彈性力學(xué)徐芝綸版第3章

彈性力學(xué)第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答取滿足相容方程的一、逆解法和半逆解法（一）逆解法的基本步驟：求出應(yīng)力分量根據(jù)邊界條件求出面力考察能解決什么問題§3-1逆解法與半逆解法多項式解答（二）半逆解法的基本步驟：根據(jù)問題的特點設(shè)出部分應(yīng)力分量求出應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程求出其他應(yīng)力分量結(jié)束是否滿足邊界條件否是是否二、平面問題的多項式解答不難驗證：等項及它們的線性組合均滿足相容方程。下面用逆解法確定一下各種多項式能解決的問題。1.一次式當(dāng)不計體力時，對應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)為：相應(yīng)邊界條件為：可見線性函數(shù)對應(yīng)于無面力無應(yīng)力的狀態(tài)。故:應(yīng)力函數(shù)中加減一次式，不影響應(yīng)力。2.二次式先來看不計體力時，如取矩形板（或無限長柱體），則對應(yīng)于兩側(cè)受拉（a>0）或兩側(cè)受壓(a<0)的情況。對應(yīng)于應(yīng)力分量是:可見能解決矩形板受均布剪力的問題。同樣能解決矩形板受均布拉（壓）力的情況。能解決矩形板拉剪組合的問題。3．對應(yīng)的應(yīng)力分量式：如圖如果矩形梁側(cè)面尺寸較小，面力可簡化為兩個力偶，則對應(yīng)的是純彎曲的問題。例

設(shè)圖中所示的矩形長梁，l>>h，試考察應(yīng)力函數(shù)能解決什么樣的受力問題？yxol

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h/2(l>>h)解：按逆解法。1.將代入相容方程，可見是滿足的。有可能成為該問題的解。2.由求出應(yīng)力分量,3.由邊界形狀和應(yīng)力分量反推邊界上的面力。

在主要邊界（大邊界）上，

因此，在的邊界面上，無任何面力作用，即在x=0，l的次要邊界（小邊界）上，其主矢量和主矩FFM＝Fl由此，可得出結(jié)論：上述應(yīng)力函數(shù)可以解決懸臂梁在x=0處受集中力F作用的問題。矩形梁的純彎曲如圖，純彎曲矩形梁，不計體力，試求其應(yīng)力及位移。解：本題可取為平面應(yīng)力問題或平面應(yīng)變問題，取決于梁的寬度。先視為平面應(yīng)力問題，取單位寬度。

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h/2lyx(l>>h)oMM應(yīng)力函數(shù)為：對應(yīng)的應(yīng)力分量式：這一函數(shù)已滿足了相容方程，只要對應(yīng)的應(yīng)力滿足了應(yīng)力邊界條件，即為正確解答（單連通體）。在上下邊界應(yīng)滿足：顯然滿足。而小邊界的正應(yīng)力邊界條件顯然無法精確滿足，只能用圣維南原理使其滿足積分邊界條件。即：第一三式總能滿足，第二式要求：即應(yīng)力解答為：注意到梁截面的慣性矩是上述解答和材料力學(xué)中是一致的。試用應(yīng)力函數(shù)求圖示問題的應(yīng)力。PPh1利用小邊界條件可求得：或：PPh1§3-2位移分量的求出下面求位移分量，代入物理方程（平面應(yīng)力）得：

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h/2lyx(l>>h)oMM再代入幾何方程，得：前兩式積分得：代入第三式得：移項得：可得：積分得：（1）（2）可得：上式對任意的x,y

都必須成立，故兩邊都必須為同一常量由約束（位移邊界）條件確定待定常數(shù)（1）設(shè)梁兩端簡支，如圖邊界條件為：處

處上述邊界條件代入位移表達(dá)式得：解得各常數(shù)代入位移表達(dá)式得：（2）若梁一端固支。如圖邊界條件無法精確滿足，按照材料力學(xué)固定端處：上述邊界條件代入位移表達(dá)式得：解得：即位移解答為：求圖示問題的位移（平面應(yīng)力）。h1Pxyz代入第三式得：移項得：積分得：（1）（2）可得：邊界條件為：處（1）（2）無法精確滿足?？傻茫禾嶱xyz習(xí)題解答2-8（1）解：下邊的等效應(yīng)力邊界條件：（2）解:(a)在主要邊界應(yīng)精確滿足下列邊界條件：(b)在小邊界x=0應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的近似邊界條件(c)在小邊界x=l等效應(yīng)力邊界條件：2-9解：首先根據(jù)靜力等效的原則：二者面力靜力等效。向小邊界中心O1簡化：向原點O簡化：向小邊界中心O1簡化：向原點O簡化：2-13（a）平衡方程：（b）邊界條件：滿足上下自由邊界條件也滿足左右邊界條件。3相容方程：不滿足相容方程。所以不是原方程的解。2-16解：驗證邊界條件：如圖任取一點，設(shè)外法線的方向余弦分別為l和m,則：是多連通體，驗證位移單值條件：滿足應(yīng)力邊界條件。滿足位移單值條件。2-17

解：（1）由材料力學(xué)公式：h（2）平衡微分方程不計體力時，代入平衡微分方程均滿足滿足相容方程。（3）相容方程滿足主要邊界條件。（4）邊界條件。hx=0小邊界，利用圣維南原理（4）邊界條件。hx=l小邊界，先換為應(yīng)力邊界，再利用圣維南原理以上應(yīng)力可以認(rèn)為是正確解答。本題解答已滿足平衡方程，則最后一個邊界的積分應(yīng)力邊界條件必然滿足，可以不再校核?！?-3簡支梁的受均布載荷力學(xué)模型進(jìn)一步將位移邊界條件化為應(yīng)力邊界條件：解：擠壓應(yīng)力顯然不為0。由于在上下邊界不隨x變化，設(shè)

則積分得：將上式代入相容方程，得：上式可以看作是x的二次方程，要求在x的定義域內(nèi)恒成立，即有無窮多解，則：前兩個方程要求：注意：此處略去了的常數(shù)項。WHY?代入以上第三式：注意：此處略去了的常數(shù)項及一次項。首先考慮對稱性：應(yīng)是x偶函數(shù)，是x的奇函數(shù)。應(yīng)是x偶函數(shù)，是x的奇函數(shù)?？傻茫篍=F=G=0

（1）下面利用邊界條件：先看主要邊界條件（2）將應(yīng)力分量代入（2）中，并注意（1）得：聯(lián)立解得：對于左右側(cè)面，邊界條件無法精確滿足，只能引入圣維南原理，（1）（2）（3）由（1）（2）解得：代入（3）經(jīng)驗證成立。即應(yīng)力分量的解答為：本題按按半逆解法求解時，也可以參照材力假設(shè)應(yīng)力：由材力試取應(yīng)力不計體力求解軸向受拉桿的其它應(yīng)力。PPh1yxPPh1yx邊界條件：上下邊界均滿足。左邊界：由對稱性（關(guān)于x、y均對稱）：A=B=C=D=0PPh1yx§3-4楔形體受重力和液體壓力應(yīng)力（量綱L-1MT-2(N/m2)）顯然與gg、rg

（量綱L-2MT-2(N/m3))和坐標(biāo)（量綱L(m)）有關(guān)，所以必為坐標(biāo)的純一次式。采用量綱分析法：作用：輔助進(jìn)行應(yīng)力分析方法：首先找到可能與分析的量相關(guān)的所有量，通過分析他們的量綱，找到與所分析量之間的關(guān)系。體力:（1）（2）（3）所以應(yīng)力函數(shù)必為坐標(biāo)的純?nèi)问?由此設(shè):在左面，將（1）（3）式代入得：即：斜面的方程為：方向余弦應(yīng)力邊界條件是：αn由此解得：代入得應(yīng)力解答：注意：1.沿著壩軸，壩身往往具有不同的截面，而且壩身也不是無限長的。因此，嚴(yán)格說來，這里不是一個平面問題。2.這里假定楔形體下端無限長，因此對于壩身底部來說，上面的解答是不精確的。3.壩頂總有一定的寬度，因此在靠近壩頂處，以上解答也不適用。思考與練習(xí)（P49）3-43-53-73-8習(xí)題解答2-17

解：（1）由材料力學(xué)公式：h（2）平衡微分方程不計體力時，代入平衡微分方程均滿足滿足相容方程。（3）相容方程滿足主要邊界條件。（4）邊界條件。hx=0小邊界，利用圣維南原理（4）邊界條件。h