復(fù)變函數(shù)04-初等函數(shù)

復(fù)變函數(shù)與積分變換電信系通信工程教研室李廣柱電話(huà)/p>

手機(jī)Q：46860236Email：lgz1979@12/30/20231課前回顧復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的微分解析函數(shù)解析函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)解析的充要條件解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系12/30/20232本次課講述的內(nèi)容初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)三角函數(shù)雙曲函數(shù)反三角函數(shù)反雙曲函數(shù)12/30/20233復(fù)指數(shù)函數(shù)的定義定義復(fù)數(shù)z=x+iy的指數(shù)函數(shù)為：

復(fù)指數(shù)函數(shù)具有以下性質(zhì)：(1).當(dāng)Im(z)=0時(shí)，f(z)=ex，其中x=Re(z)；(2).|ez|=ex，Arg(z)=y+2kπ，k是整數(shù)；(3).加法定理：12/30/20234復(fù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

復(fù)指數(shù)函數(shù)具有以下性質(zhì)：(4).，即ez，的周期為2kπi，該性質(zhì)是實(shí)指數(shù)函數(shù)所沒(méi)有的；(5).f(z)=ez在整個(gè)復(fù)平面上解析，且有；(6).注意：一般不成立。12/30/20235例：設(shè)z=x+iy，求：解：12/30/20236對(duì)數(shù)函數(shù)的定義

定義：滿(mǎn)足方程ew=z(z≠0)的函數(shù)w=f(z)稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù)，記為：令、，則可知：12/30/20237對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)由于Argz是多值函數(shù)，因此對(duì)數(shù)函數(shù)w=f(z)也是多值函數(shù)，并且相鄰兩個(gè)值相差2πi的整數(shù)倍。

如果將Lnz=ln|z|+iArgz中的Argz取主值argz，則Lnz即轉(zhuǎn)變成一個(gè)單值函數(shù)，記為lnz，并稱(chēng)為L(zhǎng)nz的主值：于是有：

當(dāng)z=x>0時(shí)，Lnz的主值lnz=lnx為實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)。12/30/20238例：求Ln2，Ln(-1)。解：在實(shí)變函數(shù)中，負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)，可見(jiàn)，復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣。12/30/20239例：解方程。解：12/30/202310對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

(1).，；(2).，；(3).對(duì)數(shù)函數(shù)在除去負(fù)實(shí)軸(含原點(diǎn))外的復(fù)平面上處處連續(xù)，處處可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)為：12/30/202311對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證明：鑒于除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸，在復(fù)平面其它點(diǎn)lnz處處連續(xù)，z=ew在區(qū)域：內(nèi)的反函數(shù)w=lnz是單值的，因此可以采用反函數(shù)求導(dǎo)的法則：12/30/202312冪函數(shù)的定義

定義：對(duì)任意的復(fù)數(shù)α以及復(fù)變量z，定義冪函數(shù)w=zα：

即：

注意：由于Lnz是多值的，因而冪函數(shù)w=zα也是多值的。

思考：為什么復(fù)指數(shù)函數(shù)ez不是多值的？12/30/202313冪函數(shù)當(dāng)α為整數(shù)時(shí)：可見(jiàn)，zn具有單一的值，且：12/30/202314冪函數(shù)當(dāng)(p、q互質(zhì)，且q>0)時(shí)：可見(jiàn)，zp/q具有q個(gè)值。即取k=0,1,…,q-1時(shí)取的值。12/30/202315冪函數(shù)

特殊情況，當(dāng)，n為正整數(shù)時(shí)，有：此即通常所見(jiàn)的冪函數(shù)w=zn。當(dāng)時(shí)，12/30/202316冪函數(shù)當(dāng)是無(wú)理數(shù)或者虛數(shù)時(shí)，有：注意到對(duì)不同的k取不同的值，此時(shí)冪函數(shù)具有無(wú)窮多個(gè)取值。是個(gè)無(wú)窮多值函數(shù)。12/30/202317例：求、的值。解：可見(jiàn)，ii雖然底數(shù)和指數(shù)都是虛數(shù)，但結(jié)果卻是實(shí)數(shù)。12/30/202318冪函數(shù)的性質(zhì)

(1)冪函數(shù)zn在復(fù)平面內(nèi)是單值解析的，且有：

(2)冪函數(shù)z1/n是多值函數(shù)，具有n個(gè)多支，它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的，且滿(mǎn)足：12/30/202319冪函數(shù)的性質(zhì)

(3)冪函數(shù)w=zα(除去α等于n和1/n兩種情況之外），當(dāng)α為無(wú)理數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，是無(wú)窮多值的。它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的，且有：12/30/202320三角函數(shù)的定義根據(jù)Euler公式可知：將兩式相加與相減，得到：現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況，定義：12/30/202321三角函數(shù)的性質(zhì)

(1).當(dāng)z為實(shí)數(shù)x時(shí)，定義的三角函數(shù)與通常的三角函數(shù)定義式一致的。

(2).sinz是奇函數(shù)，cosz是偶函數(shù)：sin(-z)=-sin(z)，cos(-z)=cos(z)

(3).正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以2π為周期的：sin(z+2π)=sin(z)，cos(z+2π)=cos(z)

(4).正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)分別為：12/30/202322三角函數(shù)的性質(zhì)

(5).正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要的公式：

(6).sinz=0的根是

cosz=0的根是12/30/202323例：解方程sinz=0。解：根據(jù)正弦函數(shù)的定義，12/30/202324三角函數(shù)的性質(zhì)

(7).在復(fù)數(shù)域內(nèi)，以下關(guān)系不成立：當(dāng)z為純虛數(shù)的時(shí)候，記z=yi，則根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義可知：注意到：12/30/202325其它三角函數(shù)其它三角函數(shù)可以通過(guò)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)來(lái)定義：正切函數(shù)：余切函數(shù)：正割函數(shù)：余割函數(shù)：與sinz和cosz類(lèi)似，可以討論它們的周期性、奇偶性和解析性。12/30/202326雙曲函數(shù)的定義與三角函數(shù)類(lèi)似，可以將雙曲函數(shù)推廣到復(fù)數(shù)域，定義雙曲余弦函數(shù)為：

雙曲正弦函數(shù)為：

雙曲正切函數(shù)為：12/30/202327雙曲函數(shù)的性質(zhì)

(1).當(dāng)z為實(shí)數(shù)x時(shí)，定義的雙曲函數(shù)與實(shí)數(shù)域中雙曲函數(shù)的定義式一致的。

(2).shz是奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)：sh(-z)=-sh(z)，ch(-z)=ch(z)

(3).正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以2πi為周期的：sh(z+2πi)=sh(z)，ch(z+2πi)=ch(z)12/30/202328雙曲函數(shù)的性質(zhì)

(4).雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)分別為：

(5).雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)滿(mǎn)足以下一些公式：12/30/202329反三角函數(shù)的定義設(shè)z=cosw，則稱(chēng)w為z的反余弦函數(shù)，并記為：w=Arccosz。由：可得：解此方程，可知根滿(mǎn)足：12/30/202330反三角函數(shù)的定義利用與定義反余弦函數(shù)相同的方法，可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù)：12/30/202331反雙曲函數(shù)的定義利用與定義反余弦函數(shù)相同的方法，可以定義反雙曲函數(shù)：反雙曲正弦函數(shù)：反雙曲余弦函數(shù)