第06講 拓展三：直線與拋物線的位置關(guān)系解析

第06講拓展三：直線與拋物線的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點(diǎn)考查判斷直線與拋物線的位置關(guān)系 1題型二：重點(diǎn)考查求拋物線中的切線方程 4題型三：重點(diǎn)考查根據(jù)根與系數(shù)求參數(shù) 6題型四：重點(diǎn)考查拋物線中弦長問題 9題型五：重點(diǎn)考查拋物線中焦點(diǎn)弦問題 14題型六：重點(diǎn)考查拋物線中點(diǎn)弦問題 18題型七：重點(diǎn)考查拋物線中范圍及最值 22題型八：重點(diǎn)考查拋物線中的定點(diǎn)問題 27題型九：重點(diǎn)考查拋物線中的定值問題 30題型十：重點(diǎn)考查拋物線定直線問題 35題型十一：重點(diǎn)考查拋物線中向量問題 39題型一：重點(diǎn)考查判斷直線與拋物線的位置關(guān)系典型例題例題1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與拋物線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切C．相離 D．相交或相切【答案】D【詳解】直線與拋物線的對稱軸平行或與拋物線相切時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，所以D選項(xiàng)正確.故選：D例題2．（多選）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l過定點(diǎn)，則與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】（1）當(dāng)過點(diǎn)的直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由方程組消去y得，①若，則，解得，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，直線l的方程為，A正確；②若，令，解得，此時(shí)直線與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，直線l的方程為，即，B正確.（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線l的斜率不存在時(shí)，方程為，與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，C正確．綜上，直線l的方程為，或.故選：ABC.

例題3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線，直線過定點(diǎn).討論直線與拋物線的公共點(diǎn)的情況.【答案】答案見解析【詳解】

若直線斜率不存在，此時(shí)為軸，與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；若直線的斜率存在，記為，則可設(shè)直線的方程為：，由得：；①當(dāng)時(shí)，，解得：，此時(shí)，直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，方程的判別式；若，即，方程無實(shí)根，則直線與拋物線無交點(diǎn)；若，即，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，則直線與拋物線相切，有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；若，即且時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則直線與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)直線斜率不存在或直線斜率或時(shí)，直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線斜率時(shí)，直線與拋物線無公共點(diǎn)；當(dāng)直線斜率且時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn).精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線與拋物線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)【答案】B【詳解】因?yàn)橹本€與拋物線的對稱軸平行，故直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．故選：B.2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．【答案】或0【詳解】由，整理得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，直線為軸，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，綜上，實(shí)數(shù)的值為或0.3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)k為何值時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)？僅有一個(gè)公共點(diǎn)？無公共點(diǎn)？【答案】答案見解析【詳解】由，得.當(dāng)時(shí)，方程化為一次方程，該方程只有一解，原方程組只有一組解，∴直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，二次方程的判別式，當(dāng)時(shí)，得，，∴當(dāng)或時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；由得，此時(shí)直線與拋物線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；由得或，此時(shí)直線與拋物線無公共點(diǎn)．綜上，當(dāng)或時(shí)，直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線與拋物線無公共點(diǎn)．題型二：重點(diǎn)考查求拋物線中的切線方程典型例題例題1．（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)與平行，且與相切，則與的距離即為的最小值，聯(lián)立與得，由，解得，故的最小值為.

故選：D例題2．（2023·全國·高二課堂例題）已知點(diǎn)和拋物線，求過點(diǎn)A且與拋物線C相切的直線l的方程．【答案】或【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由直線l過點(diǎn)可知，直線l就是y軸，其方程為．由消去未知數(shù)x得．這是一個(gè)一元二次方程且只有唯一的實(shí)數(shù)解，所以直線與拋物線C相切．如果直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為．由方程組消去x，整理得．為了使得這個(gè)方程是一元二次方程且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，必須有且，因此可解得．此時(shí)直線l的方程為，即．綜上可知，直線l的方程為或．精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）拋物線上一點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)直線與相切，聯(lián)立與得：，由，得：，則直線為，故與之間的距離即為上一點(diǎn)到直線距離的最小值，由兩平行線間距離公式得：.故選：A2．（多選）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l過定點(diǎn)，則與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】（1）當(dāng)過點(diǎn)的直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由方程組消去y得，①若，則，解得，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，直線l的方程為，A正確；②若，令，解得，此時(shí)直線與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，直線l的方程為，即，B正確.（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線l的斜率不存在時(shí)，方程為，與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，C正確．綜上，直線l的方程為，或.故選：ABC.

題型三：重點(diǎn)考查根據(jù)根與系數(shù)求參數(shù)典型例題例題1．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C：，直線l經(jīng)過定點(diǎn)，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足，則p＝（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【詳解】易知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，，．聯(lián)立，消去x，得，則，．∵，∴，∴．故選：C．例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【詳解】∵，，∴，，∴∴直線AB的方程為：，即：，設(shè)，，，，，∴，又∵，∴，∴，∴.故選：B.例題3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線被曲線截得的弦長為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】【詳解】解：聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)為，可得，解得，且，由弦長公式，可得因?yàn)橹本€與曲線截得的弦長為，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）直線上兩點(diǎn)到直線的距離分別等于它們到的距離，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【詳解】根據(jù)拋物線的定義可知，到直線距離和到點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，拋物線方程為，所以點(diǎn)是直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程，得，，而.故選：C2．（2023春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)、的橫坐標(biāo)恰好是方程的根，則直線的方程為.【答案】【詳解】由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，的橫坐標(biāo)恰好是方程的根，所以，，聯(lián)立，消得，則，，所以，，所以，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以直線的方程為，即.故答案為：.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）寫出以及韋達(dá)式子：．【答案】見解析【詳解】聯(lián)立，整理為，，，.題型四：重點(diǎn)考查拋物線中弦長問題典型例題例題1．（2023春·福建廈門·高二廈門雙十中學(xué)校考期中）過拋物線的焦點(diǎn)作直線，交于、兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則．【答案】8【詳解】解：拋物線方程為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，易得，設(shè)，，，，則，，，，則．故答案為：8．

例題2．（2023秋·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（2）如圖，

設(shè)，.將代入，消去整理得.當(dāng)時(shí)，，.，化簡得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，故.例題3．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，與軸交點(diǎn)為P.(1)若，求的方程；(2)若，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，直線的方程設(shè)為，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得，，可得，設(shè),，,，，，因?yàn)?，所以，可得，可得，所以直線的方程為：．即．（2）直線的方程設(shè)為，

令，可得，所以，所以,，,，因?yàn)?，所以?,，所以，，，，，化簡可得，，，可得，，，．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，若直線與交于，兩點(diǎn)，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【詳解】令，則，故，所以，所以，故準(zhǔn)線為，則.故選：B2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過其焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于點(diǎn)，求的長．【答案】或.【詳解】不妨設(shè)拋物線方程為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，拋物線為：，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，直線的方程為，由消去整理得，即，解得，，則，，所以直線與拋物線的交點(diǎn)為和，所以或.

3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線被直線截得的弦長為，求該拋物線的方程.【答案】或【詳解】設(shè)拋物線方程為，直線與拋物線交于，

由得：，則，解得：或，，，，解得：或，滿足，拋物線的方程為：或.4．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，拋物線E上一點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為5，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求拋物線E的方程；(2)拋物線上有一條長為6的動(dòng)弦長為6的動(dòng)弦AB，當(dāng)AB的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離最短時(shí)，求弦AB所在直線方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）∵H縱坐標(biāo)為5，不妨設(shè)在第一象限內(nèi)，∴，過H做軸于M，∵，∴，∴，解得．∴所以拋物線E的方程為．

（2）根據(jù)題意直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)，，AB中點(diǎn)，由，，，，，∴，則∴，∵AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于，∴當(dāng)最小時(shí)，AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最短．∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，解得，則．所以直線AB的方程為或.題型五：重點(diǎn)考查拋物線中焦點(diǎn)弦問題典型例題例題1．（2023春·四川廣安·高二廣安二中?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與交于點(diǎn)，若，，則（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】B【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，，垂足分別為，，所以，.又，所以，設(shè)，則.因?yàn)?，所以，所以，所以，?所以，拋物線為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由得，解得，所以，，所以，直線的方程為所以，聯(lián)立方程得，解得，所以，，所以，故選：B例題2．（2023春·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？计谥校佄锞€有一條重要的性質(zhì)：平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后經(jīng)過它的焦點(diǎn).反之，從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.一束光線由點(diǎn)出發(fā)沿x軸反方向射向拋物線上一點(diǎn)P，反射光線所在直線與拋物線交于另一點(diǎn)Q，則弦的長為.【答案】【詳解】由題意可設(shè)，則，解得，即，由拋物線的性質(zhì)：當(dāng)光線平行拋物線的對稱軸時(shí)，經(jīng)拋物線反射后，光線過焦點(diǎn).可得反射光線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，故直線的斜率，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y可得，則，所以.故答案為：.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，以為直徑的圓分別與x軸交于異于F的P，Q兩點(diǎn)，若，則線段的長為．【答案】/4.5【詳解】過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，由題意可知，所以，設(shè)，所以，且，因此，故，所以，即，因此直線的斜率為，又因?yàn)?，所以直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，即，設(shè)，則，因此，故答案為：.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·湖南邵陽·高二湖南省邵東市第一中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，過的直線交于，兩點(diǎn)，軸被以為直徑的圓所截得的弦長為6，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，易知當(dāng)斜率不存在時(shí)不成立，故設(shè)直線為，設(shè)，.則，即，故，故中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.故，解得，故.故選：.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）一束光線由點(diǎn)出發(fā)沿x軸反方向射向拋物線上一點(diǎn)P，反射光線所在直線與拋物線交于另一點(diǎn)Q，則弦|PQ|的長為.【答案】【詳解】由題意可設(shè)，則，解得，即，由拋物線的性質(zhì)：當(dāng)光線平行拋物線的對稱軸時(shí)，經(jīng)拋物線反射后，光線過焦點(diǎn).可得反射光線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，故直線的斜率，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y可得，則，所以.故答案為：.題型六：重點(diǎn)考查拋物線中點(diǎn)弦問題典型例題例題1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為．【答案】【詳解】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為，所以易得拋物線的方程為，設(shè)，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，故，則，由，兩式相減得，所以，故直線的方程為，即．故答案為：.

例題2．（2023春·山西朔州·高二懷仁市第一中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知拋物線，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則直線的方程為.【答案】【詳解】因?yàn)樵趻佄锞€內(nèi)部，又，所以是的中點(diǎn).設(shè)，所以，即，又在拋物線上，所以，兩式作差，得，所以，所以直線的方程為，即.故答案為：

例題3．（2023秋·高二單元測試）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，故拋物線的方程為．（2）

易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，即精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的斜率.【答案】(1)(2)2【詳解】（1）由題可知，，解得，故拋物線的方程為.（2）設(shè)，則，兩式相減得，即.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，故直線的斜率為2.

2．（2023秋·陜西商洛·高二?？计谀┲本€：與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且(1)求拋物線的方程；(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的斜率．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)镸的焦點(diǎn)為，且直線l：經(jīng)過點(diǎn)，所以經(jīng)過的焦點(diǎn)．聯(lián)立，得．設(shè)，，則，則，解得．所以M的方程為．（2）設(shè)，，則，兩式相減，得．因?yàn)椋詌＇的斜率為.

3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).(1)若直線過點(diǎn)，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點(diǎn)，且弦恰被平分，求所在直線的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又因直線過點(diǎn)，所以直線的方程為：，即，聯(lián)立得，設(shè)，，所以，，所以（2）因、在拋物線上，所以，，兩式相減得：，得，故直線的斜率為4，所以直線的方程為：，即題型七：重點(diǎn)考查拋物線中范圍及最值典型例題例題1．（2023·廣東廣州·華南師大附中?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，若拋物線的準(zhǔn)線與圓相切于點(diǎn)，直線與拋物線切于點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，

圓的圓心為，半徑為，直線與圓相切，則，因?yàn)椋獾?，所以，拋物線的方程為，故拋物線的準(zhǔn)線與圓相切于點(diǎn)，若直線與軸重合，則直線與拋物線不相切，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，解得，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，則有，解得，此時(shí)，即點(diǎn)，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，設(shè)點(diǎn)，則，所以，.故選：C.例題2．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）拋物線的光學(xué)性質(zhì)是：從拋物線焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后，反射光線與拋物線對稱軸平行，已知、分別為拋物線的焦點(diǎn)和內(nèi)側(cè)一點(diǎn)，拋物線上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由拋物線方程知：，準(zhǔn)線；過作，垂足為，由拋物線定義知：，，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即圖中的，，，解得：；又在拋物線內(nèi)側(cè)，，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.例題3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，求的最小值.【答案】16【詳解】由題意知拋物線的焦點(diǎn)為，焦準(zhǔn)距，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則，的斜率都存在且不為0，故設(shè)，則直線，設(shè)，聯(lián)立，則，，則，同理，故，同理可得,故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為16.精練核心考點(diǎn)1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線上三點(diǎn)A，B，C，且當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可設(shè)：，因?yàn)?，因?yàn)?，則，且，則，可得，整理得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則；綜上所述：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m的取值范圍是.故選：A.2．（2023·湖南郴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線：，直線：，：，M為C上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到與的距離之和的最小值為.【答案】3【詳解】由題，拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過M點(diǎn)作，準(zhǔn)線垂線，垂足分別為B，C.過M點(diǎn)作垂線，垂足為A.則M到與的距離之和為.由拋物線定義知，又，則.當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最短，為.故答案為：3

3．（2023春·上海浦東新·高二上海師大附中校考期中）已知點(diǎn)P在拋物線上，P到的距離是，P到的距離是，則的最小值為.【答案】【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，，，，對稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.題型八：重點(diǎn)考查拋物線中的定點(diǎn)問題典型例題例題1．（2023秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，．(1)求；(2)過點(diǎn)作直線，與交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為．判斷直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理出．【答案】(1)(2)過定點(diǎn)【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以①，因?yàn)椋杂山拱霃焦降芒?，由①②解得（?fù)值舍去），所以.（2）由（1）知拋物線的方程為，依題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，則，由消去得，，則，所以，，所以，則直線的方程為，即，即，即，令，可得，所以直線恒過定點(diǎn).

例題2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心為C的動(dòng)圓過點(diǎn)，且在軸上截得的弦長為4，記C的軌跡為曲線E．(1)求E的方程，并說明E為何種曲線；(2)已知及曲線E上的兩點(diǎn)B和D，直線AB，AD的斜率分別為，，且，求證：直線BD經(jīng)過定點(diǎn)．【答案】(1)E的方程為，曲線E是拋物線.(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)圓心，半徑為，因?yàn)閳A心為C的動(dòng)圓過點(diǎn)，所以，因?yàn)閳A心為C的動(dòng)圓在軸上截得的弦長為4，所以，所以，即，所以曲線E是拋物線.（2）設(shè)直線：，聯(lián)立，消去并整理得，，即，設(shè)，，則，，因?yàn)椋?，所以，所以，將，代入得，即，所以直線：，即，所以直線BD經(jīng)過定點(diǎn).

精練核心考點(diǎn)1．（2023春·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線，直線l交該拋物線于M，N兩點(diǎn)（直線l不過原點(diǎn)），若，則直線l經(jīng)過定點(diǎn)．【答案】【詳解】由題意可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消得，則，，因?yàn)?，所以，即，即，所以，所以，又，所以，所以直線的方程為，所以直線l經(jīng)過定點(diǎn).故答案為：.

2．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）已知拋物線：過點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率與直線的斜率之和為4，證明：直線恒過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）坐標(biāo)代入拋物線方程得，解得，∴拋物線方程為．（2）證明：顯然直線斜率不為0，故可設(shè)：，將的方程與聯(lián)立得，設(shè)，，則，，所以，，同理：，由題意：，∴，∴，即，代入直線得，故直線恒過定點(diǎn)．

題型九：重點(diǎn)考查拋物線中的定值問題典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于點(diǎn)（M在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，(1)求的值.(2)若斜率不為0的直線與拋物線相切，切點(diǎn)為，平行于的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)到直線與到直線的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是，3【詳解】（1）如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為交軸于點(diǎn)，由題得，所以，因?yàn)?，所以△是等邊三角形，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，故，所以，，所以，所以，即.

（2）由（1）可知拋物線的方程是，設(shè)直線的方程為，，因?yàn)?，所以，即，?又，所以，故.聯(lián)立，消去，得，其中，則，所以，所以.設(shè)點(diǎn)到直線和直線的距離分別為，則由得，所以點(diǎn)到直線與到直線的距離之比是定值，定值為3.例題2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，到的距離為，過的直線與拋物線依次交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在兩點(diǎn)之間），則；設(shè)交軸于點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則.【答案】/【詳解】

到準(zhǔn)線的距離為，，拋物線為，準(zhǔn)線，，，由題意可設(shè)直線，，由得：，，解得：或，，，；設(shè)，則，直線，直線，，，.故答案為：；.精練核心考點(diǎn)1．（2023春·江西贛州·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F到直線的距離為．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與C交于與點(diǎn)O不重合的A，B兩點(diǎn)，且直線OA，OB的斜率之積為，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，點(diǎn)F到直線的距離，所以，C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，則，，所以直線OA，OB的斜率之積為，所以，由題意知，由得，

代入得，所以，．此時(shí)，所以．2．（2023春·河南駐馬店·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓：與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），過點(diǎn)作圓的切線，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，且，記點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定值.【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）設(shè)，由題可得，，，，，，，因?yàn)?，所以有，，，，即，，，即，所以．?）設(shè)直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，設(shè)，，，，聯(lián)立，恒成立，，，，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以橫坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，設(shè)的垂直平分線為，則斜率為，，即，則，，所以，為定值．

題型十：重點(diǎn)考查拋物線定直線問題典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線，圓，直線與拋物線和圓同時(shí)相切.（1）求和的值；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線分別相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右邊），過點(diǎn)的直線與拋物線分別相交于、兩點(diǎn)，直線與不重合，直線與直線相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.【答案】（1），；（2）證明見解析.【詳解】（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知圓的圓心為，半徑為，由直線與圓相切，可得，解得或（舍去），聯(lián)立方程，消去后整理為，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，得，故，.（2）證明：直線的方程為，聯(lián)立方程，解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為聯(lián)立方程，消去整理為，有，，，由得或，直線的斜率為，直線的斜率為，直線的方程為，化為，直線的方程為，化為，聯(lián)立直線、的方程消去后得，得，因?yàn)橹本€與不重合，所以，所以，故點(diǎn)在定直線上.例題2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過三點(diǎn)的圓的圓心為，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上.【答案】（1）（2）總在定直線上.【詳解】（1）過三點(diǎn)的圓的圓心為,則圓心在的中垂線上，則，又點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為所以，則所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，記.則，，聯(lián)立可得，又，代入得，所以總在定直線上.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：（）與圓O：相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.F是拋物線C的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)M，N.（1）求拋物線C的方程.（2）過點(diǎn)M，N作拋物線C的切線，，是，的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)P在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入解得，所以拋物線的方程為；（2）拋物線，則，設(shè),，所以切線PM的方程為，即,同理切線PN的方程為，聯(lián)立解得點(diǎn)，設(shè)直線MN的方程為，代入，得，所以，所以點(diǎn)P在上，結(jié)論得證.2．（2023·全國