高等幾何試題及答案

PAGE第4頁(yè)系專業(yè)班學(xué)號(hào)姓名┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉線┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉試卷類型：A高等幾何使用專業(yè)年級(jí)考試方式：開卷（）閉卷（√）共6頁(yè)題號(hào)一二三四五六合計(jì)得分填空題（每小題4分，共20分）1、設(shè)(1)，(-1)，()為共線三點(diǎn)，則。2、寫出德薩格定理的對(duì)偶命題：。3、若共點(diǎn)四直線a,b,c,d的交比為(ab,cd)=-1，則交比(ad,bc)=______。4、平面上4個(gè)變換群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小關(guān)系為：。5、二次曲線的點(diǎn)坐標(biāo)方程為，則其線坐標(biāo)方程為是。選擇題（每小題2分，共10分）1.下列哪個(gè)圖形是仿射不變圖形？()A.圓 B.直角三角形 C.矩形 D.平行四邊形2.表示()A.以-1/4為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以1/2為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)B.以-4為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以2為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) C.以4為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以-2為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)D.以1/4為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以-1/2為方向的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)3.兩個(gè)不共底且不成透視的射影點(diǎn)列至少可以由幾次透視對(duì)應(yīng)組成？()A.一次 B.兩次 C.三次 D.四次4.下面的名稱或定理分別不屬于仿射幾何學(xué)有()：A.三角形的垂心B.梯形C.在平面內(nèi)無(wú)三線共點(diǎn)的四條直線有六個(gè)交點(diǎn)D.橢圓5.二次曲線按射影分類總共可分為()A.4類 B.5類 C.6類 D.8類三、判斷題（每小題2分，共10分）1.仿射對(duì)應(yīng)不一定保持二直線的平行性。（）2.兩直線能把射影平面分成兩個(gè)區(qū)域。（）3.當(dāng)正負(fù)號(hào)任意選取時(shí)，齊次坐標(biāo)表示兩個(gè)相異的點(diǎn)。（）4.在一維射影變換中，若已知一對(duì)對(duì)應(yīng)元素(非自對(duì)應(yīng)元素)符合對(duì)合條件，則此射影變換一定是對(duì)合。（）5.配極變換是一種非奇線性對(duì)應(yīng)。（）┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉線┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3.(8分)在直線上取笛氏坐標(biāo)為2，0，3的三點(diǎn)作為射影坐標(biāo)系的P*,P0,E，(i)求此直線上任一點(diǎn)P的笛氏坐標(biāo)x與射影坐標(biāo)λ的關(guān)系；（ii）問有沒有一點(diǎn)，它的兩種坐標(biāo)相等？4.（8分）求點(diǎn)列上的射影變換，它將參數(shù)為1,2,3的點(diǎn)分別變?yōu)閰?shù)為1,3,2的點(diǎn)，并求出此射影變換的自對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)。5.(6分)求由兩個(gè)射影線束，，所構(gòu)成的二階曲線的方程。6.(8分)試求二次曲線Γ：+2x1x3-4x2x3=0的中心與漸近線。┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉線┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉填空題（每小題4分，共20分）1（4分）如果兩個(gè)三線形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。（4分）2（4分）射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4分）（4分）選擇題（每小題2分，共10分）1.(D),2.(C),3.(B),4.(A),5.(B)判斷題（每小題2分，共10分）1.(×),2.(√),3.(×),4.(√),5.(√)作圖題（8分）第1頁(yè)共4頁(yè)作法過程：1、設(shè)a,b,c交于點(diǎn)A，在c上任取一點(diǎn)C,（2分）2、過C點(diǎn)作兩直線分別與a交于B、E，與b交于F，D，（2分）3、BD與EF交于G,4、AG即為所求的d。（2分）根據(jù)：完全四點(diǎn)形的調(diào)和共軛性（2分）證明題（10分）證明：在三點(diǎn)形BTS與三點(diǎn)形DQP中（4分）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線BD,TQ,SP三線共點(diǎn)，（2分）由德薩格定理的逆定理知，（2分）對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)BT與DQ的交點(diǎn)G，TS與QP的交點(diǎn)M以及BS與DP的交點(diǎn)H三點(diǎn)共線，即TS與QP的交點(diǎn)M在直線GH上。（2分）六、計(jì)算題（42分）（6分）解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，yo）（分割比），（2分）且P在直線x+3y-6=0上，解得λ=1，（2分）即P是AB中點(diǎn)，且（ABP）=－1（2分）┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉線┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）（1）（2分）（2）（1，1/2，0）（2分）（3）（2分）(8分)解：笛氏坐標(biāo)023x射影坐標(biāo)：P*P0Eλ（i）由定義λ=（P*P0，EP）=（20，3x）=（4分）(ii)若有一點(diǎn)它的兩種坐標(biāo)相等，即x=λ則有，即3x2－7x=0，∴當(dāng)x=0及x=時(shí)兩種坐標(biāo)相等。（4分）（8分）設(shè)射影變換的方程為：（2分）由題意知：a+,,6a+3b+2c+d=0得到：故射影變換方程為：（4分）二重元素滿足：得=7/3或=1（2分）（6分）解：由題意：（2分）由上式得：（2分）故所求方程即為（2分）6.(8分)解：二次曲線的齊次方程為：x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0，∴二次曲線為常態(tài)的，設(shè)中心則中心為（4分）求漸近線方程：a11X2+2a12XY+a22Y2=0，X=x－ξ，Y=y－η。從X2+3XY－4Y2=0→（X+4Y）（X－Y）=0.X+4Y=(x－)+4(y+)=