練把下列各式的分母有理化(1)(2)1.2.4二次根式4.最簡二次根式滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式①開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因式或因數(shù)。

1.2.4二次根式例5把下列各式化成最簡二次根式：解：1.2.4二次根式舉例想一想練一練把下列各式化成最簡二次根式：(1)(2)(3)1.2.4二次根式5.二次根式的加減

幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式如：

；因此，是同類二次根式。1.2.4二次根式例6

計(jì)算