北京市朝陽區(qū)2022年數學九年級上冊期末考試模擬試題含解析

2022-2023學年九上數學期末模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.已知（X2+y2）（x2+y2-l）-6=0,則x2+y2的值是（）

A.3或-2B.-3或2C.3D.-2

2.在奔馳、寶馬、豐田、三菱等汽車標志圖形中，為中心對稱圖形的是（）

3.如圖，點P（X,y）（x>0）是反比例函數丫=一（k>0）的圖象上的一個動點，以點P為圓心，OP為半徑的圓與

x

X軸的正半軸交于點A,若4OPA的面積為S,則當X增大時，S的變化情況是（）

A.S的值增大S的值減小

c.S的值先增大，后減小D.S的值不變

4.如圖，在正方形4BCD中，E為A8的中點，G,F分別為AO、8c邊上的點，若AG=1,BF=2,NGEF=90。，則

GF的長為（）

5.如圖2,在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標為（1,4）、（5,4）、（1、2）,則外接圓的圓心坐標

是

y

圖2

A.（2,3）B.（3,2）C.（1,3）D.（3,1）

12m

9

6.已知反比例函數丫=---的圖象上有A（、，y1）>B（x2,y2）兩點，當x〔Vx2Vo時，y1<y2貝《m的取值范

圍是（）

11

A.m<0B.m>0C,m<~D.m>~

7.已知二次函數y=ax2+bx+c（aw0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：（l）abc>0；（2）b<a+c；（3）4a+2b+c>0；（4）2c-3b<0；

（5）a+b>n（an+b）（n*l）,其中正確的結論有（）

8.正十邊形的外角和為（）

A.180°B.360°C.720°D.1440°

9.如圖，點A,B,C都在。。上，若NC=30。，則NAOB的度數為（）

10.下列方程中，是一元二次方程的是（

A.QX2+bx+CB.---—=1

22

C.+x2=1D.x3+x+l=o

11.剪紙是中國特有的民間藝術.以下四個剪紙圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

12.關于x的一元二次方程（k+l）x2-2x+l=0有兩個實數根，則k的取值范圍是（）

A.k>QB.k<Qc.k<0且kw-1D.kWO且kw-1

二、填空題（每題4分，共24分）

13.如圖的一座拱橋，當水面寬AB為12m時，橋洞頂部離水面4m,已知橋洞的拱形是拋物線，以水平方向為x軸,

建立平面直角坐標系，求選取點A為坐標原點時的拋物線解析式是.

15.在本賽季CB4比賽中，某運動員最后六場的得分情況如下：17,15,21,28,12,19,則這組數據的極差為

16.如圖，E是48。的8c邊的中點，與AE相交于尸，則NifiF與四邊形ECZ）尸的面積之比等于.

17.如圖，一次函數為=以+8和反比例函數%=—的圖象相交于A,B兩點,則使％>為成立的*取值范圍是---

X

18.如圖，A4BC的頂點/和C分別在x軸、V軸的正半軸上，且AB〃y軸，點B（2,6）,將A4BC以點B為旋轉

k

中心順時針方向旋轉90。得到A08E,恰好有一反比例函數，一圖象恰好過點則k的值為.

x

19.（8分）在平面直角坐標系中，A4BC的位置如圖所示（每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形）.

（1）畫出A4BC關于原點對稱的A/4BC；

（2）將A/TBC-繞H順時針旋轉90°,畫出旋轉后得到的并直接寫出此過程中線段4C”掃過圖形的面積.

（結果保留加）

20.（8分）如圖，在AXBC中，/是內心，/3=力。,。是/3邊上一點，以點。為圓心，08為半徑的O。經過

點1.

（1）求證：4是。。的切線；

（2）已知O。的半徑是5.

①若E是以的中點，OE=而,則8/=；

②若BC=16,求4的長.

21.（8分）如圖，AE//BF,/C平分NB/E,且交BF于點C,BD平分N/BF,且交/1E于點D,連接CD.

DE

(1)求證：四邊形/BCD是菱形；

(2)若乙1DB=3O。，BD=6,求X。的

長.22.(10分)如圖，ZSABC中，AB=8,AC=6.

(1)請用尺規(guī)作圖的方法在AB上找點D,使得△ACDs^ABC(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)在(1)的條件下，求AD的長

23.(10分)如圖，平行四邊形力BCD中，ZB=30°，過點/!作/E，于點E,現將A/1BE沿直線ZE翻折至A4FE

的位置，AF與8交于點G.

(1)求證：CG-BF=CD,CF；

(2)若=AD—3,求。G的長.

24.(10分)定義：如圖1,在A48C中，把力B繞點力逆時針旋轉a(0°<a<180°)并延長一倍得到/B',把/C

繞點力順時針旋轉P并延長一倍得到,連接8c.當a+P=180°時，稱A/B'C是AZ1BC的“倍旋三角形”，

^AB'C邊BC上的中線AD叫做A4BC的“倍旋中線”.

圖1

特例感知:

(1)如圖1,當NBz4c=90。，BC=4時，則“倍旋中線”力。長為；如圖2,當MB'C*為等邊三角形時,

“倍旋中線”與BC的數量關系為

猜想論證：

(2)在圖3中，當A4BC為任意三角形時，猜想“倍旋中線”與BC的數量關系，并給予證明.

25.(12分)如圖，正方形/BCD中，AB=12,AE=~Ali,點P在灰，上運動(不與B(重臺)，過點p作也_LbP,

4

交CD于點2,求P運動到BP多長時，8有最大值，并求出最大值.

k

26.如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與函數y=~(x>0)的圖象交于點A(m,2),B(2,n).過點4作AC

x

1

平行于X軸交y軸于點C,在y軸負半軸上取一點D,使OQh20C＞且AAC。的面積是6,連接BC.

(1)求m,k,n的值;

(2)求BBC的面積.

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、C

【分析】設m=x2+y2,則有/能-6=0,求出m的值，結合x2+y2>0,即可得到答案.

【詳解】解：根據題意，設m=x2+y2,

...原方程可化為：m(/n-1)-6=0,

m2—m-6=Q,

解得：加=3或加=-2；

Vm=x2+y2>0,

加=3,

...JT2+y2=3;

故選：C.

【點睛】

本題考查了換元法求一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法和步

驟.2、B

【解析】試題分析：根據中心對稱圖形的概念，A、C、D都不是中心對稱圖形，是中心對稱圖形的只有

B.故選B.

考點：中心對稱圖形

3,D

【分析】作尸于B,如圖，根據垂徑定理得到OB=AB,則S^ol=S^PAIt,再根據反比例函數上的幾何意義得到

1

S=—㈤，所以S=2匕為定值.

“OB2

【詳解】作P3_L04于B,如圖，則。8=48,：.S^OB=S^PAB.

1

VS=_|*|,S=2k,：.S的值為定值.

△POB2

故選D.

本題考查了反比例函數系數*的幾何意義：在反比例函數產一圖象中任取一點，過這一個點向X軸和y軸分別作垂

線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|川.

4、B

【解析】,,?四邊形ABCD是正方形，

/.ZA=ZB=90°,

AZAGE+ZAEG=90°,ZBFE+ZFEB=90°,

VZGEF=90°,

AZGEA+ZFEB=90o,

AZAGE=ZFEB,ZAEG=ZEFB,

/.△AEG^ABFE,

.AEAG

^~BF~BE9

XVAE=BE,

:.AE?=AG?BF=29

：.AE=J1（舍負），

：.GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=l+2+2+4=9,

，GF的長為3,

故選B.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質的應用，利用勾股定理即可得解，解題的關鍵是證明△AEGs^BFE.5、

D

【解析】根據垂徑定理的推論“弦的垂直平分線必過圓心”，作兩條弦的垂直平分線，交點即為圓

心.解答：解：根據垂徑定理的推論，則

作弦AB、AC的垂直平分線，交點O］即為圓心，且坐標是(3,

1).故選D.

6、D

【解析】試題解析：根據題意，在反比例函數y=

象上，

當入V'VO時，%<丫2,

1mx

故可知該函數在第二象限時，y隨x的增大而增大，

即l-2m<0^

1

解得，m>2.

蹦

D.7、

B

【分析】①觀察圖象可知aVO,b>0,c>0,由此即可判定①；②當x=-l時，產a-b+c由此可判定②；③由對稱知，

-b

當x=2時，函數值大于Q即y=4a+2b+c>0,由此可判定③；④當x=3時函數值小于0,即y=9a+3b+cV0,且x=-2a

b

=1,可得a=-之，RAy=9a+3b+cV0即可判定④；⑤當x=l時，y的值y=a+b+c,當x=n時，y=an2+bn+c,

由此即可判定⑤.

【詳解】①由圖象可知：a<0,b>0,c>0,abc<0,故此選項錯誤；

②當x=-l時，y=a-b+c<0,即b>a+c,故此選項錯誤；

③由對稱知，當x=2時，函數值大于0,即y=4a+2b+c>0,故此選項正確；

bbb

④當x=3時函數值小于0,y=9a+3b+c<0,且x=-0=1即a=-,代入得9(-o)+3b+c<0,得2c<3b,故此

選項正確；

時，y的值最大.此時，y=a+b+c,而當x=n時，y=an2+bn+c,所以a+b+c>an2+bn+c,故a+b>an2+bn,即

a+b>n(an+b),故此選項正確.

???③④?正

確.故選B.

【點睛】

本題主要考查了拋物線的圖象與二次函數系數之間的關系，熟知拋物線的圖象與二次函數系數之間的關系是解決本題

的關

鍵.8、

【分析】根據多邊的外角和定理進行選擇.

【詳解】解：因為任意多邊形的外角和都等于360%

所以正十邊形的外角和等于360。，.

B.

【點睛】

本題考查了多邊形外角和定理，關鍵是熟記：多邊形的外角和等于360

度.9、B

【分析】根據圓周角定理結合NC=30。，即可得出NAOB的度數.

【詳解】VZC=30°,

.,.ZAOB=2ZC=60°.

故選：B.

【點睛】

本題考查了圓周角定理，解題的關鍵是利用同弧所對的圓心角是圓周角的2倍解決題.本題屬于基礎題，難度不大,

解決該題型題目時，熟練運用圓周角定理解決問題是關鍵.

10、B

【解析】根據一元二次方程的定義進行判斷即可.

【詳解】A.屬于多項式，錯誤；

B.屬于一元二次方程，正確；

C.未知數項的最高次數是2,但不屬于整式方程，錯誤；

D.屬于整式方程，未知數項的最高次數是3,錯誤.

故答案為：B.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的性質以及定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關

鍵.11、B

【解析】根據軸對稱圖形的定義以及中心對稱圖形的定義分別判斷即可得出答案.

【詳解】解：A、此圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

B、此圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；

C、此圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

D、此圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：B.

【點睛】

此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的定義，熟練掌握其定義是解決問題的關

鍵.12、D

【解析】分析：根據一元二次方程樂+c=o(aH0)根的判別式△=-4ac?0,

進行計算即可.

詳解：根據一元二次方程一元二次方程Q+l)x2-2龍+1=0有兩個實數根，4=。2-4ac=4-4。+1)?0,

解得：kWO,

根據二次項系數左+1工0,可得：kr—1.

故選D.

點睛：考查一元二次方程"2+"+c=0(aH0)根的判別式△=枕一4ac,

當A=A-4ac〉0時，方程有兩個不相等的實數根.

當△=62-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根.當

△=82-4ac<0時，方程沒有實數根.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、y=-1(x-6)2+4

y

【分析】以A為坐標原點建立坐標系，求出其它兩點的坐標，用待定系數法求解析式即可.

【詳解】解：以A為原點建立坐標系，則A(0,0),B(12,0),C(6,4)

VC為頂點，

Ay=a(x-6)2+4,

把A(0,0)代入上式，36a+4=0,

解得：〃=二1,

9

y=-1(X-6)2+4；

9

故答案為：y=-l(x-6)2+4.

9

【點睛】

本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，恰當的選取坐標原點，求出各點的坐標是解決問題的關鍵.

2

【分析】直接利用特殊角的三角函數值進而得出答案.

【詳解】cos30*立.

2

故答案為w.

2

【點睛】

本題主要考查了特殊角的三角函數值，準確記憶特殊角的三角函數值是解題的關

鍵.15、1

【分析】極差是指一組數據中最大數據與最小數據的差.極差=最大值-最小值，根據極差的定義即可解答.

【詳解】解：由題意可知，極差為28-12=1,

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了極差的定義，解題時牢記定義是關鍵.

2

16、_

5

5AF2

【分析】ZXABF和AABE等高，先判斷出寸工=，=々，進而算出$，4ABF和

JZiMJABCDA/1BF

A/JBE

△AFD等高，得晨吠==2,由，=5-S-5=：$，即可解出.

SBF四邊形EOF平行四邊形皿ABEMDF23BF

AARI-乙

【詳解】解：???四邊形A5CD為平行四邊形，

:.AD//BC9AD=BC9

又???E是ABC。的BC邊的中點，

BEEFBFBEi

???=-=-----=—------—J—L9

ADAFDFBC2

???△A5E和446?同高，

AF

:S.尸=_____=2_

SAE3*

ABE

3

:.S^ABE=2SMBF9

設口ABC。中，8C邊上的高為h,

1

?:SJRF=—XBEXfrS=BCxh=2xBExh

通f

BE2OABCD

AS=4S=4x：S=6S,

ABCD△46￡~.?AABF

a9AAoor

VAAfiF與AAD尸等高，

S_DF

?"-----L乙9

??SBF

^ABF

,?SyDF2s△八BP'

5

四邊形ECDF-JABC。~"△4BE-,A40尸一,‘△4"'

S2

?A/1BF=

S5*

四邊形ECDF

2

故答案為：三.

【點睛】

本題考查了相似三角的面積類題型，運用了線段成比例求面積之間的比值，靈活運用線段比是解決本題的關

鍵.17、xV-2或0<x<l

【分析】根據兩函數圖象的上下位置關系結合交點橫坐標即可找出不等式的解集，此題得解.

【詳解】解：觀察函數圖象可發(fā)現：當xV-2或0Vx<l時，一次函數圖象在反比例函數圖象上方，

使%>為成立的x取值范圍是當xV-2或

0<x<l.故答案為當x<-2或0<x<l.

【點睛】

本題是一道一次函數與反比例函數相結合的題目，根據圖象得出一次函數與反比例函數交點橫坐標是解題的關鍵.

18、-24

【分析】先根據圖形旋轉的性質得BD=BA,NDBA=90。，再得出DB〃x軸，然后求得點D的坐標，最后利用待定系

數法求解反比例函數的解析式即可.

【詳解】設DB與J軸的交點為F,如圖所示：

A4BC以點B為旋轉中心順時針方向旋轉90°得到ADBE,點B(2,6),ABIIj軸

；.BD=BA=6,ZDBA=90°

:.DB//x軸

/.DF=6-2=4

.?.點D的坐標為(-4,6)

卜

?.?反比例函數)=一圖象恰好過點口

x

卜

.?.6=—，解得：左=一24

-4

故填：-24

【點睛】

本題主要考查坐標與圖形變化-旋轉、待定系數法求反比例函數解析式，根據圖形旋轉的性質得出點D的坐標是關鍵.

三、解答題(共78分)

19、(1)如圖所示，見解析；(2)5=4兀

【分析】

(1)利用畫中心對稱圖形的作圖方法直接畫出△力BC關于原點對稱的即可;

(2)利用畫旋轉圖形的作圖方法直接畫出并利用扇形公式求出線段/C?”掃過圖形的面積.

【詳解】

解(1)如圖所示

（2）作圖見圖；由題意可知線段4C”掃過圖形的面積為扇形利用扇形公式：5=處二=也任父二=4兀.

360360

【點睛】

本題考查中心對稱圖形以及旋轉圖形的作圖，熟練掌握相關作圖技巧以及利用扇形公式是解題關鍵.

20

20、（1）詳見解析；（2）①445；②三

【分析】（1）延長4交BC于D,連接0/.得出AD1BC,再利用角之間的關系可得出CHIIBC,即OI_LAD,結

論即可得證.

（2）①利用勾股定理即可求解

②由（1）知。///BC,MOI~^ABD,根據對應線段成比例，可得出AB,AD的值，從而可求出AI的長.

【詳解】解：（1）證明：延長4交BC于O,連接。/.

,?,/是“BC的內心，

BI平分NABC,4平分NBAC.

'."AB=AC,:.ADVBC.

X-.OB=OI,

.-.Z3=Z2.

.-.Z1=Z2.

:.OI//BD.

：.01YAI.

：.4為。）的切線.

2①；IE=j52—二）=而=2/

/.BI=46

②解：由（1）知O///BC,

：.^401~^ABD.

AO01AI

AD

?AB-55

AB8

AB=—

____

AD=-^AB2-BD2=_32

3

AI53220

?=x=

,,833,

【點睛】

本題考查的知識點有圓的切線的判定定理，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，利用數形結合的方法可以更好的理

解題目，有助于找出解題的方向.

21、(1)證明見解析；(2)AD=27

【分析】(1)由平行線的性質和角平分線定義得出NABD=NADB,證出AB=AD,同理可證AB=BC,得出AD=BC,

證出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出結論；

(2)由菱形的性質得出ACLBD,OD=-BD=3,再由三角函數即可得出AD的長.

【詳解】(1)證明：???AE〃BF,

:.NADB=NCBD,

又；BD平分NABF,

；.NABD=NCBD,

...NABD=NADB,

；.AB=AD,

同理可證AB=BC,

/.AD=BC,

...四邊形ABCD是平行四邊形，

又；AB=AD,

四邊形ABCD是菱形；

(2)解：；四邊形ABCD是菱形，BD=6,

1

AACIBD,OD=嘮BD=3,

VNADB=30。，

ODJT

??cosNADB=-----,

AD2

.?.AD=]=2式.

2

【點睛】

本題考查了菱形的判定與性質、平行線的性質、等腰三角形的判定、平行四邊形的判定、解直角三角形.熟練掌握菱形

的判定與性質是解決問題的關鍵.

9

22、（1）見圖（2）AD=~.

【解析】（1）圖形見詳解，（2）根據相似列比例式即可求解.

【詳解】解：（D見下圖

（2）VAACD^AABC,

.,.AC:AB=AD:AC,

；AB=8,AC=6,

9

.*.AD=~.

【點睛】

本題考查了尺規(guī)作圖和相似三角形的性質，中等難度，熟悉尺規(guī)作圖步驟和相似三角形的性質是解題關鍵.

8_

23、（1）如斷；（2）

3

【分析】（1）根據平行四邊形的性質得AB〃CD,AB=CD,通過兩角對應相等證明△FCGS/\FBA,利用對應邊成比

例列比例式，進行等量代換后化等積式即可；

(2)根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理，求出BE的長，再由折疊性質求出BF長，結合

(1)的結論代入數據求解.

【詳解】解(1)???四邊形ABCD是平行四邊形，

AB//CD,AB=CD,AD=BC

:.ZGCF=ZB,ZCGF=ZBAF,

.,.△FCG^AFBA,

CGCF

,?~AB~~BF'

.CGCF

CD=BF

：.CG-BF^CD-CF.

(2)VAE1BC,

/.ZAEB=90°,

VZB=30°,AB=473,

1

：.AE=_AB=2j3

由勾股定理得，BE=6,

由折疊可得，BF=2BE=12,

VAD=BC=8,

/.CF=4

'：CG-BF=CD-CF,

/.12CG=4^x4,

4-^

ACG=-^-,

.,.DG=1V3.

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質和相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質即為相似三角形判定的條件，利用相似三角

形的對應邊成比例是解答問題的關鍵.

24、(1)①4,②(2)AD=BC,證明見解析.

【分析】(1)如圖1,首先證明再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解決問題；

如圖2,過點A作皿“C,易證根據』=2易得結論.

(2)延長，仞到M，使得DAf=ZD,轆B'M,UA4易證四邊形為CAfB'是平行四邊形，再證明AB/CSA/B'/M

得MW=2BC,故可得結論.

VZBAC^90°,Na+N0=180°

：.ZB'AC=90°

AB'AC'

'：---=----=2,

ABAC

B'C'

...——=2

BC

VBC=4,

:.B'C=8,

：D是B'C'的中點,

1

/.AD=_B'C'=4；

2

如圖2,

?.?Za+zP=180°,NB'/C'=60。，

:.^BAC=120°

根據“倍旋中線”知A4BC等腰三角形,

過A作力。_LBC,垂足為D'

ZBAD'=60°,ZAD'B=90°,BC=2BD'

VD是等邊三角形"EC'的邊B'C'的中點，

ZADB'=90°且ZzlB'D=60°

，A/4BD'?AB'/D

AB'ADc

,==/

；.ND=2BD'=BC

(2)結論：AD^BC

理由：如圖，延長ND到V,使得DM=ND,連接B'M,dM

'：B'D=DC,AD=DM

四邊形ACMB'是平行四邊形

:.AC=B'M=24C,ZB'AC+ZAB'M=180°

???ZBAC+ZB'