河北省三河市第三中學2024屆高三5月摸底聯(lián)考數(shù)學試題

河北省三河市第三中學2024屆高三5月摸底聯(lián)考數(shù)學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．正項等差數(shù)列的前和為，已知，則=（）A．35 B．36 C．45 D．542．已知等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列中一定為0的是（）A． B． C． D．3．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A．的虛部為 B．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限C．的共軛復數(shù) D．4．若復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．5．設且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．6．如圖，圓錐底面半徑為，體積為，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，已知過與的平面與圓錐側面的交線是以為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離等于（）A． B．1 C． D．7．《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自內(nèi)切圓的概率是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知，，，，．若實數(shù)，滿足不等式組，則目標函數(shù)（）A．有最大值，無最小值 B．有最大值，有最小值C．無最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值10．已知復數(shù)滿足，且，則（）A．3 B． C． D．11．劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學家，他在《九章算術》中對勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也.合成弦方之冪，開方除之，即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，其中“正方形為朱方，正方形為青方”，則在五邊形內(nèi)隨機取一個點，此點取自朱方的概率為（）A． B． C． D．12．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若，則________.14．設向量，，且，則_________.15．如果拋物線上一點到準線的距離是6，那么______.16．已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值是__．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）唐詩是中國文學的瑰寶.為了研究計算機上唐詩分類工作中檢索關鍵字的選取，某研究人員將唐詩分成7大類別，并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機抽取了500篇，統(tǒng)計了每個類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù)，得到下表：愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160（1）根據(jù)上表判斷，若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機抽取一篇，則它屬于哪個類別的可能性最大，屬于哪個類別的可能性最小，并分別估計該唐詩屬于這兩個類別的概率；（2）已知檢索關鍵字的選取規(guī)則為：①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關系，則“某字”為“某類別”的關鍵字；②若“某字”被選為“某類別”關鍵字，則由其對應列聯(lián)表得到的的觀測值越大，排名就越靠前；設“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對應的觀測值分別為，，.已知，，請完成下面列聯(lián)表，并從上述三個字中選出“愛情婚姻”類別的關鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計附：，其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63518．（12分）如圖，三棱柱中，側面為菱形，.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.19．（12分）設函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關于x的方程有唯一的實數(shù)解，求a的取值范圍.20．（12分）在四棱錐中，是等邊三角形，點在棱上，平面平面．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值；（3）設直線與平面相交于點，若，求的值．21．（12分）（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2a2+y（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點A（1，0）的直線與橢圓C交于點M,N,設P為橢圓上一點，且OM+ON=t22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長為2的菱形，點E，F(xiàn)分別為棱DC，BC的中點，點G是棱SC靠近點C的四等分點.求證：（1）直線平面EFG；（2）直線平面SDB.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由等差數(shù)列通項公式得，求出，再利用等差數(shù)列前項和公式能求出.【題目詳解】正項等差數(shù)列的前項和，，，解得或（舍），，故選C.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的性質與求和公式，屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應用等差數(shù)列的性質（）與前項和的關系.2、A【解題分析】

將已知條件轉化為的形式，由此確定數(shù)列為的項.【題目詳解】由于等差數(shù)列中，所以，化簡得，所以為.故選：A【題目點撥】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計算，屬于基礎題.3、D【解題分析】

利用的周期性先將復數(shù)化簡為即可得到答案.【題目詳解】因為，，，所以的周期為4，故，故的虛部為2，A錯誤；在復平面內(nèi)對應的點為，在第二象限，B錯誤；的共軛復數(shù)為，C錯誤；，D正確.故選：D.【題目點撥】本題考查復數(shù)的四則運算，涉及到復數(shù)的虛部、共軛復數(shù)、復數(shù)的幾何意義、復數(shù)的模等知識，是一道基礎題.4、B【解題分析】

利用復數(shù)乘法運算化簡，由此求得.【題目詳解】依題意，所以.故選：B【題目點撥】本小題主要考查復數(shù)的乘法運算，考查復數(shù)模的計算，屬于基礎題.5、A【解題分析】項，由得到，則，故項正確；項，當時，該不等式不成立，故項錯誤；項，當，時，，即不等式不成立，故項錯誤；項，當，時，，即不等式不成立，故項錯誤．綜上所述，故選．6、D【解題分析】

建立平面直角坐標系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點的距離.【題目詳解】將拋物線放入坐標系，如圖所示，∵，，，∴，設拋物線，代入點，可得∴焦點為，即焦點為中點，設焦點為，，，∴.故選：D【題目點撥】本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質，兩點間的距離等基礎知識；考查運算求解能力，空間想象能力，推理論證能力，應用意識.7、C【解題分析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，即可求解.【題目詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為，所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選：C.【題目點撥】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應用直角三角形的性質，求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.8、C【解題分析】

由不等式恒成立問題分類討論：①當，②當，③當，考查方程的解的個數(shù)，綜合①②③得解．【題目詳解】①當時，，滿足題意，②當時，，，，，故不恒成立，③當時，設，，令，得，，得，下面考查方程的解的個數(shù)，設（a），則（a）由導數(shù)的應用可得：（a）在為減函數(shù)，在，為增函數(shù)，則（a），即有一解，又，均為增函數(shù)，所以存在1個使得成立，綜合①②③得：滿足條件的的個數(shù)是2個，故選：．【題目點撥】本題考查了不等式恒成立問題及利用導數(shù)研究函數(shù)的解得個數(shù)，重點考查了分類討論的數(shù)學思想方法，屬難度較大的題型.9、B【解題分析】

判斷直線與縱軸交點的位置，畫出可行解域，即可判斷出目標函數(shù)的最值情況.【題目詳解】由，，所以可得.，所以由，因此該直線在縱軸的截距為正，但是斜率有兩種可能，因此可行解域如下圖所示：由此可以判斷該目標函數(shù)一定有最大值和最小值.故選：B【題目點撥】本題考查了目標函數(shù)最值是否存在問題，考查了數(shù)形結合思想，考查了不等式的性質應用.10、C【解題分析】

設,則,利用和求得,即可.【題目詳解】設,則,因為,則,所以,又,即,所以,所以,故選:C【題目點撥】本題考查復數(shù)的乘法法則的應用,考查共軛復數(shù)的應用.11、C【解題分析】

首先明確這是一個幾何概型面積類型，然后求得總事件的面積和所研究事件的面積，代入概率公式求解.【題目詳解】因為正方形為朱方，其面積為9，五邊形的面積為，所以此點取自朱方的概率為.故選：C【題目點撥】本題主要考查了幾何概型的概率求法，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于基礎題.12、B【解題分析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負情況?！绢}目詳解】，故奇函數(shù)，四個圖像均符合。當時，，，排除C、D當時，，，排除A。故選B?！绢}目點撥】圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解題分析】

根據(jù)垂直得到，代入計算得到答案.【題目詳解】，則，解得，故，故.故答案為：.【題目點撥】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，向量模，意在考查學生的計算能力.14、【解題分析】

根據(jù)向量的數(shù)量積的計算，以及向量的平方，簡單計算，可得結果.【題目詳解】由題可知：且由所以故答案為：【題目點撥】本題考查向量的坐標計算，主要考查計算，屬基礎題.15、【解題分析】

先求出拋物線的準線方程，然后根據(jù)點到準線的距離為6，列出，直接求出結果.【題目詳解】拋物線的準線方程為，由題意得，解得.∵點在拋物線上，∴，∴，故答案為：.【題目點撥】本小題主要考查拋物線的定義，屬于基礎題.16、2【解題分析】

由題，得，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義，即可得到本題答案.【題目詳解】由題，得，又復數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故答案為：2【題目點撥】本題主要考查純虛數(shù)定義的應用，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大，屬于“其他”類別的可能性最??；屬于“山水田園”類別的概率約為；屬于“其他”類別的概率約為（2）填表見解析；選擇“花”，“簾”作為“愛情婚姻”類別的關鍵字，且排序為“花”，“簾”【解題分析】

（1）根據(jù)統(tǒng)計圖表算出頻率，比較大小即可判斷；（2）根據(jù)統(tǒng)計圖表完成列聯(lián)表，算出觀測值，查表判斷.【題目詳解】（1）由上表可知，該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大，屬于“其他”類別的可能性最小屬于“山水田園”類別的概率約為；屬于“其他”類別的概率約為；（2）列聯(lián)表如下：屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類共計含“花”的篇數(shù)60100160不含“花”的篇數(shù)40300340共計100400500計算得：；因為，，所以有超過95%的把握判斷“花”字和“簾”字均與“愛情婚姻”有關系，故“花”和“簾”是“愛情婚姻”的關鍵字，而“山”不是；又因為，故選擇“花”，“簾”作為“愛情婚姻”類別的關鍵字，且排序為“花”，“簾”.【題目點撥】本題主要考查統(tǒng)計圖表、頻率與概率的關系、用樣本估計總體、獨立性檢驗等知識點.考查了學生對統(tǒng)計圖表的識讀與計算能力，考查了學生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).18、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）根據(jù)菱形性質可知，結合可得，進而可證明，即，即可由線面垂直的判定定理證明平面；（2）結合（1）可證明兩兩互相垂直.即以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：設，連接，如下圖所示：∵側面為菱形，∴，且為及的中點，又，則為直角三角形，，又，，即，而為平面內(nèi)的兩條相交直線，平面.(2)平面，平面，，即，從而兩兩互相垂直.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長度，建立如圖的空間直角坐標系，為等邊三角形，，，，設平面的法向量為，則，即，∴可取，設平面的法向量為，則.同理可取，由圖示可知二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查了線面垂直的判定方法，利用空間向量方法求二面角夾角的余弦值，注意建系時先證明三條兩兩垂直的直線，屬于中檔題.19、（1）當時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2）或.【解題分析】

（1）求出，對分類討論，先考慮（或）恒成立的范圍，并以此作為的分類標準，若不恒成立，求解，即可得出結論；（2）有解，即，令，轉化求函數(shù)只有一個實數(shù)解，根據(jù)（1）中的結論，即可求解.【題目詳解】（1），當時，恒成立，當時，，綜上，當時，遞增區(qū)間時，無遞減區(qū)間，當時，遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；（2），令，原方程只有一個解，只需只有一個解，即求只有一個零點時，的取值范圍，由（1）得當時，在單調(diào)遞增，且，函數(shù)只有一個零點，原方程只有一個解，當時，由（1）得在出取得極小值，也是最小值，當時，，此時函數(shù)只有一個零點，原方程只有一個解，當且遞增區(qū)間時，遞減區(qū)間時；，當，有兩個零點，即原方程有兩個解，不合題意，所以的取值范圍是或.【題目點撥】本題考查導數(shù)的綜合應用，涉及到單調(diào)性、零點、極值最值，考查分類討論和等價轉化思想，屬于中檔題.20、（1）證明見解析（2）（3）【解題分析】

（1）取中點為,連接,由等邊三角形性質可得,再由面面垂直的性質可得,根據(jù)平行直線的性質可得,進而求證；（2）以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,由點在棱上,可設,即可得到,再求得平面的法向量,進而利用數(shù)量積求解；（3）設,,則,求得,,即可求得點的坐標,再由與平面的法向量垂直,進而求解.【題目詳解】（1）證明:取中點為,連接,因為是等邊三角形,所以,因為且相交于,所以平面,所以,因為,所以,因為,在平面內(nèi),所以,所以.（2）以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設,則,,,,因為在棱上,可設,所以,設平面的法向量為,因為,所以,即,令,可得,即,設直線與平面所成角為,所以,可知當時,取最大值.（3）設,則有,得,設,那么,所以,所以.因為,,所以.又因為,所以,,設平面的法向量為,則,即,,可得,即因為在平面內(nèi),所以,所以,所以,即,所以或者（舍）,即.【題目點撥】本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角,考查運算能力與空間想象能力.21、（1）x24+【解題分析】試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何