概率統(tǒng)計與計數(shù)原理-2024屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)攻克典型題型之解答題

（4）概率統(tǒng)計與計數(shù)原理—2024屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)攻克典型題型之解答題方法技巧1.獨立性檢驗的一般步驟

（1）獨立性檢驗原理只能解決兩個對象，且每個對象有兩類屬性的問題，所以對于一個實際問題，我們首先要確定能否用獨立性檢驗的思想加以解決.

（2）如果確實屬于這類問題，要科學(xué)地抽取樣本，樣本容量要適當(dāng)，不可太??；

（3）根據(jù)數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表；

（4）提出假設(shè)：所研究的兩類對象無關(guān)；

（5）根據(jù)公式計算的值；

（6）比較觀測值k與臨界值表中相應(yīng)的檢驗水平，根據(jù)小概率原理肯定或者否定假設(shè)，即判斷X，Y是否相關(guān).

2.利用相互獨立事件求復(fù)雜事件概率的解題思路

（1）將待求事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的簡單事件的和.

（2）將彼此互斥的簡單事件轉(zhuǎn)化為幾個已知（易求）概率的相互獨立事件的積事件.

（3）代入概率的積公式求解.

3.建立回歸模型的基本步驟

（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量.

（2）畫出解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）.

（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如觀察到散點大致分布在某條直線附近，則選用線性回歸方程）.

（4）按一定規(guī)則（如最小二乘法）估計回歸方程中的參數(shù).

（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（如個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等）.若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.4.概率與統(tǒng)計解答題的解題策略

（1）準確弄清問題所涉及的事件有什么特點，事件之間有什么關(guān)系，如互斥、對立、獨立等；

（2）理清事件以什么形式發(fā)生，如同時發(fā)生、至少有幾個發(fā)生、至多有幾個發(fā)生、恰有幾個發(fā)生等；

（3）明確抽取方式，如放回還是不放回、抽取有無順序等；

（4）準確選擇排列組合的方法來計算基本事件發(fā)生數(shù)和事件總數(shù)，或根據(jù)概率計算公式和性質(zhì)來計算事件的概率；

（5）確定隨機變量取值并求其對應(yīng)的概率，寫出分布列后再求期望；

（6）會套用求、的公式求值，再作進一步分析.

1.為應(yīng)對全球氣候變化，我國制定了碳減排的國家戰(zhàn)略目標，采取了一系列政策措施積極推進碳減排，作為培育發(fā)展新動能、提升綠色競爭力的重要支撐，節(jié)能環(huán)保領(lǐng)域由此成為全國各地新一輪產(chǎn)業(yè)布局的熱點和焦點.某公司為了解員工對相關(guān)政策的了解程度，隨機抽取了180名員工進行調(diào)查，得到如下表的數(shù)據(jù)：了解程度性別合計男性女性比較了解6060不太了解2020合計（1）補充表格，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析了解程度與性別是否有關(guān)？（2）用分層抽樣的方式從不太了解的人中抽取12人，再從這12人中隨機抽取6人，用隨機變量X表示這6人中男性員工人數(shù)與女性員工人數(shù)之差的絕對值，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附表及公式：a0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828.2.2022年卡塔爾世界杯決賽于當(dāng)?shù)貢r間12月18日進行,最終阿根廷通過點球大戰(zhàn)總比分戰(zhàn)勝法國,奪得冠軍.根據(jù)比賽規(guī)則：淘汰賽階段常規(guī)比賽時間為90分鐘,若在90分鐘結(jié)束時進球數(shù)持平,需進行30分鐘的加時賽,若加時賽仍是平局,則采用“點球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負.“點球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊各派5名隊員,雙方輪流踢點球,累計進球個數(shù)多者勝；②如果在踢滿5輪前,一隊的進球數(shù)已多于另一隊踢滿5輪最多可能射中的球數(shù),則不需要再踢（例如：第4輪結(jié)束時,雙方“點球大戰(zhàn)”的進球數(shù)比為,則不需要再踢第5輪）；③若前5輪“點球大戰(zhàn)"中雙方進球數(shù)持平,則從第6輪起,雙方每輪各派1人踢點球,若均進球或均不進球,則繼續(xù)下一輪,直到出現(xiàn)一方進球另一方不進球的情況,進球方勝出.（1）假設(shè)踢點球的球員等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向射門,門將也會等可能地選擇球門的左?中?右三個方向來撲點球,而且門將即使方向判斷正確也只有的可能性將球撲出.若球員射門均在門內(nèi),在一次“點球大戰(zhàn)"中,求門將在前4次撲出點球的個數(shù)X的分布列期望；（2）現(xiàn)有甲?乙兩隊在決賽中相遇,常規(guī)賽和加時賽后雙方戰(zhàn)平,需要通過“點球大戰(zhàn)”來決定冠軍.設(shè)甲隊每名隊員射進點球的概率均為,乙隊每名隊員射進點球的概率均為,假設(shè)每輪點球中進球與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.（i）若甲隊先踢點球,求在第3輪結(jié)束時,甲隊踢進了3個球并獲得冠軍的概率；（ii）求“點球大戰(zhàn)”在第7輪結(jié)束,且乙隊以獲得冠軍的概率.3.網(wǎng)上購物就是通過互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息,并通過電子訂購單發(fā)出購物請求,廠商通過郵購的方式發(fā)貨或通過快遞公司送貨上門,貨到后通過銀行轉(zhuǎn)賬?微信或支付寶支付等方式在線匯款,根據(jù)年中國消費者信息研究,超過40%的消費者更加頻繁地使用網(wǎng)上購物,使得網(wǎng)上購物和送貨上門的需求量激增,越來越多的消費者也首次通過第三方APP?品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺進行購物,某天貓專營店統(tǒng)計了2020年8月5日至9日這5天到該專營店購物的人數(shù)和時間第天間的數(shù)據(jù),列表如下:12345（1）由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與時間x之間的關(guān)系?若可用,估計8月10日到該專營店購物的人數(shù)(人數(shù)用四舍五入法取整數(shù);若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合,計算r時精確到0.01).參考數(shù)據(jù):.附:相關(guān)系數(shù),回歸直線方程的斜率,截距.（2）運用分層抽樣的方法從第1天和第5天到該專營店購物的人中隨機抽取7人,再從這7人中任取3人進行獎勵,求這3人取自不同天的概率.（3）該專營店為了吸引顧客,推出兩種促銷方案:方案一,購物金額每滿100元可減10元;方案二,一次性購物金額超過800元可抽獎三次,每次中獎的概率均為,且每次抽獎互不影響,中獎一次打9折,中獎兩次打8折,中獎三次打6折.某顧客計劃在此專營店購買1000元的商品,請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠.4.某疫苗生產(chǎn)單位通過驗血的方式檢驗?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況,現(xiàn)有份血液樣本(數(shù)量足夠大),有以下兩種檢驗方式:方式一:逐份檢驗,需要檢驗n次;方式二:混合檢驗,將其中k(且)份血液樣本混合檢驗,若混合血樣無抗體,說明這k份血液樣本全無抗體,只需檢驗1次;若混合血樣有抗體,為了明確具體哪份血液樣本有抗體,需要對每份血液樣本再分別化驗一次,檢驗總次數(shù)為次.假設(shè)每份樣本的檢驗結(jié)果相互獨立,每份樣本有抗體的概率均為.（1）現(xiàn)有7份不同的血液樣本,其中只有3份血液樣本有抗體,采用逐份檢驗方式,求恰好經(jīng)過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率;（2）現(xiàn)取其中k(且)份血液樣本,記采用逐份檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數(shù)為;采用混合檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數(shù)為.①若,求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式;②已知,以檢驗總次數(shù)的期望為依據(jù),討論采用何種檢驗方式更好?參考數(shù)據(jù):,,,,.5.深受廣大球迷喜愛的某支歐洲足球隊,在對球員的使用上總是進行數(shù)據(jù)分析,為了考查甲球員對球隊的貢獻,現(xiàn)作如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計:球隊勝球隊負總計甲參加22b30甲未參加c12d總計30en（1）求b,c,d,e,n的值,據(jù)此能否有97.5%的把握認為球隊勝利與甲球員參賽有關(guān);（2）根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計,乙球員能夠勝任前鋒,中鋒,后衛(wèi)以及守門員四個位置,且出場率分別為:0.2,0.5,0.2,0.1,當(dāng)出任前鋒,中鋒,后衛(wèi)以及守門員時,球隊贏球的概率依次為:0.6,0.8,0.4,0.8則:①當(dāng)他參加比賽時,求球隊某場比賽贏球的概率;②當(dāng)他參加比賽時,在球隊贏了某場比賽的條件下,求乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率:③如果你是教練員,應(yīng)用概率統(tǒng)計有關(guān)知識.該如何使用乙球員?附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8286.2023年中秋國慶雙節(jié)期間，我國繼續(xù)執(zhí)行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了10月1日上午這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有1000輛車通過該收費點，為方便統(tǒng)計，時間段記作區(qū)間，記作，記作，記作，對通過該收費點的車輛數(shù)進行初步處理，已知，時間段內(nèi)的車輛數(shù)的頻數(shù)如下表：時間段頻數(shù)100300mn（1）現(xiàn)對數(shù)據(jù)進一步分析，采用分層隨機抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中在通過的車輛數(shù)為X，求X的分布列與期望；（2）由大數(shù)據(jù)分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，其中可用（1）中這1000輛車在之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），已知某天共有800輛車通過該收費點，估計在之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果四舍五入保留到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③.7.隨著人民生活水平的不斷提高,“衣食住行”愈發(fā)被人們所重視,其中對飲食的要求也愈來愈高.某地區(qū)為了解當(dāng)?shù)夭惋嬊闆r,隨機抽取了100人對該地區(qū)的餐飲情況進行了問卷調(diào)查.請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖）解決下列問題.組別分組頻數(shù)頻率第1組140.14第2組m第3組360.36第4組0.16第5組4n合計(1)求m,n,y,x的值;(2)求中位數(shù);(3)若將滿意度在80分以上的人群稱為“美食客”,將頻率視為概率,用樣本估計總體,從該地區(qū)中隨機抽取3人,記其中“美食客”的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.8.校園師生安全重于泰山,越來越多的學(xué)校紛紛引進各類急救設(shè)備.某學(xué)校引進M,N兩種類型的自動體外除顫器（簡稱AED）若干,并組織全校師生學(xué)習(xí)AED的使用規(guī)則及方法.經(jīng)過短期的強化培訓(xùn),在單位時間內(nèi),選擇M,N兩種類型AED操作成功的概率分別為和,假設(shè)每次操作能否成功相互獨立.(1)現(xiàn)有某受訓(xùn)學(xué)生進行急救演練,假定他每次隨機等可能選擇M或N型AED進行操作,求他恰好在第二次操作成功的概率;(2)為激發(fā)師生學(xué)習(xí)并正確操作AED的熱情,學(xué)校選擇一名教師代表進行連續(xù)兩次設(shè)備操作展示,下面是兩種方案：方案甲：在第一次操作時,隨機等可能的選擇M或N型AED中的一種,若第一次對某類型AED操作成功,則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備;若第一次對某類型AED操作不成功,則第二次使用另一類型AED進行操作.方案乙：在第一次操作時,隨機等可能的選擇M或N型AED中的一種,無論第一次操作是否成功,第二次均使用第一次所選擇的設(shè)備.假定方案選擇及操作不相互影響,以成功操作累積次數(shù)的期望值為決策依據(jù),分析哪種方案更好？

答案以及解析1.答案：（1）了解程度與性別無關(guān)（2）X的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為解析：（1）補充表格如下：了解程度性別合計男性女性比較了解6060120不太了解202060合計80100180零假設(shè)為：了解程度與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即了解程度與性別無關(guān).（2）用分層抽樣在不太了解的60人中抽取12人，抽得女性8人，男性有4人.X的可能取值為0，2，4，6.則，，，.X的分布列為：X0246P.2.答案：（1）（2）解析：（1）根據(jù)題意門將每次撲中點球概率,X的可能取值為0,1,2,3,4,且,;;；所以X的概率分布為X01234數(shù)學(xué)期望.（2）（i）甲隊先踢點球,第三輪結(jié)束時甲隊踢進了3個球,并獲得冠軍,則乙隊沒有進球,所以甲隊獲得冠軍的概率為.（ii）點球在第7輪結(jié)束,且乙隊以獲勝,所以前5輪戰(zhàn)平,且第6輪戰(zhàn)平,第7輪乙隊勝甲隊當(dāng)前5輪兩隊為時,乙隊勝出的概率為當(dāng)前5輪兩隊為時,乙隊勝出的概率為,因為上述兩個事件互斥,所以乙隊勝出的概率為.3.答案：（1）可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)x之間的關(guān)系,8月10日到該專營店購物的人數(shù)約為109;（2）;（3）選擇方案二更劃算.解析:（1）由表中數(shù)據(jù)可得,,,,,所以,所以可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)x之間的關(guān)系.而,則,所以,令,可得.答:8月10日到該專營店購物的人數(shù)約為109.（2）因為,所以從第1天和第5天取的人數(shù)分別為3和4,從而3人取自不同天的種數(shù)為,所以概率.答:這3人取自不同天的概率為.（3）若選方案一,需付款元.若選方案二,設(shè)需付款X元,則X的取值可能為600,800,900,1000,則,,,,所以,因此選擇方案二更劃算.4.答案：（1）（2）見解析解析：（1）設(shè)恰好經(jīng)過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來為事件A,事件A分為兩種情況,一種是前三次檢驗中,其中兩次檢驗出抗體,第四次檢驗出抗體,二是前四次均無抗體,所以,所以恰好經(jīng)過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率為,（2）①由已知得,的所有可能取值為1,,所以,,所以,若,則,所以,,所以,得,所以P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式（且）②由①知,,若,則,所以,得,所以(且)令,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因為,,,所以不等式的解是且,所以且時,,采用方案二混合檢驗方式好,且時,,采用方案一逐份檢驗方式好,5.答案：（1）,,;有97.5%的把握認為球隊勝利與甲球員參賽有關(guān);（2）①;②;③乙球員擔(dān)當(dāng)中鋒.解析:（1）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得,,,,所以有97.5%的把握認為球隊勝利與甲球員參賽有關(guān).（2）①設(shè)表示“乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒”;表示“乙球員擔(dān)當(dāng)中鋒”;表示“乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)”;表示“乙球員擔(dān)當(dāng)守門員”;B表示“球隊贏得某場比賽”,,且,,,兩兩互斥,,,,,,,,,所以,所以當(dāng)他參加比賽時,球隊某場比賽贏球的概率是0.68;②乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率;③當(dāng)他參加比賽時,在球隊贏了某場比賽的條件下,由②知,乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率是;乙球員擔(dān)當(dāng)中鋒的概率是;乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)的概率;乙球員擔(dān)當(dāng)守門員的概率,顯然,為了擴大贏球面,乙球員應(yīng)擔(dān)當(dāng)中鋒.6.答案：（1）分布