量子力學(xué)力學(xué)量用算符表達

第3章力學(xué)量用算符表達1整理課件量子力學(xué)中的算符,表示對波函數(shù)(量子態(tài))的一種運算.例如

討論量子力學(xué)中算符的一般性質(zhì):(a)線性算符稱為線性算符，凡滿足下列規(guī)則的算符,?A3.1算符的運算規(guī)那么2整理課件量子力學(xué)中的算符并不都是線性算符(例如復(fù)共軛),但刻畫可觀測量的算符都是線性算符.

為單位算符與兩個算符相等其中,是任一波函數(shù).注意其中和是任意兩個波函數(shù)，與是兩個任意常數(shù)（一般為復(fù)數(shù)）.例如就是線性算符.3整理課件(b)

算符之和對于任意波函數(shù),有顯然,算符的求和滿足交換律和結(jié)合律:

所以,兩個線性算符之和仍為線性算符.4整理課件(c)

算符之積算符與之積,記為,定義為

任意.一般說來,算符之積不滿足交換律,即這是算符與通常數(shù)的運算規(guī)則的唯一不同之處!5整理課件由以下關(guān)系式:概括量子力學(xué)中最根本的對易關(guān)系:6整理課件對易式(commutator)不難證明,對易式滿足以下代數(shù)恒等式:定義:7整理課件那么量子力學(xué)中最根本的對易關(guān)系可以化成:角動量對易式角動量算符:各分量表為8整理課件推出由代數(shù)恒等式,不難證明Levi-Civita符號

是一個三階反對稱張量，定義如下：9整理課件即角動量各分量的對易式為:可以寫成還可以證明:10整理課件在球坐標系中

,各分量可表示成那么容易證明:定義:11整理課件能夠唯一地解出,那么可以定義算符之逆為

并非所有的算符都有逆算符,例如投影算符就不存在逆.若算符之逆存在,則(d)逆算符設(shè)設(shè)與之逆均存在,則12整理課件(e)

算符的函數(shù)設(shè)給定一函數(shù),其各階導(dǎo)數(shù)均存在,冪級數(shù)展開收斂則可定義算符的函數(shù)為例如可定義不難看出算符的物理意義,是與體系沿方向平移有關(guān)的算符.13整理課件兩個(或多個)算符的函數(shù)也可類似定義.令則是指對體系的全部空間坐標進行積分,是坐標空間體積元.*定義一個量子體系的任意兩個波函數(shù)(態(tài))與的標積14整理課件式中與為任意常數(shù).那么可以證明:15整理課件

算符的轉(zhuǎn)置算符定義為(f)

轉(zhuǎn)置算符即式中與是任意兩個波函數(shù).16整理課件

算符的復(fù)共軛算符定義為注意算符的共軛算符的表達式與表象有關(guān).

例如,在坐標表象中(g)

復(fù)共軛算符與厄米共軛算符通常算符的復(fù)共軛,可如下構(gòu)成,即把的表達式中所有量換成其復(fù)共軛.而在動量表象中17整理課件算符之厄米共軛算符定義為推出例如:可以證明由此可得18整理課件滿足以下關(guān)系的算符兩個厄米算符之和仍為厄米算符,但它們的積,一般不是厄米算符,除非(可對易).(h)

厄米算符稱為厄米算符,也稱為自共軛算符.

(實)等都是厄米算符.※19整理課件定理體系的任何狀態(tài)下,其厄米算符的平均值必為實數(shù).逆定理在任何狀態(tài)下平均值均為實的算符必為厄米算符.實驗上可觀測量,當(dāng)然要求在任何態(tài)下平均值都是實數(shù),因此,相應(yīng)的算符必須是厄米算符.關(guān)于厄米算符的重要定理:證明如下:在態(tài)下厄米算符的平均值為20整理課件設(shè)為厄米算符,則在任意態(tài)之下,以上是關(guān)于算符的一般規(guī)律和定那么,在接下來的一節(jié)中我們將要學(xué)習(xí)一類特殊的算符-------厄米算符,及其本征值與本征函數(shù)!推論21整理課件

來描述其狀態(tài)的大量完全相同的體系(系綜),如進行多次測量,所得結(jié)果的平均值將趨于一個確定值．而每一次測量的結(jié)果則圍繞平均值有一個漲落.

對于都用漲落定義為漲落3.2厄米算符的本征值與本征函數(shù)厄米算符,再利用3.1節(jié)所學(xué)知識,有因為為厄米算符,必為實數(shù),因而仍為(1)(2)22整理課件

如果體系處于一種特殊的態(tài),測量

所得結(jié)果是唯一確定的,即漲落,那么這種狀態(tài)稱為力學(xué)量的本征態(tài).

在本征態(tài)下,由式(2)可以看出,被積函數(shù)必須為零,即必須滿足或23整理課件一般,把常數(shù)記為,并把本征態(tài)記為,得到稱為的一個本征值,為相應(yīng)的本征態(tài).上式即算符的本征方程.注意求解時,作為力學(xué)量的本征態(tài),還要滿足物理上的一些要求.24整理課件

測量力學(xué)量時所有可能出現(xiàn)的值,都是相應(yīng)的線性厄米算符的本征值.當(dāng)體系處于的本征態(tài)時,則每次測量所得結(jié)果都是完全確定的,即.量子力學(xué)中的一個根本假定:推出所以,在態(tài)下(設(shè)已歸一化)定理1厄米算符的本征值必為實.25整理課件厄米算符的本征函數(shù)的一個根本性質(zhì):定理2厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù),彼此正交.證明如下:設(shè)并設(shè)存在,對取復(fù)共軛,得到上式右乘,積分,得到由于,上式左邊=,因此得如,則必有26整理課件簡并問題在能級簡并的情況下,僅根據(jù)能量本征值并不能把各能量的簡并態(tài)確定下來.在處理力學(xué)量本征問題時,特別是能量的本征值問題,常常出現(xiàn)本征態(tài)的簡并,

這與體系的對稱性有密切關(guān)系.設(shè)力學(xué)量的本征方程表為即屬于本征值的本征態(tài)有個,則稱本征值為重簡并.27整理課件

出現(xiàn)簡并時,簡并態(tài)的選擇是不唯一的,而且也不一定彼此正交,但總可以把它們適當(dāng)線性疊加,使之彼此正交.在線性代數(shù)中,通常采用Schmidt正交化程序來進行正交化.令因為所以只要選擇,使,即可得證.證明如下28整理課件

在常見問題中,當(dāng)出現(xiàn)簡并時,往往是用(除之外的)其他力學(xué)量的本征值來對簡并態(tài)進行分類,從而把它的簡并態(tài)確定下來.兩個力學(xué)量是否可以有共同本征態(tài)?或者說是否可以同時測定?

此時,正交性問題將自動解決.這就涉及兩個或多個力學(xué)量的共同本征態(tài)問題.這將是下一節(jié)不確定度關(guān)系要討論的問題!29整理課件引入下面我們普遍地分析此問題.當(dāng)體系處于力學(xué)量的本征態(tài)時,對其測量,可得一個確定值,而不會出現(xiàn)漲落.但在其本征態(tài)下去測量另一個力學(xué)量時,卻不一定得到一個確定值.分析以下積分不等式其中,為體系的任意一個波函數(shù),為任意實參數(shù).3.3.1不確定度關(guān)系的嚴格證明設(shè)有兩個任意的力學(xué)量和30整理課件引進厄米算符則因為與為厄米算符，所以,則得為實，不妨取31整理課件即與為厄米算符,與又均為實數(shù),

與也是厄米的.在上式中，讓那么(1)式仍成立.再考慮到就可得出32整理課件或簡記為(2)

上式就是任意兩個力學(xué)量與在任意量子態(tài)下的漲落必須滿足的關(guān)系式,即Heisenberg的不確定度關(guān)系(uncertaintyrelation)的普遍表達式.33整理課件能是例外),或者說他們不能有共同本征態(tài).以找出它們的共同本征態(tài).

由(2)式可以看出,若兩個力學(xué)量與不對易,則一般說來與不能同時為零,即

與不能同時測定.(但的特殊態(tài)可反之,若兩個厄米算符與對易,則可以找出這樣的態(tài),使與同時滿足,即可34整理課件

坐標的共同本征態(tài),即函數(shù)相應(yīng)本征值為例如35整理課件采用球坐標,角動量的平方算符表示為3.3.2的共同本征態(tài),球諧函數(shù)由于角動量的三個分量不對易,一般無共同本征態(tài).分量(例如)的共同本征態(tài).,可以找出但由于與任何一個36整理課件

考慮到的本征函數(shù)可以同時也取為的本征態(tài)其中,是的本征值(無量綱),待定.并代入本征方程的本征函數(shù)已分離變量,即令此時,37整理課件化簡本征方程,得令則或這就是連帶Legendre方程.38整理課件

在區(qū)域中,微分方程有兩個正則奇點,其余各點均為常點.時,方程有一個多項式解(另一解為無窮級數(shù)),即連帶Legendre多項式

可以證明,只當(dāng)它在區(qū)域中是有界的,是物理上可接受的解.39整理課件利用正交歸一性公式滿足定義一個歸一化的部分的波函數(shù)(實)40整理課件所以,的正交歸一的共同本征函數(shù)表示為為球諧函數(shù),它們滿足41整理課件

在上面的式子中,和的本征值都是量子化的.對于給定,的本征函數(shù)是不確定的,因為共有個簡并態(tài).就是用的本征值來確定這些簡并態(tài).

軌道角動量量子數(shù)

磁量子數(shù)42整理課件3.3.3對易力學(xué)量完全集(CSCO)它們的共同本征態(tài)記為

設(shè)有一組彼此獨立而且互相對易的厄米算符表示一組完備的量子數(shù).

設(shè)給定一組量子數(shù)之后,就能夠完全確定體系的唯一一個可能狀態(tài),那么我們稱構(gòu)成體系的一組對易可觀測量完全集

(completesetofcommutingObservables,簡記為CSCO),在中文教材中,習(xí)慣稱為對易力學(xué)量完全集,或簡稱為力學(xué)量完全集.對易力學(xué)量完全集的概念與體系的一個量子態(tài)的制備密切相關(guān).43整理課件

按照態(tài)疊加原理,體系的任何一個狀態(tài)

均可用

來展開利用的正交歸一性,上式中的展開系數(shù)可確切定出.表示在態(tài)下,測量力學(xué)量得到值的概率.這是波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋的最一般的表述.(這里假定量子數(shù)或力學(xué)量不連續(xù)變化.若連續(xù)變化,則而相應(yīng)的展開系數(shù)的模方代表概率密度.例如,坐標表象和動量表象的展開,即屬此情況.)44整理課件如體系的Hamilton量不顯含時間則H為守恒量.在此情況下,如對易力學(xué)量完全集中包含有體系的Hamilton量,那么完全集中各力學(xué)量都是守恒量,這種完全集又稱為對易守恒量完全集(acompletesetofcommutingconservedobservables,簡記為CSCCO.)包括H在內(nèi)的守恒量完全集的共同本征態(tài),當(dāng)然是定態(tài),所相應(yīng)的量子數(shù)都稱為好量子數(shù).在這種展開中,(無論ψ

是什么態(tài),定態(tài)或非定態(tài)),是不隨時間改變的.45整理課件關(guān)于CSCO,再做幾點說明:(1)CSCO是限于最小集合,

即從集合中抽出任何一個可觀測量后,就不再構(gòu)成體系的CSCO.所以要求CSCO中各觀測量是函數(shù)獨立的.(2)一個給定體系的CSCO中,可觀測量的數(shù)目一般等于體系自由度的數(shù)目,但也可以大于體系自由度的數(shù)目.(3)一個給定體系往往可以找到多個CSCO,或CSCCO.在處理具體問題時,應(yīng)視其側(cè)重點來進行選擇.一個CSCCO的成員的選擇,涉及體系的對稱性.46整理課件

體系的量子態(tài)用一組彼此對易的力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)來展開,在數(shù)學(xué)上涉及完備性問題.這是一個頗為復(fù)雜的問題.李政道曾經(jīng)給出關(guān)于本征態(tài)的完備性的如下重要的定理.定理:設(shè)為體系的一個厄米算符,對于體系的任一態(tài)有下界(即總是大于某一個固定的數(shù)c),但無上界,則的本征態(tài)的集合,構(gòu)成體系的態(tài)空間中的一個完備集,即體系的任何一個量子態(tài)都可以用這一組本征態(tài)完全集來展開.47整理課件這里有兩點值得提到:(a)自然界中真實存在的物理體系的Hamilton算符都應(yīng)為厄米算符(保證所有能量本征值為實),并且應(yīng)有下界(能量無下界是不合理的,在自然界中未發(fā)現(xiàn)這種情況).因此,體系的任一量子態(tài)總可以放心地用包含在內(nèi)的一個CSCCO的共同本征態(tài)完全集來展開.(b)在本征值有簡并的情況下,對于給定能量本征值,本征態(tài)尚未完全確定,此時需要用包含Hamilton量在內(nèi)的一個CSCCO,根據(jù)他們的本征值把本征態(tài)完全確定下來,以便于對任何量子態(tài)進行確切的展開.48整理課件3.3.4量子力學(xué)中力學(xué)量用厄米算符表達與Schr?dinger方程是量子力學(xué)的一個根本假定一樣,量子體系的可觀測量(力學(xué)量)用一個線性厄米算符來描述,也是量子力學(xué)的一個根本假定,它們的正確性應(yīng)該由實驗來判定.“量子力學(xué)中力學(xué)量用相應(yīng)的線性厄米算符來表達”,

其含義是多方面的:49整理課件(1)在給定狀態(tài)ψ

之下,力學(xué)量A的平均值由下式確定:(2)在實驗上觀測某力學(xué)量A,它的可能取值就是算符的某一個本征值.由于力學(xué)量觀測值總是實數(shù),所以要求相應(yīng)的算符必為厄米算符.(3)力學(xué)量之間關(guān)系也通過相應(yīng)的算符之間的關(guān)系反映

出來.例如,兩個力學(xué)量A與B,在一般情況下,可以同時具有確定的觀測值的必要條件為50整理課件反之,假設(shè)那么一般說來,力學(xué)量A與B不能同時具有確定的觀測值．

特別是對于H不顯含t的體系,一個力學(xué)量

A

是否是守恒量,可以根據(jù)與是否對易來判斷.51整理課件3.4.1連續(xù)譜本征函數(shù)是不能歸一化的一維粒子的動量本征值為的本征函數(shù)(平面波)為可以取中連續(xù)變化的一切實數(shù)值.不難看出，只要則在量子力學(xué)中,坐標和動量的取值是連續(xù)變化的;角動量的取值是離散的;而能量的取值那么視邊條件而定.例如52整理課件

當(dāng)然,任何真實的波函數(shù)都不會是嚴格的平面波,而是某種形式的波包.它只在空間某有限區(qū)域不為零.如果此波包的廣延比所討論的問題中的特征長度大得多,而粒子在此空間區(qū)域中各點的概率密度變化極微,那么不妨用平面波來近似描述其狀態(tài).是不能歸一化的.在上例中,連續(xù)譜的本征函數(shù)是不能歸一化的.53整理課件可以引用數(shù)學(xué)上的Dirac的為方便地處理連續(xù)譜本征函數(shù)的“歸一化〞,我們函數(shù).3.4.2函數(shù)函數(shù)的定義54整理課件由Fourier積分公式,對于分段連續(xù)函數(shù)(b)函數(shù)也可表成比較式(a)與(b),領(lǐng)域連續(xù)的任何函數(shù)對于在(a)等價地表示為:55整理課件平面波的“歸一化〞問題,還可以采用數(shù)學(xué)上傳統(tǒng)的做法即先讓粒子局限于有限空間中運動(最后才讓).動量本征態(tài)為在周期條件下3.4.3箱歸一化此時,為了保證動量算符

為厄米算符,就要求波函數(shù)滿足周期性邊條件.56整理課件同樣,不能歸一化的坐標本征態(tài)也可類似處理.因此,若取動量本征態(tài)為則這樣,就用函數(shù)的形式把平面波的“歸一化〞表示出來了.57整理課件由周期條件,得(粒子波長即).即或所以

或可以看出動量的可能取值就是不連續(xù)的.只要58整理課件此時,與相應(yīng)的動量本征態(tài)取為利用正交歸一化條件利用這一組正交歸一完備的函數(shù),可以構(gòu)成如下函數(shù):59整理課件現(xiàn)在讓即動量的可能取值趨于連續(xù)變化.于是此時,可以把,而或60整理課件在處理具體問題時,如要避免計算過程中出現(xiàn)的平面波“歸一化”困難,則可以用箱歸一化波函數(shù)代替不能歸一化的.

在計算的最后結(jié)果才讓.正交完備的歸一化波函數(shù)為結(jié)論則

函數(shù)可如下構(gòu)成:三維情況

61整理課件上式表明,相空間一個體積元

相當(dāng)于有一個量子態(tài).而最后,當(dāng)時將連續(xù)變化62整理課件設(shè)有一組彼此對易,且函數(shù)獨立的厄米算符它們的共同本征函數(shù)記為,是一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號.3.4.4力學(xué)量完全集定義設(shè)給定之后就能夠確定體系的一個可能狀態(tài)，那么稱構(gòu)成體系的一組力學(xué)量完全集.63整理課件

表示在下測量得到值的概率.這是波函數(shù)統(tǒng)計詮釋的一般表述.按照態(tài)疊加原理,

體系的任何一個狀態(tài)均可用展開

(這里假定的本征值是離散的)利用的正交歸一性的歸一化條件64