【數(shù)學(xué)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(第2課時)課件-2023-2024學(xué)年高二上人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式復(fù)習(xí)回顧1、等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式：2、求數(shù)列前n項(xiàng)和的一種方法：“倒序相加”法隨堂練習(xí)1、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n，第k項(xiàng)滿足5<ak<8，則k=()A、9B、8C、7D、6B2、在等差數(shù)列{an}中，已知公差

，且a1+a3+a5+…+a99=60，a2+a4+a6+…+a100=()A、85B、145C、110D、90A3、等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，已知am-1+am+1-am2=0，S2m-1=38，則m=_____.10例題解析1、某校新建一個報告廳，要求容納800個座位，報告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多兩個座位.問第1排應(yīng)安排多少個座位？解：設(shè)報告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成等差數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn.由題意知，數(shù)列{an}是一個公差為2的等差數(shù)列，且S20=800可得a1=21因此，第1排應(yīng)安排21個座位例題解析2、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為

，求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？當(dāng)n=1時也滿足①式.an-an-1=2隨堂練習(xí)4、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為

，求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.當(dāng)n=1時不滿足①式.探究新知探究：如果一個數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=pn2+qn+r，其中p、q、r為常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差是什么？(1)若r=0，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.an=2pn+(q-p)(2)若r≠0，則這個數(shù)列一定不是等差數(shù)列.探究新知則有Sn=An2+Bn(A，B為常數(shù))等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征：當(dāng)A≠0(即d≠0)時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)式，即Sn=An2+Bn的圖象是拋物線y=Ax2+Bx上的一群孤立的點(diǎn)當(dāng)d=0時，{an}是一個常數(shù)列，Sn=na1當(dāng)d≠0時，Sn是一個常數(shù)項(xiàng)為零的關(guān)于n的二次型函數(shù)

即任何一個等差數(shù)列前n項(xiàng)的和都可以寫成Sn=An2+Bn(A，B為常數(shù))的形式(過原點(diǎn))例題解析3、已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=10，公差d=-2，則Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值n時的值；若不存在，請說明理由.=-n2+11n解：由題意知，a1=10，d=-2，Sn關(guān)于n的圖象是一條開口向下的拋物線上的一些點(diǎn).所以，當(dāng)n=5或6時，Sn最大，最大值為30函數(shù)思想例題解析3、已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=10，公差d=-2，則Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值n時的值；若不存在，請說明理由.又由an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12，可知：另解：由d=an+1-an=-2<0，得an+1<an，當(dāng)n<6時，an>0；所以{an}是遞減數(shù)列當(dāng)n=6時，an=0；當(dāng)n>6時，an<0；所以，S1<S2<…<S5=S6>S7>…即當(dāng)n=5或6時，Sn最大.所以Sn的最大值為30從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式出發(fā)來分析歸納提升(1)利用an：當(dāng)a1＞0，d＜0，數(shù)列前面有若干項(xiàng)為正，此時所有正項(xiàng)的和為Sn的最大值

可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值；當(dāng)a1＜0，d＞0，數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù)，此時所有負(fù)項(xiàng)的和為Sn的最小值

可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題有兩種常用的方法：(2)利用Sn：由

利用二次函數(shù)配方法求得最值時n的值.隨堂練習(xí)5、已知等差數(shù)列{an}中，a1=13且S3=S11，求n取何值時，Sn取最大值故當(dāng)n＝7時，Sn取最大值49.解：(法一)設(shè)公差為d.由S3＝S11得=-n2+14n=-(n-7)2+49配方法隨堂練習(xí)5、已知等差數(shù)列{an}中，a1=13且S3=S11，求n取何值時，Sn取最大值解：(法二)設(shè)公差為d.由S3＝S11得對稱軸法∵a1=13>0，d<0，則Sn的圖象如圖所示所以圖象的對稱軸為7n113Sn故當(dāng)n＝7時，Sn取最大值49.隨堂練習(xí)5、已知等差數(shù)列{an}中，a1=13且S3=S11，求n取何值時，Sn取最大值解：(法三)設(shè)公差為d.由S3＝S11得故當(dāng)n＝7時，Sn取最大值49.∴a7+a8=0又由S3＝S11得，a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0，a1=13>0∴a7>0，a8<0隨堂練習(xí)6、等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1＞0，S3＝S11，則當(dāng)n為多少時，Sn最大？故當(dāng)n＝7時，Sn最大.解：(法一)設(shè)公差為d.由S3＝S11，因?yàn)閍1＞0，配方法隨堂練習(xí)6、等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1＞0，S3＝S11，則當(dāng)n為多少時，Sn最大？故當(dāng)n＝7時，Sn最大.解：(法二)設(shè)公差為d.由S3＝S11，因?yàn)閍1＞0，對稱軸法所以Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，由S3＝S11得，所以Sn的圖象關(guān)于

對稱軸隨堂練習(xí)6、等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1＞0，S3＝S11，則當(dāng)n為多少時，Sn最大？故當(dāng)n＝7時，Sn最大.解：(法三)設(shè)公差為d.由S3＝S11，解得6.5≤n≤7.5要使Sn最大，則有隨堂練習(xí)6、等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1＞0，S3＝S11，則當(dāng)n為多少時，Sn最大？解：(法四)設(shè)公差為d.由S3＝S11，又由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以當(dāng)n＝7時，Sn最大.隨堂練習(xí)7、已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=50，d=-6.(1)從第幾項(xiàng)開始有an<0?(2)求此數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值.解：(1)依題意得，an=50+(n-1)×(-6)=-6n+56∴當(dāng)n=9時，Sn有最大值為令an<0，即-6n+56<0，∴從第10項(xiàng)開始有an<0(2)由(1)知，當(dāng)1≤n≤9時，an>0，當(dāng)n≥10時，an<0隨堂練習(xí)8、在遞減的等差數(shù)列{an}中，若a1+a100=0，則其前n項(xiàng)和取得最大值的n的值為______.50隨堂練習(xí)9、設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=12，S12>0，S