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白鷺洲中學(xué)2024屆高三下學(xué)期最后一次模擬考試試卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.為研究語(yǔ)文成績(jī)和英語(yǔ)成績(jī)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,統(tǒng)計(jì)兩科成績(jī)得到如圖所示的散點(diǎn)圖(兩坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度相同),用回歸直線近似地刻畫其相關(guān)關(guān)系,根據(jù)圖形,以下結(jié)論最有可能成立的是()A.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng),b的值為1.25B.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng),b的值為0.83C.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng),b的值為-0.87D.線性相關(guān)關(guān)系太弱,無(wú)研究?jī)r(jià)值2.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1),則這個(gè)幾何體的體積是()A. B. C.16 D.323.已知為正項(xiàng)等比數(shù)列,是它的前項(xiàng)和,若,且與的等差中項(xiàng)為,則的值是()A.29 B.30 C.31 D.324.已知是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦,是原點(diǎn),則()A.-2 B.-4 C.3 D.-35.記個(gè)兩兩無(wú)交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間,設(shè)函數(shù),則不等式的解集為()A.2階區(qū)間 B.3階區(qū)間 C.4階區(qū)間 D.5階區(qū)間6.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.7.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,若點(diǎn)在角的終邊上,則()A. B. C. D.8.函數(shù)在上的大致圖象是()A. B.C. D.9.給出以下四個(gè)命題:①依次首尾相接的四條線段必共面;②過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角必相等;④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.310.已知函數(shù),以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()①當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為;②當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù);③若函數(shù)在上不單調(diào),則;④當(dāng)時(shí),在上的最大值為1.A.1 B.2 C.3 D.411.設(shè)則以線段為直徑的圓的方程是()A. B.C. D.12.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點(diǎn),則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知定義在的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則的解集為_(kāi)_________________.14.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為,、為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,若,且直線的斜率為,則__________,雙曲線的離心率為_(kāi)_________.15.已知向量,且,則___________.16.若變量x,y滿足:,且滿足,則參數(shù)t的取值范圍為_(kāi)______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知二階矩陣A=abcd,矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個(gè)特征向量為α118.(12分)已知函數(shù),若的解集為.(1)求的值;(2)若正實(shí)數(shù),,滿足,求證:.19.(12分)已知函數(shù),函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為0.(1)試用含有的式子表示,并討論的單調(diào)性;(2)對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn),,如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn),使得在點(diǎn)處的切線,則稱存在“跟隨切線”.特別地,當(dāng)時(shí),又稱存在“中值跟隨切線”.試問(wèn):函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值跟隨切線”,若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且長(zhǎng)度單位相同.(1)求圓的極坐標(biāo)方程;(2)若直線:(為參數(shù))被圓截得的弦長(zhǎng)為,求直線的傾斜角.21.(12分)某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個(gè)零件,質(zhì)檢員小張每天都會(huì)隨機(jī)地從中抽取50個(gè)零件進(jìn)行檢查是否合格,若較多零件不合格,則需對(duì)其余所有零件進(jìn)行檢查.根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn),這些零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布(單位:微米),且相互獨(dú)立.若零件的長(zhǎng)度滿足,則認(rèn)為該零件是合格的,否則該零件不合格.(1)假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為,求及的數(shù)學(xué)期望;(2)小張某天恰好從50個(gè)零件中檢查出2個(gè)不合格的零件,若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率.已知檢查一個(gè)零件的成本為10元,而每個(gè)不合格零件流入市場(chǎng)帶來(lái)的損失為260元.假設(shè)充分大,為了使損失盡量小,小張是否需要檢查其余所有零件,試說(shuō)明理由.附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)求在點(diǎn)處的切線方程;(Ⅱ)求證:在上存在唯一的極大值;(Ⅲ)直接寫出函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)散點(diǎn)圖呈現(xiàn)的特點(diǎn)可以看出,二者具有相關(guān)關(guān)系,且斜率小于1.【題目詳解】散點(diǎn)圖里變量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在一條直線附近,且比較密集,故可判斷語(yǔ)文成績(jī)和英語(yǔ)成績(jī)之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,且直線斜率小于1,故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查散點(diǎn)圖的理解,側(cè)重考查讀圖識(shí)圖能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).2、A【解題分析】幾何體為一個(gè)三棱錐,高為4,底面為一個(gè)等腰直角三角形,直角邊長(zhǎng)為4,所以體積是,選A.3、B【解題分析】

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q,運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì),求出公比,再由等比數(shù)列的求和公式,計(jì)算即可得到所求.【題目詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q,則a4=16q3,a7=16q6,a4與a7的等差中項(xiàng)為,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(負(fù)值舍去),則有S5===1.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用,同時(shí)考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.4、D【解題分析】

設(shè),,設(shè):,聯(lián)立方程得到,計(jì)算得到答案.【題目詳解】設(shè),,故.易知直線斜率不為,設(shè):,聯(lián)立方程,得到,故,故.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積,設(shè)直線為可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,是解題的關(guān)鍵.5、D【解題分析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù),先討論當(dāng)且時(shí)的導(dǎo)數(shù)情況,再畫出函數(shù)大致圖形,將所求區(qū)間端點(diǎn)值分別看作對(duì)應(yīng)常函數(shù),再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【題目詳解】當(dāng)且時(shí),.令得.可得和的變化情況如下表:令,則原不等式變?yōu)?,由圖像知的解集為,再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成,所以解集為5階區(qū)間.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查由函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性求解對(duì)應(yīng)自變量范圍,導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性,數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于難題6、B【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算,由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.【題目詳解】,,故選:B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計(jì)算,共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于容易題.7、D【解題分析】

由題知,又,代入計(jì)算可得.【題目詳解】由題知,又.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的定義,誘導(dǎo)公式,二倍角公式的應(yīng)用求值.8、D【解題分析】

討論的取值范圍,然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,則,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變小,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變大,可排除A、B;當(dāng)時(shí),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變大,當(dāng)時(shí),,故切線的斜率變小,可排除C,故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像,考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.9、B【解題分析】

用空間四邊形對(duì)①進(jìn)行判斷;根據(jù)公理2對(duì)②進(jìn)行判斷;根據(jù)空間角的定義對(duì)③進(jìn)行判斷;根據(jù)空間直線位置關(guān)系對(duì)④進(jìn)行判斷.【題目詳解】①中,空間四邊形的四條線段不共面,故①錯(cuò)誤.②中,由公理2知道,過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面,故②正確.③中,由空間角的定義知道,空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ),故③錯(cuò)誤.④中,空間中,垂直于同一直線的兩條直線可相交,可平行,可異面,故④錯(cuò)誤.故選:B【題目點(diǎn)撥】本小題考查空間點(diǎn),線,面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理,定理及其推論的理解和認(rèn)識(shí);考查空間想象能力,推理論證能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.10、C【解題分析】

逐一分析選項(xiàng),①根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心判斷;②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若滿足條件,則極值點(diǎn)必在區(qū)間;④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【題目詳解】①為奇函數(shù),其圖象的對(duì)稱中心為原點(diǎn),根據(jù)平移知識(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為,正確.②由題意知.因?yàn)楫?dāng)時(shí),,又,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù),正確.③由題意知,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上為增函數(shù),不合題意,故.令,解得.因?yàn)樵谏喜粏握{(diào),所以在上有解,需,解得,正確.④令,得.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,在上的最大值只可能為或.因?yàn)?,,所以最大值?4,結(jié)論錯(cuò)誤.故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值,意在考查基本的判斷方法,屬于基礎(chǔ)題型.11、A【解題分析】

計(jì)算的中點(diǎn)坐標(biāo)為,圓半徑為,得到圓方程.【題目詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為:,圓半徑為,圓方程為.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、C【解題分析】

由題可推斷出和都是直角三角形,設(shè)球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解【題目詳解】先畫出圖形,由球心到各點(diǎn)距離相等可得,,故是直角三角形,設(shè),則有,又,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時(shí),故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】

由已知得出函數(shù)是偶函數(shù),再得出函數(shù)的單調(diào)性,得出所解不等式的等價(jià)的不等式,可得解集.【題目詳解】因?yàn)槎x在的函數(shù)滿足,所以函數(shù)是偶函數(shù),又當(dāng)時(shí),,得時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以不等式等價(jià)于,即或,解得或,所以不等式的解集為:.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查抽象函數(shù)的不等式的求解,關(guān)鍵得出函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,屬于中檔題.14、【解題分析】

設(shè),,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得坐標(biāo),利用可得到點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程,結(jié)合直線斜率可求得,進(jìn)而求得;將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程,結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得,進(jìn)而得到離心率.【題目詳解】左焦點(diǎn)為,雙曲線的半焦距.設(shè),,,,,,即,,即,又直線斜率為,即,,,,在雙曲線上,,即,結(jié)合可解得:,,離心率.故答案為:;.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用問(wèn)題,涉及到直線截雙曲線所得線段長(zhǎng)度的求解、雙曲線離心率的求解問(wèn)題;關(guān)鍵是能夠通過(guò)設(shè)點(diǎn)的方式,結(jié)合直線斜率、垂直關(guān)系、點(diǎn)在雙曲線上來(lái)構(gòu)造方程組求得所需變量的值.15、【解題分析】

由向量平行的坐標(biāo)表示得出,求解即可得出答案.【題目詳解】因?yàn)?,所以,解?故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)變量x,y滿足:,畫出可行域,由,解得直線過(guò)定點(diǎn),直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與可行域有交點(diǎn)即可,再結(jié)合圖象利用斜率求解.【題目詳解】由變量x,y滿足:,畫出可行域如圖所示陰影部分,由,整理得,由,解得,所以直線過(guò)定點(diǎn),由,解得,由,解得,要使,則與可行域有交點(diǎn),當(dāng)時(shí),滿足條件,當(dāng)時(shí),直線得斜率應(yīng)該不小于AC,而不大于AB,即或,解得,且,綜上:參數(shù)t的取值范圍為.故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、A=【解題分析】

運(yùn)用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【題目詳解】由特征值、特征向量定義可知,Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2,b=3,c=2,d=1.因此矩陣【題目點(diǎn)撥】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣,只需運(yùn)用定義得出方程組即可求出結(jié)果,較為簡(jiǎn)單18、(1);(2)證明見(jiàn)詳解.【解題分析】

(1)將不等式的解集用表示出來(lái),結(jié)合題中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式證明.【題目詳解】解:(1),,,因?yàn)榈慕饧癁椋?,;?)由(1)由柯西不等式,當(dāng)且僅當(dāng),,,等號(hào)成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法,利用柯西不等式證明不等式的問(wèn)題,屬于中檔題.19、(1),單調(diào)性見(jiàn)解析;(2)不存在,理由見(jiàn)解析【解題分析】

(1)由題意得,即可得;求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)、、、分類討論,分別求出、的解集即可得解;(2)假設(shè)滿足條件的、存在,不妨設(shè),且,由題意得可得,令(),構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)后證明即可得解.【題目詳解】(1)由題可得函數(shù)的定義域?yàn)榍?,由,整理?.(?。┊?dāng)時(shí),易知,,時(shí).故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(ⅱ)當(dāng)時(shí),令,解得或,則①當(dāng),即時(shí),在上恒成立,則在上遞增.②當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在上單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.③當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在上單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),在及上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),在上遞增.當(dāng)時(shí),在及上單調(diào)遞增;在上遞減.(2)滿足條件的、不存在,理由如下:假設(shè)滿足條件的、存在,不妨設(shè),且,則,又,由題可知,整理可得:,令(),構(gòu)造函數(shù)().則,所以在上單調(diào)遞增,從而,所以方程無(wú)解,即無(wú)解.綜上,滿足條件的A、B不存在.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.20、(1);(2)或【解題分析】

(1)消去參數(shù)可得圓的直角坐標(biāo)方程,再根據(jù),,即可得極坐標(biāo)方程;(2)寫出直線的極坐標(biāo)方程為,代入圓的極坐標(biāo)方程,根據(jù)極坐標(biāo)的意義列出等式解出即可.【題目詳解】(1)圓:,消去參數(shù)得:,即:,∵,,.∴,.(2)∵直

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