新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)課課件北師大版必修第一冊

第3課時

指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)要點梳理專題歸納·核心突破

知識網(wǎng)絡(luò)

要點梳理1.實數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是怎樣的?提示:實數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):設(shè)a,b>0,α,β∈R.(1)aα·aβ=aα+β;(2)(aα)β=aαβ;(3)(ab)α=aαbα.2.指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、圖象、性質(zhì)是怎樣的?請完成下表:【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數(shù)f(x)=a|x|(a>0,且a≠1)的最小值等于1.(

×

)(2)任何指數(shù)函數(shù)的圖象都在x軸上方.(

√

)(3)若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù),且f(1)>1,則f(x)是增函數(shù).(

√

)(4)若函數(shù)g(x)=af(x)(a>0,且a≠1),則g(x)與f(x)的定義域與值域相同.(

×

)(5)函數(shù)y=4-|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0).(

×

)(6)若a>1,則當(dāng)f(x)有最大值時,g(x)=af(x)也有最大值.(

√

)(7)若函數(shù)g(x)=af(x)(a>0,且a≠1)的值域為(0,+∞),則f(x)的值域必為R.(

√

)專題歸納·核心突破專題整合高考體驗專題一

指數(shù)冪的運(yùn)算分析:根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算.1.指數(shù)冪的運(yùn)算,首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,以便利用運(yùn)算性質(zhì)計算,但應(yīng)注意:(1)必須同底數(shù)冪相乘,指數(shù)才能相加;(2)運(yùn)算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時,先確定符號,再把底數(shù)化為正數(shù).3.運(yùn)算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).專題二

指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】

(1)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-4,0)∪(0,4]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,4]時,f(x)的圖象如圖所示,那么滿足不等式f(x)≥3x-1的x的取值范圍是(

)A.[-1,0)∪(0,1]B.[-4,-2]∪(0,1]C.[-4,-2]∪[2,4]D.[-1,0)∪[2,4]解析:(1)設(shè)g(x)=3x-1,畫出函數(shù)g(x)和f(x)在區(qū)間[-4,0)∪(0,4]上的圖象,如下圖所示.要使f(x)≥3x-1,即函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)圖象的上方(包括交點),所以滿足條件的x的取值范圍為

[-4,-2]∪(0,1],故選B.指數(shù)函數(shù)圖象的畫法(判斷)及應(yīng)用方法:(1)畫(判斷)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象,應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點:(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究,往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象,通過平移、對稱變換得到其圖象.(3)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.【變式訓(xùn)練2】

函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0(2)若曲線y=|2x-1|與直線y=b有兩個公共點,則實數(shù)b的取值范圍是

.

解析:(1)觀察題中f(x)=ax-b的圖象可以得出,函數(shù)f(x)=ax-b在定義域上為減函數(shù),所以0<a<1,且由題圖,可知函數(shù)f(x)=ax-b的圖象是由函數(shù)y=ax的圖象向左平移得到的,所以b<0.(2)曲線y=|2x-1|與直線y=b的圖象如圖所示,由圖象可得,如果曲線y=|2x-1|與直線y=b有兩個公共點,則實數(shù)b的取值范圍是(0,1).答案:(1)D

(2)(0,1)專題三

比較大小A.c>a>b B.b>a>cC.a>b>c D.a>c>b分析:先將a,b,c均化為同底數(shù)的冪,然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.解析:∵a=40.9=(22)0.9=21.8,且指數(shù)函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù),∴21.8>21.5>21.44,因此,a>c>b,故選D.答案:D比較指數(shù)式大小的策略:(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪,再利用單調(diào)性比較大小;(2)不能化成同底數(shù)的,一般引入“1”等中間量比較大小.【變式訓(xùn)練3】

下列各式大小關(guān)系正確的是(

)A.1.72.5>1.73

B.0.6-1>0.62C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1解析:A中,因為函數(shù)y=1.7x在R上是增函數(shù),又2.5<3,所以1.72.5<1.73;B中,因為函數(shù)y=0.6x在R上是減函數(shù),又-1<2,所以0.6-1>0.62;C中,因為0.8-1=1.25,所以問題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.2的大小.因為函數(shù)y=1.25x在R上是增函數(shù),0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8-0.1<1.250.2;D中,因為1.70.3>1,0<0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.答案:B專題四

解簡單的指數(shù)方程或不等式【例4】

已知函數(shù)f(x)=x2+2|x|-8,則不等式f(3x-1-5)≤16的解集是(

)A.[1,3] B.[1,9]C.[1,+∞) D.(-∞,3]分析:分析出函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,由此建立指數(shù)不等式求解.解析:函數(shù)f(x)=x2+2|x|-8的定義域為R,關(guān)于原點對稱,且f(-x)=(-x)2+2|-x|-8=x2+2|x|-8=f(x),所以該函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x2+2x-8=(x+1)2-9,該函數(shù)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,由f(3x-1-5)≤16,得f(|3x-1-5|)≤f(4),所以|3x-1-5|≤4,即-4≤3x-1-5≤4,得1≤3x-1≤9,則0≤x-1≤2,解得1≤x≤3.所以不等式f(3x-1-5)≤16的解集是[1,3].故選A.答案:A解簡單的指數(shù)方程或不等式:可先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪,再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.答案:C專題五

指數(shù)型函數(shù)探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),要結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:同增異減.其他與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性(區(qū)間)、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)的方法一致.答案:(-∞,1]考點一

指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用答案:B答案:B考點二

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用解析:畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,由圖可知:①當(dāng)x+1≥0,且2x≥0,即x≥0時,f(2x)=f(x+1),不滿足題意;②當(dāng)x+1>0,且2x<0,即-1<x<0時,f(x+1)<f(2x)顯然成立;③當(dāng)x+1≤0時,x≤-1,此時2x<0,若f(x+1)<f(2x),則x+1>2x,解得x<1.故x≤-1.綜上所述,x的取值范圍為(-∞,0).答案:D解析:借助函數(shù)的圖象可知,對于A,函數(shù)單調(diào)遞減,不合題意;對于B,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)單調(diào)遞減,不合題意;對于C,函數(shù)在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性,不合題意;對于D,根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),符合題意.故選D.答案:D5.(2019·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ae-x(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù),則a=

;若f(x)是R上的增函數(shù),則a的取值范圍是

.

解析:若函數(shù)f(x)=ex+ae-x為奇函數(shù),