2024屆新教材二輪復(fù)習(xí) 　二項分布的綜合應(yīng)用 學(xué)案

2024屆新教材二輪復(fù)習(xí)二項分布的綜合應(yīng)用學(xué)案素養(yǎng)導(dǎo)引1.會求服從二項分布隨機(jī)變量的概率最大問題.(數(shù)學(xué)運算)2.能利用二項分布概率模型解決簡單的實際問題.(數(shù)學(xué)建模)學(xué)習(xí)任務(wù)一服從二項分布隨機(jī)變量的概率最大問題(數(shù)學(xué)運算)【典例1】(1)若X~B(15,14),則使P(X=k)最大的k值為 (A.3 B.4C.4或5 D.3或4【解析】選D.P(X=k+1)P解得k≤3.則當(dāng)k≤3時,P(X=k+1)≥P(X=k);當(dāng)k>4時,P(X=k+1)<P(X=k),其中k=3時,P(X=3)=P(X=4),所以k=3或4時,P(X=k)取得最大值.(2)已知X~B(n,p),若4P(X=2)=3P(X=3),則p的最大值為 ()A.56 B.45 C.34 【解析】選B.由題意可知n≥3,因為4P(X=2)=3P(X=3),所以4Cn2p2(1-p)n-2=3Cn3p3(1-p整理得4(1-p)=(n-2)p,即p=4n又n∈N*,且n≥3,則p≤45所以p的最大值為45【即學(xué)即練】1.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子n次,設(shè)出現(xiàn)k次點數(shù)為1的概率為P(X=k),若n=20,則當(dāng)P(X=k)取最大值時,k的值為 ()A.3 B.4 C.8 D.10【解析】選A.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子20次,其中出現(xiàn)點數(shù)為1的次數(shù)為X,則X~B(20,16),P(X=k當(dāng)1≤k≤3時,15(21k-1)>1,P(X=k)>P(當(dāng)k≥4時,15(21k-1)<1,P(X=k)<P(X因此當(dāng)k=3時,P(X=k)取最大值.2.某人射擊一發(fā)子彈的命中率為0.8,他射擊19發(fā)子彈,理論和實踐都表明,這19發(fā)子彈中命中目標(biāo)的子彈數(shù)k的概率P(X=k)如表,若P(X=k)最大,則k=____________.

k01…k…19P(X=k)0.219C1910.810.…C19k0.8k0.2…0.819【解析】因為P(X=k)最大,所以P(即C19解得15≤k≤16.答案:15或16學(xué)習(xí)任務(wù)二二項分布概率模型在實際問題中的應(yīng)用(數(shù)據(jù)分析)【典例2】(1)排球比賽實行“五局三勝制”,根據(jù)此前的若干次比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計可知,在甲、乙兩隊的比賽中,每場比賽甲隊獲勝的概率為23,乙隊獲勝的概率為13,則在這場“五局三勝制”的排球賽中乙隊獲勝的概率為 (A.1481 B.13 C.1781 【解析】選C.方法一:乙隊獲勝可分為乙隊以3∶0或3∶1或3∶2的比分獲勝.乙隊以3∶0獲勝,即乙隊三場全勝,概率為C33×(13)3乙隊以3∶1獲勝,即乙隊前三場兩勝一負(fù),第四場獲勝,概率為C32×(13)2×23×乙隊以3∶2獲勝,即乙隊前四場兩勝兩負(fù),第五場獲勝,概率為C42×(13)2×(23)2×所以在這場“五局三勝制”的排球賽中乙隊獲勝的概率為127+227+881方法二:采用五局三勝制,不妨設(shè)賽滿5局,用X表示5局比賽中乙勝的局?jǐn)?shù),則X~B(5,13),乙最終獲勝的概率為P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C53×(13)3×(23)2+C(23)1+C55×(13)(2)網(wǎng)上購物已經(jīng)成為一種重要的消費方式.某網(wǎng)絡(luò)公司通過隨機(jī)問卷調(diào)查,得到不同年齡段的網(wǎng)民在網(wǎng)上購物的情況,并從參與的調(diào)查者中隨機(jī)抽取了150人.經(jīng)統(tǒng)計得到如下表格:年齡(歲)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]頻數(shù)1545453087在網(wǎng)上購物的人數(shù)1233351532若把年齡大于或等于15而小于35歲的視為青少年,把年齡大于或等于35而小于65歲的視為中年人,把年齡大于或等于65歲的視為老年人,將頻率視為概率.①在青少年、中年人、老年人中,哪個群體網(wǎng)上購物的概率最大?②現(xiàn)從某市青少年網(wǎng)民中隨機(jī)抽取4人,設(shè)其中網(wǎng)上購物的人數(shù)為X,求X的分布列及期望.【解析】①由題表中的數(shù)據(jù)知,青少年網(wǎng)上購物的概率為12+3315+45=4560=中年人網(wǎng)上購物的概率為35+15+345+30+8=53老年人網(wǎng)上購物的概率為27因為34>5383>所以青少年網(wǎng)上購物的概率最大.②由題意及①知,X~B(4,34)P(X=0)=C40(14P(X=1)=C41(34)1(14)P(X=2)=C42(34)2(14)P(X=3)=C43(34)3(14)P(X=4)=C44(34則X的分布列為X01234P13272781E(X)=4×34=3【思維提升】關(guān)于二項分布在實際問題中的應(yīng)用首先把握事件“重復(fù)”“獨立”的特征,判斷試驗是n重伯努利試驗,事件發(fā)生的概率才符合二項分布;其次確定計算所需的基本量n,p,k,再代入期望、方差的公式進(jìn)行計算.【即學(xué)即練】1.某用人單位在一次招聘考試中,考試卷上有A,B,C三道不同的題,現(xiàn)甲、乙兩人同時去參加應(yīng)聘考試,他們考相同的試卷.已知甲考生對A,B,C三道題中的每一題能解出的概率都是23,乙考生對A,B,C三道題能解出的概率分別是34,23,12,(1)求甲至少能解出兩道題的概率;(2)設(shè)X表示乙在考試中能解出題的道數(shù),求X的數(shù)學(xué)期望;(3)按照“考試中平均能解出題數(shù)多”的擇優(yōu)錄取原則,如果甲、乙兩人只能有一人被錄取,你認(rèn)為誰應(yīng)該被錄取?請說出理由.【解析】(1)由題意知,甲至少能解出兩道題的概率P=C32(23)2(1-23)+(2)由題意知,X的所有可能取值為0,1,2,3.則P(X=0)=(1-34)×(1-23)×(1-12P(X=1)=34×(1-23)×(1-12)+(1-34)×23×(1-12)+(1-34)×(1-2P(X=2)=34×23×(1-12)+34×(1-23)×12+(1-34)P(X=3)=34×23×12=6故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×1(3)設(shè)Y表示甲在考試中能解出題的道數(shù),則隨機(jī)變量Y服從二項分布,即Y~B(3,23).所以Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)=3×23=2.因為E(Y)>E(X),2.為防止風(fēng)沙危害,某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶,種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳,各株沙柳的成活與否是相互獨立的,成活率為p,設(shè)X為成活沙柳的株數(shù),期望E(X)=3,方差D(X)=32(1)求n和p的值,并寫出X的分布列;(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,則需要補(bǔ)種,求需要補(bǔ)種沙柳的概率.【解析】(1)由題意知,隨機(jī)變量X服從二項分布即X~B(n,p),P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-由E(X)=np=3D(所以X~B(6,12X的可能取值為0,1,2,3,4,5,6,P(X=0)=164,P(X=1)