甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)第一中學(xué)2024屆（高三）一診模擬考試數(shù)學(xué)試題

甘肅省白銀市靖遠(yuǎn)第一中學(xué)2024屆（高三）一診模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù)，則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為（）A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-4,3) D．(-3,4)2．圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于、兩點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，且，則（）A． B．2 C． D．34．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則k的值為()A． B． C．或－ D．和－5．已知集合，則的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．6．在菱形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A． B． C．5 D．7．二項(xiàng)式展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C． D．8．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．9．已知正四面體的內(nèi)切球體積為v，外接球的體積為V，則（）A．4 B．8 C．9 D．2710．已知函數(shù)，，若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，則的取值范圍為（）A． B．C． D．11．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是A．1或 B．或 C．1或 D．或12．已知邊長(zhǎng)為4的菱形，，為的中點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則（）A．16 B．14 C．12 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.14．已知在等差數(shù)列中，，，前n項(xiàng)和為，則________.15．若存在直線l與函數(shù)及的圖象都相切，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)__________．16．電影《厲害了，我的國(guó)》于2018年3月正式登陸全國(guó)院線，網(wǎng)友紛紛表示，看完電影熱血沸騰“我為我的國(guó)家驕傲，我為我是中國(guó)人驕傲！”《厲害了，我的國(guó)》正在召喚我們每一個(gè)人，不忘初心，用奮斗書(shū)寫(xiě)無(wú)悔人生，小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了，我的國(guó)》，并把標(biāo)識(shí)為的四張電影票放在編號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)不同的盒子里，讓四位好朋友進(jìn)行猜測(cè)：甲說(shuō)：第1個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是乙說(shuō)：第2個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是丙說(shuō)：第4個(gè)盒子里放的是，第2個(gè)盒子里放的是丁說(shuō)：第4個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是小明說(shuō)：“四位朋友你們都只說(shuō)對(duì)了一半”可以預(yù)測(cè)，第4個(gè)盒子里放的電影票為_(kāi)________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，且．（1）請(qǐng)給出的一組值，使得成立；（2）證明不等式恒成立．18．（12分）在直角坐標(biāo)平面中，已知的頂點(diǎn)，，為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線過(guò)軸上的定點(diǎn).19．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角的大??；（2）若，求的面積．20．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.21．（12分）為了解網(wǎng)絡(luò)外賣的發(fā)展情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從全國(guó)各城市中抽取了100個(gè)相同等級(jí)地城市，分別調(diào)查了甲乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)（以下簡(jiǎn)稱外賣甲、外賣乙）在今年3月的訂單情況，得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖，外賣乙該月訂單的頻數(shù)分布表，如下圖表所示.訂單：（單位：萬(wàn)件）頻數(shù)1223訂單：（單位：萬(wàn)件）頻數(shù)402020102（1）現(xiàn)規(guī)定，月訂單不低于13萬(wàn)件的城市為“業(yè)績(jī)突出城市”，填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)”有關(guān).業(yè)績(jī)突出城市業(yè)績(jī)不突出城市總計(jì)外賣甲外賣乙總計(jì)（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，外賣甲今年3月在全國(guó)各城市的訂單數(shù)（單位：萬(wàn)件）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），的值已求出，約為3.64，現(xiàn)把頻率視為概率，解決下列問(wèn)題：①?gòu)娜珖?guó)各城市中隨機(jī)抽取6個(gè)城市，記為外賣甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個(gè)數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；②外賣甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市開(kāi)展“訂外賣，搶紅包”的營(yíng)銷活動(dòng)來(lái)提升業(yè)績(jī)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，開(kāi)展此活動(dòng)后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬(wàn)件的水平，現(xiàn)從全國(guó)各月訂單數(shù)不超過(guò)7萬(wàn)件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個(gè)城市不開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)，若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤(rùn)5元，但每件外賣平均需送出紅包2元，則外賣甲在這100個(gè)城市中開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)將比不開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)每月多盈利多少萬(wàn)元？附：①參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若，則，.22．（10分）已知，均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合，．（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，用列舉法表示集合；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，且集合滿足下列條件：①對(duì)任意，；②．證明：（?。┤簦瑒t（集合為集合在集合中的補(bǔ)集）；（ⅱ）為一個(gè)定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）設(shè)，，，其中，，若，則．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可知在R上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化條件得，解一元二次不等式即可得解.【題目詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，即，解得，即，易知在R上為增函數(shù).又，所以，解得.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.2、B【解題分析】

三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體，利用割補(bǔ)法可求其體積.【題目詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示，它是一個(gè)圓柱截去上面一塊幾何體，把該幾何體補(bǔ)成如下圖所示的圓柱，其體積為，故原幾何體的體積為.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積，復(fù)原幾何體時(shí)注意三視圖中的點(diǎn)線關(guān)系與幾何體中的點(diǎn)、線、面的對(duì)應(yīng)關(guān)系，另外，不規(guī)則幾何體的體積可用割補(bǔ)法來(lái)求其體積，本題屬于基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與軸交于點(diǎn)，由和拋物線的定義可求得，利用拋物線的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而求得結(jié)果.【題目詳解】過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與軸交于點(diǎn)，由拋物線解析式知：，準(zhǔn)線方程為.，，，，由拋物線定義知：，，，.由拋物線性質(zhì)得：，解得：，.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.4、C【解題分析】

直線過(guò)定點(diǎn)，直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ=120°（其中O為原點(diǎn)），可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小，求得結(jié)果．【題目詳解】如圖，直線過(guò)定點(diǎn)（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由對(duì)稱性可知k=±．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查過(guò)定點(diǎn)的直線系問(wèn)題，以及直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】

先求出集合，化簡(jiǎn)=，令，得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【題目詳解】由，得，，令，，，所以得，在上遞增，在上遞減，，所以，即的值域?yàn)楣蔬xA【題目點(diǎn)撥】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題6、B【解題分析】

據(jù)題意以菱形對(duì)角線交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，再根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，的方向?yàn)檩S，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查建立平面直角坐標(biāo)系解決向量的數(shù)量積問(wèn)題，難度一般.長(zhǎng)方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問(wèn)題，如果直接計(jì)算較麻煩可考慮用建系的方法求解.7、D【解題分析】

寫(xiě)出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式,再分析的系數(shù)求解即可.【題目詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,得,故項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

先利用換底公式將對(duì)數(shù)都化為以2為底,利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【題目詳解】，，，因此，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內(nèi)切球的半徑，在中，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【題目詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)為，連接，作正四面體的高為，則，，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，內(nèi)切球的球心為，則，解得：；設(shè)外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問(wèn)題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

由題意可將方程轉(zhuǎn)化為，令，，進(jìn)而將方程轉(zhuǎn)化為，即或，再利用的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.【題目詳解】由題意知方程在上恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，即，①.因?yàn)?，①式兩邊同除以，?所以方程有三個(gè)不等的正實(shí)根.記，，則上述方程轉(zhuǎn)化為.即，所以或.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，且時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)，有一根.所以恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.11、B【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論．【題目詳解】由題意得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離．①當(dāng)時(shí)，，∴，∴．②當(dāng)時(shí)，，∴，∴．綜上可得的值是或．故選B．【題目點(diǎn)撥】利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)需確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r，然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可．12、B【解題分析】

取中點(diǎn)，可確定；根據(jù)平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則可求得，利用可求得結(jié)果.【題目詳解】取中點(diǎn)，連接，，，即.，，，則.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問(wèn)題，涉及到平面向量的線性運(yùn)算，關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M(jìn)行拆解，進(jìn)而利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、160【解題分析】

先求的展開(kāi)式中通項(xiàng)，令的指數(shù)為3即可求解結(jié)論.【題目詳解】解：因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為：；令，可得；的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：.故答案為：160.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．14、39【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列公差為d,首項(xiàng)為,再利用基本量法列式求解公差與首項(xiàng),進(jìn)而求得即可.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d,首項(xiàng)為,根據(jù)題意可得,解得,所以.故答案為：39【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及前n項(xiàng)和的公式,屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

設(shè)直線l與函數(shù)及的圖象分別相切于，，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即，因?yàn)榇嬖谥本€l與函數(shù)及的圖象都相切，所以，所以，令，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為．16、A或D【解題分析】

分別假設(shè)每一個(gè)人一半是對(duì)的，然后分別進(jìn)行驗(yàn)證即可．【題目詳解】解：假設(shè)甲說(shuō)：第1個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，則乙說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，丙說(shuō)：第2個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，丁說(shuō)：第4個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，由此可知第4個(gè)盒子里面放的是；假設(shè)甲說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，則丙說(shuō)：第4個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，乙說(shuō)：第2個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，丁說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，由此可知第4個(gè)盒子里面放的是．故第4個(gè)盒子里面放的電影票為或．故答案為：或【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單的合情推理，考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（答案不唯一）（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）找到一組符合條件的值即可；（2）由可得,整理可得,兩邊同除可得,再由可得,兩邊同時(shí)加可得,即可得證.【題目詳解】解析:（1）（答案不唯一）（2）證明:由題意可知,,因?yàn)?所以.所以,即.因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以.【題目點(diǎn)撥】考查不等式的證明,考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用.18、（1）（）；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）設(shè)點(diǎn)，分別用表示、表示和余弦定理表示，將表示為、的方程，再化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)直線方程代入的軌跡方程，得，設(shè)點(diǎn)，，，表示出直線，取，得，即可證明直線過(guò)軸上的定點(diǎn).【題目詳解】（1）設(shè)，由已知，∴，∴（），化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡的方程為：（）；（2）由（1）知，過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為0時(shí)與無(wú)交點(diǎn)，不合題意故可設(shè)直線的方程為：（），代入的方程得：.設(shè)，，則，，.∴直線：.令，得.直線過(guò)軸上的定點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查軌跡方程的求法、余弦定理的應(yīng)用和利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系求定點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解題分析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用二倍角的正弦公式與正弦的和角公式化簡(jiǎn)求解即可.(2)由(1)有,根據(jù)正弦定理可得,進(jìn)而求得的值,再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【題目詳解】（1）由,得,得,由正弦定理得,顯然,同時(shí)除以,得.所以.所以.顯然,所以,解得.又,所以.（2）若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正余弦定理與面積公式在解三角形中的運(yùn)用,需要根據(jù)題意用正弦定理進(jìn)行邊角互化,再根據(jù)三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)求解等.屬于中檔題.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【題目詳解】解：（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為.轉(zhuǎn)換為，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式為（為參數(shù)），代入圓的直角坐標(biāo)方程整理得，所以，..【題目點(diǎn)撥】本題屬于基礎(chǔ)本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：主要考查極坐標(biāo)，參數(shù)方程與普通方程互化，及求三角形面積．需要熟記極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的公式，及與解析幾何相關(guān)的直線與曲線位置關(guān)系的一些解題思路．21、（1）見(jiàn)解析，有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)”有關(guān).（2）①4.911②100萬(wàn)元.【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表，易得兩個(gè)外賣平臺(tái)中月訂單不低于13萬(wàn)件的城市數(shù)量，即可完善列聯(lián)表.通過(guò)計(jì)算的觀測(cè)值，即可結(jié)合臨界值作出判斷.（2）①先根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得樣本平均值，根據(jù)所給今年3月訂單數(shù)區(qū)間，并由及求得，.結(jié)合正態(tài)分布曲線性質(zhì)可求得，再由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望求法求解.②訂單數(shù)低于7