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文檔簡介
云南省曲靖市麒麟高中2024屆高三4月第二次統(tǒng)練(二模)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量,,且,則()A. B. C.1 D.22.已知集合,,則集合子集的個數(shù)為()A. B. C. D.3.等差數(shù)列中,,,則數(shù)列前6項(xiàng)和為()A.18 B.24 C.36 D.724.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積()A. B. C. D.5.已知是函數(shù)圖象上的一點(diǎn),過作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則的最小值為()A. B. C.0 D.6.如圖所示,已知某幾何體的三視圖及其尺寸(單位:),則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.7.設(shè)為非零向量,則“”是“與共線”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.9.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又是上的單調(diào)函數(shù)的是()A. B.C. D.10.是邊長為的等邊三角形,、分別為、的中點(diǎn),沿把折起,使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置,連接、,當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時,四棱錐的體積為()A. B. C. D.11.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.正四面體的一個頂點(diǎn)是圓柱上底面的圓心,另外三個頂點(diǎn)圓柱下底面的圓周上,記正四面體的體積為,圓柱的體積為,則的值是______.14.已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上,,則球的表面積為__________.15.甲、乙兩人同時參加公務(wù)員考試,甲筆試、面試通過的概率分別為和;乙筆試、面試通過的概率分別為和.若筆試面試都通過才被錄取,且甲、乙錄取與否相互獨(dú)立,則該次考試只有一人被錄取的概率是__________.16.已知函數(shù),若恒成立,則的取值范圍是___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在正四棱錐中,底面正方形的對角線交于點(diǎn)且(1)求直線與平面所成角的正弦值;(2)求銳二面角的大小.18.(12分)2019年12月以來,湖北省武漢市持續(xù)開展流感及相關(guān)疾病監(jiān)測,發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例,均診斷為病毒性肺炎/肺部感染,后被命名為新型冠狀病毒肺炎(CoronaVirusDisease2019,COVID—19),簡稱“新冠肺炎”.下圖是2020年1月15日至1月24日累計(jì)確診人數(shù)隨時間變化的散點(diǎn)圖.為了預(yù)測在未釆取強(qiáng)力措施下,后期的累計(jì)確診人數(shù),建立了累計(jì)確診人數(shù)y與時間變量t的兩個回歸模型,根據(jù)1月15日至1月24日的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次1,2,…,10)建立模型和.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個適宜作為累計(jì)確診人數(shù)y與時間變量t的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及附表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)以下是1月25日至1月29日累計(jì)確診人數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù),根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:時間1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累計(jì)確診人數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù)19752744451559747111(?。┊?dāng)1月25日至1月27日這3天的誤差(模型預(yù)測數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)差值的絕對值與真實(shí)數(shù)據(jù)的比值)都小于0.1則認(rèn)為模型可靠,請判斷(2)的回歸方程是否可靠?(ⅱ)2020年1月24日在人民政府的強(qiáng)力領(lǐng)導(dǎo)下,全國人民共同采取了強(qiáng)力的預(yù)防“新冠肺炎”的措施,若采取措施5天后,真實(shí)數(shù)據(jù)明顯低于預(yù)測數(shù)據(jù),則認(rèn)為防護(hù)措施有效,請判斷預(yù)防措施是否有效?附:對于一組數(shù)據(jù)(,,……,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.參考數(shù)據(jù):其中,.5.53901938576403152515470010015022533850719.(12分)在四棱柱中,底面為正方形,,平面.(1)證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)2019年9月26日,攜程網(wǎng)發(fā)布《2019國慶假期旅游出行趨勢預(yù)測報(bào)告》,2018年國慶假日期間,西安共接待游客1692.56萬人次,今年國慶有望超過2000萬人次,成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規(guī)定:若公司某位導(dǎo)游接待旅客,旅游年總收人不低于40(單位:萬元),則稱該導(dǎo)游為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗(yàn)表明,如果公司的優(yōu)秀導(dǎo)游率越高,則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導(dǎo)游40名,統(tǒng)計(jì)他們一年內(nèi)旅游總收入,分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下:分組頻數(shù)(1)求的值,并比較甲、乙兩家旅游公司,哪家的影響度高?(2)從甲、乙兩家公司旅游總收人在(單位:萬元)的導(dǎo)游中,隨機(jī)抽取3人進(jìn)行業(yè)務(wù)培訓(xùn),設(shè)來自甲公司的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.21.(12分)已知.(1)若曲線在點(diǎn)處的切線也與曲線相切,求實(shí)數(shù)的值;(2)試討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).22.(10分)我國在2018年社保又出新的好消息,之前流動就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后,社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁瑣,費(fèi)時費(fèi)力.社保改革后將簡化手續(xù),深得流動就業(yè)人員的贊譽(yù).某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人,得到其辦理手續(xù)所需時間(天)與人數(shù)的頻數(shù)分布表:時間人數(shù)156090754515(1)若300名辦理社保的人員中流動人員210人,非流動人員90人,若辦理時間超過4天的人員里非流動人員有60人,請完成辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關(guān).列聯(lián)表如下流動人員非流動人員總計(jì)辦理社保手續(xù)所需時間不超過4天辦理社保手續(xù)所需時間超過4天60總計(jì)21090300(2)為了改進(jìn)工作作風(fēng),提高效率,從抽取的300人中辦理時間為流動人員中利用分層抽樣,抽取12名流動人員召開座談會,其中3人要求交書面材料,3人中辦理的時間為的人數(shù)為,求出分布列及期望值.附:0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】
根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程,解方程求得的值.【題目詳解】由于向量,,且,所以解得.故選:A【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】
首先求出,再根據(jù)含有個元素的集合有個子集,計(jì)算可得.【題目詳解】解:,,,子集的個數(shù)為.故選:.【題目點(diǎn)撥】考查列舉法、描述法的定義,以及交集的運(yùn)算,集合子集個數(shù)的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.【題目詳解】∵等差數(shù)列中,,∴,即,∴,故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】
畫出幾何體的直觀圖,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可.【題目詳解】解:幾何體的直觀圖如圖,是正方體的一部分,P?ABC,正方體的棱長為2,
該幾何體的表面積:.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.5、C【解題分析】
先畫出函數(shù)圖像和圓,可知,若設(shè),則,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若設(shè)圓的圓心為,則,所以只要取得最小值,若設(shè),則,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.【題目詳解】記圓的圓心為,設(shè),則,設(shè),記,則,令,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以(當(dāng)時等號成立).故選:C【題目點(diǎn)撥】此題考查的是兩個向量的數(shù)量積的最小值,利用了導(dǎo)數(shù)求解,考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬于難題.6、C【解題分析】
由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,據(jù)此可計(jì)算出答案.【題目詳解】由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,該幾何體的表面積.故選:C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三視圖的知識,幾何體的表面積的計(jì)算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.7、A【解題分析】
根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【題目詳解】若,則與共線,且方向相同,充分性;當(dāng)與共線,方向相反時,,故不必要.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量共線,充分不必要條件,意在考查學(xué)生的推斷能力.8、D【解題分析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點(diǎn):平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn),作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識,又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實(shí)有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算,此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.9、C【解題分析】
對選項(xiàng)逐個驗(yàn)證即得答案.【題目詳解】對于,,是偶函數(shù),故選項(xiàng)錯誤;對于,,定義域?yàn)?,在上不是單調(diào)函數(shù),故選項(xiàng)錯誤;對于,當(dāng)時,;當(dāng)時,;又時,.綜上,對,都有,是奇函數(shù).又時,是開口向上的拋物線,對稱軸,在上單調(diào)遞增,是奇函數(shù),在上是單調(diào)遞增函數(shù),故選項(xiàng)正確;對于,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,但,在上不是單調(diào)函數(shù),故選項(xiàng)錯誤.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】
首先由題意得,當(dāng)梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,通過圖形發(fā)現(xiàn),的中點(diǎn)即為梯形的外接圓圓心,也即四棱錐的外接球球心,則可得到,進(jìn)而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【題目詳解】如圖,四邊形為等腰梯形,則其必有外接圓,設(shè)為梯形的外接圓圓心,當(dāng)也為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過作的垂線交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接,點(diǎn)必在上,、分別為、的中點(diǎn),則必有,,即為直角三角形.對于等腰梯形,如圖:因?yàn)槭堑冗吶切危?、、分別為、、的中點(diǎn),必有,所以點(diǎn)為等腰梯形的外接圓圓心,即點(diǎn)與點(diǎn)重合,如圖,,所以四棱錐底面的高為,.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查四棱錐的外接球及體積問題,關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置,這個是一個難點(diǎn),考查了學(xué)生空間想象能力和分析能力,是一道難度較大的題目.11、B【解題分析】
由共軛復(fù)數(shù)的定義得到,通過三角函數(shù)值的正負(fù),以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解【題目詳解】由題意得,因?yàn)?,,所以在?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】
利用與的關(guān)系,求得的值.【題目詳解】依題意,所以故選:D【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
設(shè)正四面體的棱長為,求出底面外接圓的半徑與高,代入體積公式求解.【題目詳解】解:設(shè)正四面體的棱長為,則底面積為,底面外接圓的半徑為,高為.∴正四面體的體積,圓柱的體積.則.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.14、【解題分析】
如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長方體,球?yàn)殚L方體的外接球,長、寬、高分別為,計(jì)算得到,得到答案.【題目詳解】如圖所示,將三棱錐補(bǔ)成長方體,球?yàn)殚L方體的外接球,長、寬、高分別為,則,所以,所以球的半徑,則球的表面積為.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力,將三棱錐補(bǔ)成長方體是解題的關(guān)鍵.15、【解題分析】
分別求得甲、乙被錄取的概率,根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可求得結(jié)果.【題目詳解】甲被錄取的概率;乙被錄取的概率;只有一人被錄取的概率.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件概率的求解問題,屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】
求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計(jì)算時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,不符合,排除,得到答案。【題目詳解】因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所?當(dāng),即時,,則在上單調(diào)遞增,從而,故符合題意;當(dāng),即時,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,則在上單調(diào)遞減,從而,故不符合題意.綜上,的取值范圍是.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解題分析】
(1)以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)底面正方形邊長為再求解與平面的法向量,繼而求得直線與平面所成角的正弦值即可.(2)分別求解平面與平面的法向量,再求二面角的余弦值判斷二面角大小即可.【題目詳解】解:在正四棱錐中,底面正方形的對角線交于點(diǎn)所以平面取的中點(diǎn)的中點(diǎn)所以兩兩垂直,故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)底面正方形邊長為因?yàn)樗运?所以,設(shè)平面的法向量是,因?yàn)?,所以,,取則,所以所以,所以直線與平面所成角的正弦值為.設(shè)平面的法向量是,因?yàn)?,所以,取則所以,由知平面的法向量是,所以所以,所以銳二面角的大小為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解線面夾角以及二面角的問題,屬于中檔題.18、(1)適宜(2)(3)(ⅰ)回歸方程可靠(ⅱ)防護(hù)措施有效【解題分析】
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖即可判斷出結(jié)果.(2)設(shè),則,求出,再由回歸方程過樣本中心點(diǎn)求出,即可求出回歸方程.(3)(?。├帽碇袛?shù)據(jù),計(jì)算出誤差即可判斷回歸方程可靠;(ⅱ)當(dāng)時,,與真實(shí)值作比較即可判斷有效.【題目詳解】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可知:適宜作為累計(jì)確診人數(shù)與時間變量的回歸方程類型;(2)設(shè),則,,,;(3)(?。r,,,當(dāng)時,,,當(dāng)時,,,所以(2)的回歸方程可靠:(ⅱ)當(dāng)時,,10150遠(yuǎn)大于7111,所以防護(hù)措施有效.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用,在求非線性回歸方程時,現(xiàn)將非線性的化為線性的,考查了誤差的計(jì)算以及用函數(shù)模型分析數(shù)據(jù),屬于基礎(chǔ)題.19、(1)詳見解析;(2).【解題分析】
(1)連接,設(shè),可證得四邊形為平行四邊形,由此得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;(2)以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用二面角的空間向量求法可求得結(jié)果.【題目詳解】(1)連接,設(shè),連接,在四棱柱中,分別為的中點(diǎn),,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面.(2)以為原點(diǎn),所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),四邊形為正方形,,,則,,,,,,,設(shè)為平面的法向量,為平面的法向量,由得:,令,則,,由得:,令,則,,,,,二面角為銳二面角,二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查立體幾何中線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題;關(guān)鍵是能夠熟練掌握二面角的向量求法,易錯點(diǎn)是求得法向量夾角余弦值后,未根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是鈍二面角,造成余弦值符號出現(xiàn)錯誤.20、(1),乙公司影響度高;(2)見解析,【解題分析】
(1)利用各小矩形的面積和等于1可得a,由導(dǎo)游人數(shù)為40人可得b,再由總收人不低于40可計(jì)算出優(yōu)秀率;(2)易得總收入在中甲公司有4人,乙公司有2人,則甲公司的人數(shù)的值可能為1,2,3,再計(jì)算出相應(yīng)取值的概率即可.【題目詳解】(1)由直方圖知,,解得,由頻數(shù)分布表中知:,解得.所以,甲公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為:,乙公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為:,由于,所以乙公司影響度高.(2)甲公司旅游總收入在中的有人,乙公司旅游總收入在中的有2人,故的可能取值為1,2,3,易知:,;.所以的分布列為:123P.【題目點(diǎn)撥】本題考查頻率分布直方圖、隨機(jī)變量的分布列與期望,考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,是一道中檔題.21、(1)(2)答案不唯一具體見解析【解題分析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo),用不同的方式求出兩種切線方程,但兩條切線本質(zhì)為同一條,從而得到方程組,再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值,進(jìn)而求得;(2)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后得,對分三種情況進(jìn)行一級討論,即,,,結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理,可得函數(shù)零點(diǎn)情況.【題目詳解】解:
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