湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

雅禮教育集團(tuán)2022年下學(xué)期期末考試試卷高二數(shù)學(xué)一、選擇題：本共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線過點(diǎn)，且不過第四象限，則直線的斜率的最大值是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由直線不過第四象限，可畫出所有符合要求的直線，觀察可得.【詳解】如圖，，，只有當(dāng)直線落在圖中所示位置時(shí)才符合題意，故.故直線的斜率的最大值為2．故選：A.2.函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱軸求解【詳解】,對(duì)稱軸方程是取,知是一條對(duì)稱軸故選:C3.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式可得,根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可得，即可由交集的定義求解.【詳解】由可得，由得，故.故選：B4.如圖，在同一平面內(nèi)以平行四邊形兩邊為斜邊向外作等腰直角，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過題意可得到，然后通過數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知所以，由等腰直角，可得，，,故選：B5.6名志愿者分配到3個(gè)社區(qū)參加服務(wù)工作，每名志愿者只分配到一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少分配一名志愿者且人數(shù)各不相同，不同的分配方案共有（）A.540種 B.360種 C.180種 D.120種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分組分配即可由排列組合進(jìn)行求解.【詳解】每個(gè)社區(qū)至少分配一名志愿者且人數(shù)各不相同,故三個(gè)社區(qū)分配到志愿者的人數(shù)為，故共有種.故選：B6.雙曲線的右焦點(diǎn)F與拋物線的焦點(diǎn)重合,兩曲線有一個(gè)公共點(diǎn)為P,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式計(jì)算出點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)定義計(jì)算離心率即可【詳解】由題知,拋物線焦準(zhǔn)距設(shè),由,得,所以不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限,則雙曲線焦半距,焦點(diǎn)是根據(jù)雙曲線的定義,所以所以離心率故選:A7.函數(shù)的零點(diǎn)屬于區(qū)間()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找到兩個(gè)端點(diǎn)異號(hào)的區(qū)間,再說明函數(shù)的單調(diào)性,利用零點(diǎn)存在定理即可【詳解】因?yàn)樗杂忠驗(yàn)槭窃龊瘮?shù),所以有唯一的零點(diǎn)故選：C8.已知,若,則的最小值等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先變形為，證明，再把問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)距離的最小值.【詳解】由題設(shè)，設(shè),則，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以，即，綜上，，即，所以，設(shè)是直線上的點(diǎn)，是圓上的點(diǎn)，而目標(biāo)式為，由，故.故選：B.二、選擇題：本共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.z的虛部是 B.z的共軛復(fù)數(shù)是C.z的模是 D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為【答案】BCD【解析】【分析】由復(fù)數(shù)虛部、共軛復(fù)數(shù)、模的定義和復(fù)數(shù)的幾何意義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】∵，∴z的虛部是1，共軛復(fù)數(shù)是，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為．故選:BCD10.下列數(shù)列中，單調(diào)遞增的數(shù)列是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】結(jié)合對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性即可判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，結(jié)合對(duì)應(yīng)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知數(shù)列不為遞增數(shù)列；對(duì)于B，結(jié)合對(duì)應(yīng)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可知數(shù)列為遞增數(shù)列；對(duì)于C，結(jié)合對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，可知數(shù)列不為遞增數(shù)列；對(duì)于D，由于，結(jié)合對(duì)應(yīng)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以數(shù)列為遞增數(shù)列.故選：BD.11.法國數(shù)學(xué)家笛卡爾開創(chuàng)了解析幾何思想方法的先河.他研究了許多優(yōu)美的曲線，在平面直角坐標(biāo)系中，方程所表示的曲線稱為笛卡爾葉形線.當(dāng)時(shí)，笛卡爾葉形線具有的性質(zhì)是（）A.經(jīng)過第三象限 B.關(guān)于直線對(duì)稱C.與直線有公共點(diǎn) D.與直線沒有公共點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)笛卡爾葉形線的方程，即可判斷AB，聯(lián)立直線與笛卡爾葉形線的方程，通過方程的根可判斷CD.【詳解】當(dāng)時(shí),笛卡爾葉形線為，A：若，則，故不經(jīng)過第三象限，故A錯(cuò)誤，B：若點(diǎn)在曲線上，則點(diǎn)也在曲線上.故笛卡爾葉形線關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確，C,D：由方程組得，此方程組無解，故笛卡爾葉形線與直線沒有公共點(diǎn)，故D正確，C錯(cuò)誤，故選：BD12.過下列哪些點(diǎn)恰可以作函數(shù)的兩條切線（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求解即可.【詳解】由，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則.對(duì)于A，因?yàn)?，所以在函?shù)上，當(dāng)為切點(diǎn)時(shí)，有一條切線；當(dāng)不為切點(diǎn)時(shí)，由，即，設(shè)，則，令，則或；令，則，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故只有一個(gè)解，綜上所述，過恰可做函數(shù)的兩條切線，故A正確；對(duì)于B，由，即，設(shè)，則，令，則或；令，則，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故有3個(gè)解，所以恰可做函數(shù)的三條切線，故B不正確；對(duì)于C，由，即，解得或，所以過恰可做函數(shù)的兩條切線，故C正確；對(duì)于D，由，即，設(shè)，則，令，則或；令，則，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，故有1個(gè)解，所以恰可做函數(shù)的一條切線，故D不正確；故選：AC.三、本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】在的展開式的通項(xiàng)公式為，所以令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為故答案為：．14.圓與圓的公共弦長等于______.【答案】【解析】【分析】兩圓相減得出公共弦所在直線方程，再根據(jù)勾股定理計(jì)算公共弦長【詳解】聯(lián)立,得公共弦所在直線方程為.圓心到距離所以公共弦長為故答案為：15.如圖，在正方體中，動(dòng)點(diǎn)在線段上，異面直線和所成的角為，則的取值范圍是______.（用區(qū)間表示）【答案】【解析】【分析】利用，得出，通過線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得到，通過幾何關(guān)系可得到，可知的最小值為與平面所成的角.設(shè)的交點(diǎn)為O，則為與平面所成的角.所以的最小值為.的最大值為點(diǎn)在點(diǎn)處，此時(shí).【詳解】連結(jié),由正方體的性質(zhì)可得，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線和所成的角即直線與所成的角，連接的交點(diǎn)為O，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，因?yàn)槠矫?，平面，顯然,，又平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以,,又因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，，易?所以有，，，可得,由正方體的性質(zhì)可知，顯然為銳角，所以，得，即，所以當(dāng)，即點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)有最大值為，此時(shí)最小為；顯然當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，此時(shí)有最大值，因?yàn)?，此時(shí)有最大值，顯然為正三角形，所以此時(shí)；故故答案為：16.曲線的曲率就是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)率,表明曲線偏離直線的程度,曲率越大,表示曲線的彎曲程度越大,工程規(guī)劃中常需要計(jì)算曲率,如高鐵的彎道設(shè)計(jì).曲線在點(diǎn)曲率的計(jì)算公式是,其中是的導(dǎo)函數(shù).則曲線上點(diǎn)的曲率的最大值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)定義直接計(jì)算,最后利用基本不等式得出結(jié)果【詳解】對(duì)于曲線,即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故答案為:三、本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)．該平臺(tái)首次實(shí)現(xiàn)了“有組織，有管理，有指導(dǎo)，有服務(wù)”的學(xué)習(xí)，極大地滿足了廣大黨員干部和人民群眾多樣化、自主化、便捷化的學(xué)習(xí)需求，日益成為老百姓了解國家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門APP．某市宣傳部門為了解市民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)國家政策的情況，從全市抽取1000人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的時(shí)長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在區(qū)間內(nèi)的概率；（2）估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長；（3）若宣傳部為了解市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從和組中抽取7人了解情況，從這7人中隨機(jī)選取2人參加座談會(huì)，求所選取的2人來自不同的組的概率．【答案】（1）0.3（2）6.8小時(shí)（3）．【解析】【分析】(1)由頻率分布直方圖求出學(xué)習(xí)時(shí)長在內(nèi)的頻率，由此估計(jì)學(xué)習(xí)時(shí)長在內(nèi)的概率；(2)根據(jù)平均值的計(jì)算公式求解；(3)先由分層抽樣的性質(zhì)確定從和組中應(yīng)抽取的人數(shù)，再列出樣本空間，并利用古典概型概率公式求出事件所選取的2人來自不同的組的概率．【小問1詳解】由題意知，該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在內(nèi)的頻率為，所以估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在內(nèi)的概率為0.3．【小問2詳解】由題意知各組的頻率分別為0.05，0.1，0.25，0.3，0.15，0.1，0.05，所以，所以估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長在6.8小時(shí)．【小問3詳解】由（2）知，利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在和的頻率分別為0.25，0.1，故兩組人數(shù)分別為250，100，采用分層抽樣的方法從組抽取人數(shù)為，記作a，b，c，d，e；從組抽取人數(shù)為，記作A，B；從7人中抽取2人的基本事件有，共21個(gè)，來自不同組的基本事件有，共10個(gè)，故所求概率．18.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知的公差為的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用題意建立等式求出，然后利用，求出通項(xiàng)即可；（2）先將放大為，然后裂項(xiàng)求和即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，所以，所以.當(dāng)時(shí)，時(shí)，也滿足上式.所以的通項(xiàng)公式是；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，不等式成立；當(dāng)時(shí)，.19.如圖，中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.（1）求A大??；（2）若內(nèi)點(diǎn)P滿足，求的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對(duì)變形,運(yùn)用余弦定理求解.（2）設(shè),則,再在與中運(yùn)用正弦定理得出的另外一個(gè)關(guān)系即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?所以由余弦定理得,所以【小問2詳解】因?yàn)?，所以設(shè)在中,由正弦定理得,在中,由正弦定理得,兩式相除得,所以又因?yàn)樗?即所以即所以,所以20.如圖所示，在直三棱柱中，，為的中點(diǎn).（1）直線與平面的交點(diǎn)記為，直線與平面的交點(diǎn)記為.證明：直線平面.（2）求二面角的大?。弧敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意可知，兩兩垂直，分別以為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，進(jìn)而得到，從而得證；（2）求得平面平面和平面的法向量，進(jìn)而求解.【小問1詳解】根據(jù)題意知，兩兩垂直，分別以為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，E為的中點(diǎn).所以，所以.直線與的交點(diǎn)即為直線與平面的交點(diǎn)M，直線與的交點(diǎn)即為直線與平面的交點(diǎn)N，所以.所以，所以，又平面平面，所以直線平面.【小問2詳解】設(shè)G為的中點(diǎn)，則，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，所以平面的一個(gè)法向量.由，設(shè)是平面的法向量，則，，令，得，即，所以二面角大小是.21.設(shè)F，E分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)N，滿足且的面積為20.（1）求b值；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線過點(diǎn)P，與橢圓交于點(diǎn)A，B，線段的中點(diǎn)記為M.若是與的等比中項(xiàng)，求a的最小值，并求出此時(shí)直線l的方程.【答案】（1）（2）a的最小值是7，或【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及橢圓定義得到焦點(diǎn)三角形中滿足的邊角關(guān)系，即可聯(lián)立求解，（2）根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離可求解,由向量的模長可得，結(jié)合等比中項(xiàng)即可得求解.【小問1詳解】設(shè)，根據(jù)題意得，解得,【小問2詳解】由于是線段的中點(diǎn)，所以,又,因此故，又因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，所以，—①設(shè)，記，，同理，所以，代入①，得.整理，得，—②由②得，因?yàn)椋詀的最小值為7，此時(shí)，即直線l的斜率為.又點(diǎn)在橢圓內(nèi)，于是兩條直線均滿足要求.綜上，a的最小值是7，此時(shí)直線l的方程為或.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.22.設(shè)函數(shù)，曲線在原點(diǎn)處的切線為x軸，（1）求a的值；（2）求方程解；（3）證明：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1