吉林省吉林市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

吉林市普通高中2022-2023學(xué)年度高一年級(jí)上學(xué)期期末調(diào)研測試一、單項(xiàng)選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求．1.用集合語言表示下圖中的陰影部分，正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)陰影部分的元素特征直接判斷即可.【詳解】陰影部分的元素滿足：且，陰影部分表示的集合為.故選：C.2.下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（）A.，B.，C.，D.，且【答案】C【解析】【分析】分別判斷各選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)的定義域和解析式是否相同即可.【詳解】對(duì)于A，，，與不是同一函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得：，定義域?yàn)?；由得：或，的定義域?yàn)?；與不是同一函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，又與解析式相同，與是同一函數(shù)，C正確；對(duì)于D，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋c不是同一函數(shù)，D錯(cuò)誤.

故選：C.3.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】對(duì)于ABD選項(xiàng)，舉例判斷即可；對(duì)于C，結(jié)合冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，有，故C正確；對(duì)于D，若，則沒有意義，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.用和分別表示民用住宅的窗戶面積和地板面積（一般來講，窗戶面積比地板面積?。@然，比值越大，住宅的采光條件越好．當(dāng)窗戶面積和地板面積同時(shí)增加時(shí)，住宅的采光條件會(huì)得到改善（單位：）．現(xiàn)將這一事實(shí)表示為不等式，以下正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先列出窗戶面積和地板面積同時(shí)增加前后的比值，通過作差法即可求解.【詳解】當(dāng)，，時(shí)最開始窗戶面積和地板面積的比值為，窗戶面積和地板面積同時(shí)增加后的比值為，則，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)住宅的采光條件會(huì)得到改善.故選：A.5.計(jì)算的結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.詳解】原式.故選：B.6.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，故選：A7.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換，可得平移后的函數(shù)解析式，即得答案.詳解】由題意可得，故選：B8.函數(shù)圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇偶性可排除AD，根據(jù)可排除B；結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知C正確.【詳解】對(duì)于A，，為偶函數(shù)，則圖象關(guān)于軸對(duì)稱，與已知圖象不符，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，與已知圖象不符，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，，不是奇函數(shù)，則圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與已知圖象不符，D錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)；又，圖象與已知圖象符合，C正確.故選：C.9.下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期的偶函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象結(jié)合性質(zhì)判斷即可.【詳解】對(duì)于A：函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，的周期為，且圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于BC：函數(shù)，的最小正周期都為，故BC錯(cuò)誤；對(duì)于D：函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)不具有周期性，故D錯(cuò)誤；故選：A10.已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.無最小值 D.無最小值【答案】D【解析】【分析】結(jié)合奇偶性定義可構(gòu)造方程組求得，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可知AB正誤；由奇偶性可確定單調(diào)性，進(jìn)而確定CD正誤.【詳解】由題意得：，由得：，；對(duì)于A，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，A正確；對(duì)于B，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，B正確；對(duì)于C，由A知：在上單調(diào)遞增，又為定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，又為連續(xù)函數(shù)，在上單調(diào)遞增，無最小值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B知：在上單調(diào)遞增，又為定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，又為連續(xù)函數(shù)，，D錯(cuò)誤.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共2小題，每小題5分，共10分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．11.如圖（1），筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用．如圖（2），一個(gè)筒車按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水下則為負(fù)數(shù)），與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系是，則下列說法正確的是（）A.筒車的半徑為，旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)B.筒車的軸心距離水面的高度為C.時(shí)，盛水筒處于向上運(yùn)動(dòng)狀態(tài)D.盛水筒出水后至少經(jīng)過才可以達(dá)到最高點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)振幅和最小正周期可確定A正確；利用可知B正確；根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可知C錯(cuò)誤；令，由正弦型函數(shù)的值可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到，知D正確.【詳解】對(duì)于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)，A正確；對(duì)于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，盛水筒處于處于向下運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，，解得：，又，當(dāng)時(shí)，，即盛水筒出水后至少經(jīng)過才可以達(dá)到最高點(diǎn)，D正確.故選：ABD.12.如圖，在扇形OPQ中，半徑，圓心角，C是扇形弧PQ上的動(dòng)點(diǎn)，矩形內(nèi)接于扇形，記．則下列說法正確的是（）A.弧PQ的長為B.扇形OPQ的面積為C.當(dāng)時(shí)，矩形的面積為D.矩形的面積的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)弧長公式可判斷A；根據(jù)扇形的面積公式可判斷B；解直角三角形求得的長，即可求出矩形的面積的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換化簡求值，可判斷C，D.【詳解】由題意知，扇形OPQ中，半徑，圓心角，故弧PQ的長為，A正確；扇形OPQ的面積為，B錯(cuò)誤；在中，，在中，,則的面積，當(dāng)時(shí)，又，故，則，則，則，即矩形的面積為，C正確；由C的分析可知矩形的面積，當(dāng)，即時(shí)，矩形的面積取最大值，D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵C，D選項(xiàng)的判斷，解答時(shí)要結(jié)合解直角三角形，表示出邊的長，從而表示出矩形的面積，再結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，即可判斷這兩個(gè)選項(xiàng)的正誤.第Ⅱ卷（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．其中第15題的第一個(gè)空填對(duì)得2分，第二個(gè)空填對(duì)得3分．13.函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】【分析】由對(duì)數(shù)真數(shù)大于零可解不等式求得結(jié)果.【詳解】由得：，解得：，的定義域?yàn)?

故答案為：.14.設(shè)，，，若，則______．【答案】0或【解析】【分析】由集合相等，建立方程組求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，滿足，則；當(dāng)時(shí)，，滿足，則；故答案為：0或15.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，，，其中．可以看出這些公式右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算出、和的值也就越精確，則的近似值為______（精確到）；運(yùn)用上述思想，可得到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有______個(gè)零點(diǎn)．【答案】①.②.【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，將代入計(jì)算可得的近似值；分析函數(shù)在上的單調(diào)性，計(jì)算出、的近似值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)椋?，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).故答案為：；.16.已知函數(shù)，方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有四個(gè)不同交點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定四個(gè)根所處的范圍，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性和正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可求得所求范圍.【詳解】不妨設(shè)，方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于與有四個(gè)不同交點(diǎn)，作出圖象如下圖所示，由圖象可知：，，，，即，；在上單調(diào)遞減，，即，又關(guān)于對(duì)稱，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查方程根的取值范圍的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)的問題，采用數(shù)形結(jié)合的方式確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和對(duì)稱性來求解范圍.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法解不等式，再求并集；（2）由充分必要條件的定義得出是的真子集，再由包含關(guān)系得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，∴【小問2詳解】，∵是的充分不必要條件，∴是的真子集，∴，即，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．18.已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得，利用基本不等式結(jié)合可得出的取值范圍；（2）由已知可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的取值范圍.【小問1詳解】解：∵，∴，又∵，，∴即，∴即．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．由題意可知，的取值范圍是．【小問2詳解】解：∵，∴，即．∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值是．19.已知為鈍角，為銳角，，．（1）求，；（2）求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)平方和商數(shù)關(guān)系可求得，由兩角和差正切公式可求得；（2）由同角三角函數(shù)平方關(guān)系可求得，根據(jù)，利用兩角和差正弦公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】，，，，.【小問2詳解】，，，又，，.20.已知二次函數(shù)滿足，且關(guān)于不等式的解集為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求關(guān)于的不等式的解集．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，先設(shè)函數(shù)的解析式，再結(jié)合韋達(dá)定理和已知條件求解即可；（2）由可化簡為，分、、三種情況討論即可求解.【小問1詳解】（法一）設(shè)，由已知可得，解得，所以所求解析式為．（法二）設(shè)，由，所以．所以所求解析式為．小問2詳解】由（1）可知，，則不等式可化為：．當(dāng)時(shí)，不等式為，此時(shí)不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或．21.將某種藥物首次注射進(jìn)患者的血液中，血液中藥物含量隨時(shí)間變化的圖象如圖所示．在注射期間，與成正比；停止注射后，血液中的藥物含量以每小時(shí)的比例衰減．（1）根據(jù)圖中提供信息，寫出血液中的藥物含量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（2）此種藥物在病人血液中的量保持在以上時(shí)才有療效，而低于時(shí)病人就有危險(xiǎn)，那么停止注射后，應(yīng)在什么時(shí)間范圍內(nèi)再向病人的血液補(bǔ)充這種藥物．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）小時(shí)至小時(shí)【解析】【分析】（1）分別討論注射期間和停止注射后的情況，結(jié)合圖象可確定關(guān)系式；（2）根據(jù)題意可構(gòu)造不等式，根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得的范圍，即為所求時(shí)間范圍.【小問1詳解】在注射期間，與成正比，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，解得：，；停止注射后，血液中的藥物含量以每小時(shí)的比例衰減，由圖可知，當(dāng)時(shí)，，綜上所述：藥物含量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為.【小問2詳解】由于此種藥物在病人血液中的量保持在以上時(shí)才有療效，而低于時(shí)病人就有危險(xiǎn)，，即，，即，又，，則，解得：，停止注射后，應(yīng)在小時(shí)至小時(shí)范圍內(nèi)再向病人的血液補(bǔ)充這種藥物．22.如圖，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓相交于點(diǎn)，設(shè)．（1）求的值；（2）若函數(shù)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）在（2）的條件下，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)定義可得；方法一：將直接代入即可求得；方法二：利用兩角和差公式和輔助角公式化簡得到，代入即可；（2）由（1）可得，根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法可求得結(jié)果；（3）結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式，采用換元法可