湖南省常德市臨澧縣重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第五次階段性考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

高三第五次階段性考試數(shù)學(xué)試題卷（時(shí)量：120分鐘總分：150分）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．B．C．D．2.若復(fù)數(shù)z滿足，，則(

)A．B．C．D．3.函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(

)A．B．C．D．4.已知向量，，若，則在方向上的投影向量的長(zhǎng)度為(

)A．B．1C．D．25.設(shè)平面平面，且，

，，，則“”是“”的A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分不必要條件6.若，且，則下列結(jié)論正確的是(

)A．B．C．D．7.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體．如圖，正八面體的棱長(zhǎng)為2，若棱長(zhǎng)為的正四面體在該正八面體內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則的最大值為(

)A．B．C．D．8.設(shè)，，，則(

)A．B．C．D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列命題中正確的是(

)A．若樣本數(shù)據(jù)，，，的樣本方差為3，則數(shù)據(jù)，，，的方差為7B．經(jīng)驗(yàn)回歸方程為時(shí)，變量x和y負(fù)相關(guān)C．對(duì)于隨機(jī)事件A與B，，，若，則事件A與B相互獨(dú)立D．若，則取最大值時(shí)10.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放的能量單位：焦耳與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為，則下列說法正確的是(

)A．地震釋放的能量為焦耳時(shí)，地震里氏震級(jí)約為七級(jí)B．八級(jí)地震釋放的能量約為七級(jí)地震釋放的能量的倍C．八級(jí)地震釋放的能量約為六級(jí)地震釋放的能量的1000倍D．記地震里氏震級(jí)為，地震釋放的能量為，則數(shù)列是等比數(shù)列11.已知當(dāng)時(shí)，，則(

)A．B．C．D．12.若函數(shù)存在連續(xù)四個(gè)相鄰且依次能構(gòu)成等差數(shù)列的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的可能取值有(

)A．B．0C．D．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.寫出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，使得該數(shù)列的前n項(xiàng)和僅在時(shí)取最大值，_____.14.若一個(gè)三位數(shù)M的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為8，則我們稱M是一個(gè)“叔同數(shù)”，例如“125，710”都是“叔同數(shù)”，那么“叔同數(shù)”的個(gè)數(shù)共有__________.（用數(shù)字作答）15.如圖，將繪有函數(shù)部分圖象的紙片沿軸折成直二面角，若此時(shí)兩點(diǎn)之間的空間距離為，則_________.16.如圖，某正方體的頂點(diǎn)在平面內(nèi)，三條棱，，都在平面的同側(cè)．若頂點(diǎn)，，到平面的距離分別為，，2，則該正方體外接球的表面積為．四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.本小題10分在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，求C；若，，點(diǎn)D在邊AB上，且，求CD的長(zhǎng)．18.本小題12分部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作（強(qiáng)基計(jì)劃）的校考由試點(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中.(1)若，分別求出該考生報(bào)考兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更有希望進(jìn)入大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍.19.本小題12分如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，，證明：平面平面；求平面PAC與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

20.本小題12分2020年9月，中國(guó)在第75屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭(zhēng)于2030年之前使二氧化碳的排放達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年之前實(shí)現(xiàn)碳中和簡(jiǎn)稱“雙碳目標(biāo)”，此舉展現(xiàn)了我國(guó)應(yīng)對(duì)氣候變化的堅(jiān)定決心，預(yù)示著中國(guó)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟(jì)社會(huì)運(yùn)轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進(jìn)我國(guó)產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化．新能源汽車、電動(dòng)汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用．為了解某一地區(qū)純電動(dòng)汽車銷售情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動(dòng)汽車銷量單位：萬臺(tái)關(guān)于年份的線性回歸方程為，且銷量y的方差為，年份x的方差為求y與x的相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車銷量y與年份x的相關(guān)性強(qiáng)弱；該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購車車主的性別與購車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：購買非電動(dòng)車購買電動(dòng)車總計(jì)男性39645女性301545總計(jì)692190根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購買電動(dòng)汽車與性別有關(guān)聯(lián)？在購買電動(dòng)汽車的車主中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中，男性的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．①參考數(shù)據(jù)：，②參考公式：線性回歸方程：，其中，.相關(guān)系數(shù)：，若，則可判斷y與x線性相關(guān)較強(qiáng)．，其中.附表：21.本小題12分設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，證明：．22.本小題12分已知函數(shù)，．（1）若的最值和的最值相等，求的值；（2）證明：若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．高三第五次階段性考試數(shù)學(xué)試題卷(解析版)（時(shí)量：120分鐘總分：150分）單選題題號(hào)12345678答案CBDABCA1.解：，，若，，則a的范圍為2.C解：設(shè)

，

，因?yàn)?/p>

，解得：

，

，即，解得，故3.B解：關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故將的圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，（事實(shí)上為奇函數(shù)）4.D

解：因?yàn)椋?/p>

，

所以，解得，即，

則在方向上的投影向量的長(zhǎng)度為5.A

解：由，，，m，，且m與b相交，

，又，所以，故充分性成立；

因?yàn)椋?，，?/p>

所以，，，故必要性成立，所以“”是“”的充要條件;6.B解：，由，可得，即，，，，且，根據(jù)函數(shù)易知：，即得：7.C

解：四面體可以在正八面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故該四面體內(nèi)接于正八面體的內(nèi)切球首先求出正八面體的體積，

設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，故，解得；把正四面體放置在正方體中，如圖，

從圖中可以得到，當(dāng)正四面體的棱長(zhǎng)為a時(shí)，截得它的正方體的棱長(zhǎng)為，

而正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在正方體上，故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，

所以，解得，所以正四面體的最大棱長(zhǎng)為，故選C

8.A解：，，令，則，令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以在R上單調(diào)遞增，所以，即，所以．綜上，二、多選題題號(hào)9101112答案BCACDABC9.BC

解：對(duì)于A，數(shù)據(jù)，，，的方差為，所以A錯(cuò)誤;

對(duì)于B，回歸方程的直線斜率為負(fù)數(shù)，所以變量x與y呈負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系，所以B正確;

對(duì)于C，由，得，故事件A與事件B獨(dú)立，所以C正確;對(duì)于D，由解得或，所以D錯(cuò)誤.10.ACD

解：由題，，所以，

對(duì)A，當(dāng)時(shí)，有，解得，A正確；

對(duì)B，八級(jí)地震釋放的能量，七級(jí)地震釋放的能量，則B錯(cuò)誤；

對(duì)C，記六級(jí)地震釋放的能量為，則，C正確；

對(duì)D，由題，故，故數(shù)列是等比數(shù)列，D正確.11.解：因?yàn)?，令，，則，故錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t，，，，以上各式相加有，正確；，則，，，，以上各式相加有，正確；由得，即，，因此，所以正確．12ABC解：由，得，令，顯然函數(shù)是偶函數(shù)，是周期為的周期函數(shù)，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)的所有零點(diǎn)從小到大排成一列構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，A正確；當(dāng)時(shí)，或，取函數(shù)的4個(gè)連續(xù)零點(diǎn)為，顯然成等差數(shù)列，B正確；當(dāng)時(shí)，或，令，則函數(shù)在內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，并滿足，且，顯然，，，顯然，，因此，所以成等差數(shù)列，C正確.當(dāng)時(shí)，，顯然此方程在余弦函數(shù)的周期長(zhǎng)的區(qū)間內(nèi)只有兩個(gè)根，取，則方程在內(nèi)有4個(gè)根，顯然有，于是，，即有，則不成等差數(shù)列，由周期性知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在連接4個(gè)零點(diǎn)依次構(gòu)成等差數(shù)列，D錯(cuò)誤；三、填空題13.答案不唯一

14.3615.16.14.36解：三位數(shù)各位數(shù)的和為8可能的組合有116，125，134，224，233，017，026，035，044，008，

其中三個(gè)數(shù)不同且都不為0可排出個(gè)“叔同數(shù)”，

沒有0的3個(gè)數(shù)中有2個(gè)數(shù)相同，則排出個(gè)“叔同數(shù)”，

有1個(gè)0其余2個(gè)數(shù)為不同的非零數(shù)字可排出個(gè)“叔同數(shù)”，008只能排出800一個(gè)“叔同數(shù)”，

所以它們排出的“叔同數(shù)”的個(gè)數(shù)共有

15.解：因?yàn)榈闹芷?，所以，，．所以，解得，所以．由圖可知，當(dāng)時(shí)，，即，得，又，所以或，觀察在y軸右側(cè)的圖象結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可知,所以,16.解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，取空間的一個(gè)基底，設(shè)是平面的一個(gè)方向向上的單位法向量．由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，，，使得．由題意，在方向上的投影向量的長(zhǎng)度分別為，，2．于是，即，即，即．同理，．從而，由，得，即，解得，所以正方體的外接球半徑為，則外接球的表面積為．四、解答題17.解：根據(jù)題意，中，因?yàn)?，?/p>

所以由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，又，所以由余弦定理知，，

由知，，即

18.解：（1）設(shè)該考生報(bào)考大學(xué)恰好有一門筆試科目?jī)?yōu)秀為事件，則；該考生報(bào)考大學(xué)恰好有一門筆試科目?jī)?yōu)秀為事件，則.（2）該考生報(bào)考大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為，則，；該考生報(bào)考大學(xué)達(dá)到優(yōu)秀科目的個(gè)數(shù)設(shè)為，則所有可能的取值為，；；；；隨機(jī)變量的分布列：；該考生更有希望進(jìn)入大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，，即，解得：，的范圍為.19.解：取CD中點(diǎn)M，AB靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)O，連接OM，PM，

因?yàn)榈酌鍭BCD為直角梯形，且，，

因?yàn)辄c(diǎn)O為AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，故，

而M為CD的中點(diǎn)，故，故，而，即，

故四邊形OBCM為平行四邊形，而，故OBCM為矩形，故，

因?yàn)?，M為CD中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)?，OM、平面POM，所以平面POM，

又平面POM，所以，由，，，，得，，

又，所以為等腰直角三角形，所以，

又，，OM、平面ABCD，所以平面ABCD，

又平面PAB，所以平面平面

由可知，OB、OM、OP三條直線兩兩互相垂直且交于點(diǎn)O，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OM、OP分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

故，，，設(shè)平面PAC的法向量為，

由，得，令，則，，則，

設(shè)平面PCD的法向量為，

由，得，，令，則，則，

設(shè)平面PAC與平面PCD所成銳二面角為，則，

故平面PAC與平面PCD所成銳二面角的余弦值為

20.解：相關(guān)系數(shù)

故y與x線性相關(guān)較強(qiáng).設(shè)零假設(shè)購買新能源車與車主性別無關(guān)，根據(jù)聯(lián)列表計(jì)算

根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即購買新能源車與車主性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過.抽樣比，男性車主選取2人，女性車主選取5人，則X的可能取值為0，1，2，

故，，

故X的分布列為

21.解：（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足，所以當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，化為，變形為，又，所以，即且，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比