2022年上海交大附中高考數(shù)學二模試卷

2022年上海交大附中高考數(shù)學二模試卷

試題數(shù)：21,總分：0

1.（填空題，。分）已知集合八={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,xeA},則AnB=_.

2.（填空題，0分）將循環(huán)小數(shù)0.63化為最簡分數(shù)為

3.（填空題，0分）等差數(shù)列{a?的前9項和為18,第9項為18,則{aj的通項公式為一.

4.（填空題，0分）已知單位向量五，B的夾角為。，若。6畏外，則忖+引的取值范圍

是_.

5.（填空題，0分）二項展開式卜￡）6的常數(shù)項的值為一.

6.（填空題，0分）設函數(shù)y=cos（3x+9的圖像與y=21，的圖像交點的橫坐標從小到大依

次記為X1，X2,X3，…，則〃TH|Xn+l?Xn|=—.

n->oo

7.（填空題，0分）圓C的圓心C在拋物線y2=2x上，且圓C與y軸相切于點A,與x軸相

交于P、Q兩點，若小?瓦？=9（。為坐標原點），則|PQ|=_.

8.（填空題，0分）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為

n

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

9.（填空題，。分）已知直線1：y=2x-10與雙曲線《一，=l（a>0,b>0）的一條漸近線平

行，且經(jīng)過雙曲線的一個焦點，則雙曲線的標準方程為

10.（填空題，0分）如圖，一個正方體雕塑放置在水平基座上，其中一個頂點恰好在基座上,

與之相鄰的三個頂點與水平基座的距離分別是2,3,4,則正方體的8個頂點中與水平基座距

離的最大值為

11.（填空題，0分）若函數(shù)f（x）=loga（x3-ax）（a>0,aHl）在區(qū)間（一，0）內(nèi)單調(diào)遞

增,則實數(shù)a的取值范圍是

12.（填空題，0分）如圖，畫一個正三角形，不畫第三邊；接著畫正方形，對這個正方形，

不畫第四邊，接著畫正五邊形；對這個正五邊形不畫第五邊，接著畫正六邊形；......，這樣無

限畫下去，形成一條無窮伸展的等邊折線.設第n條線段與第n+1條線段所夾的角為

9n（neN*,G（0,兀）），則02022=—.

13.（單選題，0分）設｛加｝是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則"q<0"是"對任意的正整數(shù)

n,a2n-l+a2n<0"的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

101

14.（單選題，0分）以下向量中，能成為以行列式形式表示的直線方程%21=0的一個

y31

法向量的是（）

A.元=（—3,—2）

B.n=（2,3）

C.n=（-2,3）

D.n=（-3,2）

15.（單選題，0分）下面是關于三棱錐的四個命題，其中真命題的編號是（）

①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐；

②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；

③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐；

?側(cè)棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐.

A.①②

B.①④

C.②③

D.①③

16.（單選題，。分）對于直角坐標平面內(nèi)的任意兩點A（xi,%）,B（X2,y2），定義它們

之間的一種"距離":||AB||=|x2-xi|+|y2-yi|.給出下列三個命題：

①若點C在線段AB上，則||AC||+||CB||=||AB||；

②在AABC中，若ZC=9O。，則||AC||2+||CB||2=||AB||2；

③在"BC中，+

其中真命題的個數(shù)為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

17.（問答題，0分）如圖，正方形ABCD的邊長為2,E,F分別是邊AB及BC的中點，將

△AED,ABEF及ADCF折起，使A、C、B點重合于A1點.

（1）求三棱錐AiEFD的體積；

（2）求AiD與平面DEF所成角的正切值.

18.（問答題，0分）已知虛數(shù)z=a+icos9,其中a,8eR,i為虛數(shù)單位.

①若對任意OCR,均有|z+2-i|W3,求實數(shù)a的取值范圍；

②若z,Z?恰好是某實系數(shù)一元二次方程的兩個解，求a,。的值.

19.（問答題，。分）"跳臺滑雪"是冬奧會中的一個比賽項目，俗稱“勇敢者的游戲"，觀賞性和

挑戰(zhàn)性極強.如圖：一個運動員從起滑門點A出發(fā)，沿著助滑道曲線/（%）=

7b2—%2（-bwXw0）滑到臺端點B起跳，然后在空中沿拋物線g（x）=ax2-20ax-b（x>0）

飛行一段時間后在點C著陸，線段BC的長度稱作運動員的飛行距離，計入最終成績.已知g

（x）=ax2-20ax-b在區(qū)間［0,30］上的最大值為-30,最小值為-70.

（1）求實數(shù)a,b的值及助滑道曲線AB的長度.

（2）若運動員某次比賽中著陸點C與起滑門點A的高度差為120米，求他的飛行距離（精

確到米）.

20.（問答題，0分）數(shù)列｛an｝滿足條件：若存在正整數(shù)k和常數(shù)q0｛O,1｝,使得an+k=qan對

任意n€N*恒成立，則稱數(shù)列｛a,J具有性質(zhì)P（k,q）,也稱為類周期k數(shù)列.

（1）判斷數(shù)列an=s加售+9是否具有性質(zhì)P（k,q）并說明理由；

（2）數(shù)列面｝具有性質(zhì)P（3,2），且ai=l,前4項成等差，求⑶｝的前100項和；

（3）若數(shù)列｛an｝既是類周期2數(shù)列，也是類周期3數(shù)列，求證：｛a0｝為等比數(shù)列.

21.（問答題，0分）設橢圓言+y2=i（a>l）的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2.直線1若與

橢圓「只有一個公共點P,則稱直線1為橢圓「的切線，P為切點.

（1）若直線1：y=x+2與橢圓相切，求橢圓的焦距|FIF2|；

（2）求證：橢圓r上切點為P（xo,y0）的切線方程為登+yy（）=1；

(3)記Fi到直線1的距離為ch，F(xiàn)2到直線1的距離為cb，判斷"did2=l"是"直線1與橢圓r

相切”的什么條件？請給出你的結(jié)論和理由.

2022年上海交大附中高考數(shù)學二模試卷

參考答案與試題解析

試題數(shù)：21,總分：0

1.（填空題,0分）已知集合人={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,xGA},則AnB=_.

【正確答案】：口]{1,4}

【解析】：把A中元素代入y=3x-2中計算求出v的值，確定出B,找出A與B的交集即可.

【解答】：解：把x=l,2,3,4分別代入y=3x-2得：y=l,4,7,10,即B={1,4,7,

10）,

?.-A={1,2,3,4},

；.AnB={l,4},

故答案為：{1,4）,

【點評】：此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵.

2.（填空題，0分）將循環(huán)小數(shù)0.63化為最簡分數(shù)為

【正確答案】:[1]^

【解析】：設x=0.63,則100x=63.63,據(jù)此可得關于x的一元一次方程，解之即可.

【解答】：解:設x=0.63,則100x=63.63,

又63.63=63+0.63,所以100x=63+x,解得％=||=看，

所以循環(huán)小數(shù)0.63化為最簡分數(shù)為A.

11

故答案為：--.

11

【點評】：本題考查了排序問題與算法，屬于基礎題.

3.（填空題，0分）等差數(shù)列{aj的前9項和為18,第9項為18,則{a?的通項公式為_.

【正確答案】：[l]an=4n-18

1+〒叫解之即可.

%+8d=18

【解答】：解：設等差數(shù)列｛an｝的公差為d,則18,解得｛)二「14，

故an=?14+4(n-1)=4n-18,

故答案為：an=4n-18.

【點評】：本題考查等差數(shù)列的通項公式及其應用，考查方程思想與運算求解能力，屬于基礎

題.

4.(填空題，0分)已知單位向量d,3的夾角為e,若4，則忖+同的取值范圍

是_.

【正確答案】：V3]

【解析】：由已知利用口+山2=(日+32,展開后代入數(shù)量積公式，結(jié)合06格，,，即

可求得怔+同的取值范圍.

222

【解答】：解：由題意,\a\=|6|=1,A\d+b\=d+2d?b+b

=14-2cos0+l=24-2cos0.

V0e[p?，.-.cos0e[O,1],則2+2cos0e[2,3],

|d+同的取值范圍是[VLV3].

故答案為：[應，V3].

【點評】：本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查向量模的求法，是基礎題.

5.(填空題，0分)二項展開式9工—習6的常數(shù)項的值為一.

【正確答案】：[1]-160

【解析】：先求出二項展開式的通項公式「+1,然后由6-2r=0,求出r,再求出常數(shù)項的值.

【解答】：解：???(2%-￡)6的二項展開式的通項公式為「+1=%?(2x)6-r(_§y=C/?26-r

(-1)

令6-2r=0,求得r=3,

則展開式的常數(shù)項等于霏23(-1)3=160,

故答案為：-160.

【點評】：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，屬于基礎題.

6.（填空題，0分）設函數(shù)y=cos（3%+9的圖像與y=2i”的圖像交點的橫坐標從小到大依

次記為xi，X2,X3,...，則Um|Xn+l*Xn|=___.

n->co

【正確答案】：

【解析】：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得當XT+8時，y=2i，T0,則當XT+8時，函數(shù)y=cos

（3x+：）的圖象與y=2i*的圖象交點可以后出函數(shù)y=cos（3x+=）的圖象與x軸的交點，

則〃加|今+1-今|表示函數(shù)cos（3x4-2）的圖象與x軸相鄰的兩個交點之間的距離，由此能

n-?oo4

求出結(jié)果.

【解答】：解：函數(shù)y=y=2「x為減函數(shù)，則當x—+8時，y=21一0,

則當x->+8時，函數(shù)y=cos（3x+g）的圖象與y=21-x的圖象交點

可以看作函數(shù)y=cos（3x+：）的圖象與x軸的交點，

?.?函數(shù)y=cos（3x+W）的圖象與x軸相鄰的兩個交點之間的距離為（=

7T

???Um|Xn+l-Xn|=-.

n—83

故答案為：.

【點評】：本題考查極限的求法，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎知識,

考查運算求解能力，是基礎題.

7.（填空題，0分）圓C的圓心C在拋物線y2=2x上，且圓C與y軸相切于點A,與x軸相

交于P、Q兩點，若爐?耐=9（0為坐標原點），則|PQ|=__.

【正確答案】：[1]3V5

【解析】：不妨設C（a,b）在第一象限，則A（0,b）,圓C的方程為（x-a）2+（y-b）

』a2（a>0）,依題意，可求得a與b的值，再利用直線被圓所截得的弦長公式可求得答案.

【解答】：解：圓C的圓心C在拋物線y2=2x上，且圓C與y軸相切于點A,

不妨設C(a,b)在第一象限，則A(0,b),圓C的方程為(x-a)24-(y-b)』a2(a>0),

又浙?07=|65|?|OC|cos<。？，OA>=OA2=b2=9,

.?-2a=b2=9,

.?.a=g,b=3,即C《，3）,圓C的方程為（x—??+（y-3）』號,

設點C在x軸上的射影為D,則|CD|=3,

.?.圓C被x軸截得的弦長|PQ|=2J+9=3遍.

故答案為：3傷.

【點評】：本題考查了圓的標準方程的求解與應用，考查直線與圓位置關系、圓中弦長公式以

及平面向量的數(shù)量積的應用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

8.（填空題，。分）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為

俯視圖

【正確答案】：[l]28u

【解析】：由題意可知，該幾何體是由圓柱與圓錐組合而成，其表面積等于圓柱+圓錐在減去

重疊或者多余的部分.

【解答】：解：由題意可知，該幾何體是由圓柱與圓錐組合而成：其表面積等于圓錐側(cè)面積+

圓柱側(cè)面+圓柱底面積.

圓錐S網(wǎng)=71x1=811,圓柱側(cè)面+圓柱底面積=4x2Tn'+nr2=16n+4Ti=20Ti,

該幾何體的表面積為287r.

故答案為28n.

【點評】：本題考查了組合體的表面積的求法.組合體的表面積在計算時注意要減去重疊的部

分.屬于基礎題.

9.(填空題，0分)已知直線1：y=2x-10與雙曲線|1一5=1(。>0,b>0)的一條漸近線平

行，且經(jīng)過雙曲線的一個焦點，則雙曲線的標準方程為

22

【正確答案】：

【解析】：由題意可得關于a,b,c的方程組，求解a與b的值，則答案可求.

丫2y.2八

【解答】：解：雙曲線器一力=l(a>0,b>0)的漸近線方程為丫=±疑，

由y=2x-10,取y=0,得x=5,

???直線1：y=2x-10與雙曲線/一3=l(a>0,b>0)的一條漸近線平行，且經(jīng)過雙曲線的一

個I隹八、、占八、、,

f-=2fa=V522

.??形=5，解得b=2通，二雙曲線的標準方程為卷一言=「

(a2+b2=c2(c=5

故答案為：

【點評】：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線標準方程的求法，考查運算求解能力，是

中檔題.

10.(填空題，0分)如圖，一個正方體雕塑放置在水平基座上，其中一個頂點恰好在基座上,

與之相鄰的三個頂點與水平基座的距離分別是2,3,4,則正方體的8個頂點中與水平基座距

離的最大值為

【正確答案】：［1］9

【解析】：由題意畫出圖形，不妨設B、D、Ai到水平基座的距離分別是2,3,4,分別利用

中點坐標公式求得其它點到水平基座的距離得答案.

不妨設B、D、Ai到水平基座的距離分別是2,3,4,

則DA】的中點到水平基座的距離為：，可得AD】的中點到水平基座的距離為：，

???Di到水平基座的距離為7；

同理求得C到水平基座的距離為5；Bi到水平基座的距離為6；Ci到水平基座的距離為9.

即正方體的8個頂點中與水平基座距離的最大值為9.

故答案為：9.

【點評】：本題考查空間中點、線、面間的距離計算，考查中點坐標公式的應用，是中檔題.

11.(填空題，0分)若函數(shù)f(x)=loga(x3-ax)(a>0,a*l)在區(qū)間(一卜0)內(nèi)單調(diào)遞

增，則實數(shù)a的取值范圍是

【正確答案】：［1］弓，1)

【解析】：將函數(shù)看作是復合函數(shù)，令g(x)=x3-ax,且g(x)>0,得x€(-VH,0)U

(VH,+8),因為函數(shù)是高次函數(shù)，所以用導數(shù)來判斷其單調(diào)性，再由復合函數(shù)“同增異減"

求得結(jié)果.

【解答】：解：令g(x)=x3-ax,則g(x)>0.得到x€(-Va,0)U(Va,+oo),

由于g'(x)=3x2-a,故xW(?J1,0)時，g(x)單調(diào)遞減，

xG(-仿，-J|)或x€(4a,4-00)時，g(x)單調(diào)遞增.

???當a>l時，函數(shù)f(x)減區(qū)間為(-J|,0),不合題意，

當0<a<l時，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-Jf,0).

**?(--,0)u(-他，0),?**--口，.，.a之三.

2N32[34

綜上，aE[,1).

故答案為：,1).

【點評】：本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)論是同增異減，解題時一定要注意定義域，屬

于中檔題.

12.(填空題，0分)如圖，畫一個正三角形，不畫第三邊；接著畫正方形，對這個正方形，

不畫第四邊，接著畫正五邊形；對這個正五邊形不畫第五邊，接著畫正六邊形；.?????，這樣無

限畫下去，形成一條無窮伸展的等邊折線.設第n條線段與第n+1條線段所夾的角為

6n(n&N*,3ne(0,7i)),則82022=—.

【正確答案】：[1]174.46。

【解析】：根據(jù)正三角形、正方形、正五邊形的角的度數(shù)規(guī)律，類比出n多邊形n-1個角的

度數(shù)表達式，再計算出2022條線段所在的正多

邊形的邊數(shù)，進一步求出夾角.

【解答】：解：第一條線段與第二條線段所夾的角01=60°,由此類推，02=90°,仇=90。,

04=108°,05=108°,06=108°,07=120°,08=120°,仇=120°,0io=12O°,......

觀察規(guī)律，三角形會有1個相等的角，并且角的度數(shù)恰好是其內(nèi)角的度數(shù)，

正方形有2個90。，正五邊形有3個108。，正六邊形有4個120。，.....

n多邊形有n-2個,

n

又觀察圖形得：正三角形畫2條線段，正方形畫2條線段，正五邊形畫3條線段，正六邊形

畫4條線段.....正n邊形畫n-2條線段；

???畫到正n多邊形時，畫線段的條數(shù)為m=2+2+3+4+......+（n-2）=2+若2,

當n=65時，m=2017；當n=66時.，m=2081

第2022條線段應在正65邊形中，??.Eozzu吟譽=174.46。，

65

故答案為:174.46°.

【點評】：本題以實際問題為載體，考查數(shù)列模型的構(gòu)建，屬于中檔題.

13.（單選題，0分）設｛加｝是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則"q<0”是"對任意的正整數(shù)

n,a2n-l+a2n<0"的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【正確答案】：B

【解析】：先化簡命題，在判斷單調(diào)性.

【解答】：解：a2n-i+a2n<0,則ciiq2n-2+=a]q2n-2（i+q）〈0,

vai>0,

.*.l+q<0,

?-.q<0為q<-l的必要而不充分條件，

是"對任意的正整數(shù)n,azz+a2n<0"的必要而不充分條件.

故選：B.

【點評】：本題考查充要性，數(shù)列，屬于基礎題.

101

14.（單選題，0分）以下向量中，能成為以行列式形式表示的直線方程%21=0的一個

y31

法向量的是（）

A.n—（一3,—2）

B.n=（2,3）

C.n=（-2,3）

D.n=（-3,2）

【正確答案】：A

【解析】：根據(jù)行列式運算法則得到3x-2y-l=0,再計算直線法向量即可.

101

【解答】：解：x21=2+0+3x-2y-0-3=3x-2y-l=0,故3x-2y-l=0,

y31

故直線的法向量為元=（3,-2）,

故選：A.

【點評】：本題考查了行列式的計算以及直線方程的法向量，屬于基礎題.

15.（單選題，0分）下面是關于三棱錐的四個命題，其中真命題的編號是（）

①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐；

②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；

③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐；

④側(cè)棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐.

A.①②

B.①④

C.②③

D.①③

【正確答案】：B

【解析】：根據(jù)正三棱錐的定義，結(jié)合二面角判斷①的正誤；舉例說明②③錯誤，由線面

角與二面角的定義判斷④.

【解答】：解：①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等，

可得底面中心等于是棱錐頂點在底面的射影，故①正確；

②三條側(cè)棱中僅有一條不與底面邊長相等，側(cè)面都是等腰三角形，三棱錐不是正三棱錐，故

②錯誤；

③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等，說明頂點到底面三邊的距離（斜高）相等，

根據(jù)射影長的關系，可以得到頂點在底面的射影（垂足）到底面三邊所在直線的距離也相等，

由于在底面所在的平面內(nèi)，到底面三邊所在直線的距離相等的點有4個：

內(nèi)心（本題的中心）1個、旁心3個，因此不能保證三棱錐是正三棱錐，故③錯誤；

④側(cè)棱與底面所成的角相等，可得頂點在底面的射影為底面的外心，

又側(cè)面與底面所成的二面角都相等，得頂點在底面的射影為底面的內(nèi)心，

則底面為等邊三角形，進一步可得三棱錐是正三棱錐，故④正確.

故選：B.

【點評】：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查邏輯思維能力及推理論證能力，是基礎題.

16.（單選題，0分）對于直角坐標平面內(nèi)的任意兩點A（xi,力），B（X2,y2），定義它們

之間的一種"距離":||AB||=|x2-xi|+|y2-yi|.給出下列三個命題：

①若點C在線段AB上，則||AC||+||CB||=||AB||；

②在AABC中，若4c=90。,則||AC||2+||CB||2=||AB||2；

③在"BC中，+

其中真命題的個數(shù)為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

【正確答案】：B

【解析】：首先分析題目任意兩點A（xi，%）,B（X2,y2）,定義它們之間的一種"距離”：

||AB||=|x2-xi|+|y2-yi|）

對于①若點C在線段AB上,設C點坐標為（xo,yo）然后代入驗證顯然|AC||+||CB||=||AB||

成立.成立故正確.

對于②在AABC中,若a=90。，則||AC||2+||CB||2=||AB||2；是幾何距離而非題目定義的距離,

明顯不成立，

對于③在AABC中，用坐標表示|公川+|兀8||然后根據(jù)絕對值不等式可得到大于等于

||AB||.不成立，故可得到答案.

【解答】：解：對于直角坐標平面內(nèi)的任意兩點A（xi，%）,B（X2,y2）,定義它們之間的

一種“距離"：||AB||=|x2-xi|+|y2-yi|.

對于①若點C在線段AB上，設C點坐標為（xo.yo），xo在xi、X2之間，yo在yi、y2之間,

!U!j||AC||+||CB||=|xo-xi|4-|yo-yi|+|x2-xo|+|y2-yo|=|x2-xi|4-|y2-yi|=||AB||.成立故正確.

對于②在AABC中，若4c=90。，則||AC||2+||CB||2=||AB||2；是幾何距離而非題目定義的距離,

明顯不成立，

對于③在AABC中，||AC||+||CB||=|xo-Xi|+|yo-yi|+|x2-Xo|+|y2-yo|N|（xo-xi）4-（x2-x0）|+|

<yo-yi）+（yz-yo）I=Ix2-xi|+|y2-yi|=11AB11.③不正確.

二命題①成立，

故選：B.

【點評】：此題主要考查新定義的問題，對于此類型的題目需要認真分析題目的定義再求解,

切記不可脫離題目要求.屬于中檔題目.

17.(問答題，0分)如圖，正方形ABCD的邊長為2,E,F分別是邊AB及BC的中點，將

△AED,ABEF及ziDCF折起，使A、C、B點重合于Ai點.

(1)求三棱錐AiEFD的體積；

(2)求AiD與平面DEF所成角的正切值.

【正確答案】：

【解析】：(1)由已知證明AiDl平面AiEF,然后利用等體積法求多面體AiEFD的體積；

(2)取EF的中點M,連結(jié)AiM,DM,即可證明平面A】MDJ_平面EFD,再說明A】D與平面

DEF所成角為/ARM,再利用銳角三角函數(shù)計算可得.

【解答】：解：(1)由條件可知AiE_LAiD,A1FIA1D,且AiEnAF=Ai，AiE,AiFu平面

AiEF,

.??AD_L平面AiEF,

???△AiEF是等腰直角三角形，：.S&M、EF=|xlxl=i,

=X

?*,VAJ-EFD=^D-A1EF3^AA1EFX&。=-X-X2=-；

(2)取EF的中點M,連結(jié)AiM,DM,

A\

vAiE=AiF,，AiM_LEF,

同理，DMJ_EF,且AiMnEF=M,AiM,EFu平面AiMD,

??.EF_L平面AiMD,

又EFu平面AiMD,

???平面AiMDJ"平面EFD,且平面AiMDCI平面EFD=MD,

??.AiD與平面DEF所成角為NAiDM,

???AiD_L平面AiEF,AiMu平面AiEF,

*'?AiD-LAiM，

=2=今DM=加2一（*了=J（伺2一倒=乎,

2

???sinZ.A^M=1,所以cosZ-A^DM=y/1—sinZ-A1DM=誓,

sinz.A1DM_3_x^2

所以tan/.A1DM=

cos/-A1DM2^4

"T"

所以AD與平面DEF所成角的正切值為今

【點評】：本題考查了三棱錐的體積和線面角的計算，屬于中檔題.

18.（問答題，0分）已知虛數(shù)2=2+年0$0,其中a,OCR,i為虛數(shù)單位.

①若對任意OCR,均有憶+2-i|W3,求實數(shù)a的取值范圍；

②若z,z2恰好是某實系數(shù)一元二次方程的兩個解，求a,0的值.

【正確答案】：

【解析】：①依題意，得(a+2)2+(cose-1)2<9,再利用-2WCOS&1W0,可求得實數(shù)a的

取值范圍；

②由z,z2恰好是某實系數(shù)一元二次方程的兩個解，可得解之即可求

v3a^cos6—cos0=0

得a,0的值.

【解答】：解：z=a+icos0,

①若對任意%R,均有|z+2-i|〈3,即|a+2+(cosO-l)i|<3,即(a+2)2+(cos0-l)2<9,

v-2<cos0-l<O,

???(a+2)2<9-4=5,

.*.-2-V5<a<V5-2,BPaG［-2-V5,V5-2］；

②vz=a+icos0,

/.z2=a2-cos20+2acos6i,

vz,Z2恰好是某實系數(shù)一元二次方程的兩個解，

?,.z+z2=a2-cos20+a4-(cos04-2acos0)iGR,且z?z2=(a+icos0)(a2-cos20+2acos0i)=a3-

3acos20+(3a2cos0-cos30)iGR,

即fcose(l+2a)=0

l3a2cos0—cos30=0'

解cos。(14-2a)=0得a=-g,或cosB=0,止匕時8=101+1(kGZ)；

當a=」時，4^A3a2cos0-cos30=O,得cos。(--cos20)=0,

24

/.cos0=O,或cos8=士且，jltUj*0=k7i+-gJc0=kn±-(kGZ).

226

綜上所述，當@=-；時，e=kTT±?(kez)；

26

當aH」時，8=kn+巳(kGZ).

22

【點評】：本題考查復數(shù)的概念性質(zhì)及綜合應用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及方程思想的運用，考

運算求解能力，屬于難題.

19.(問答題，0分)“跳臺滑雪”是冬奧會中的一個比賽項目，俗稱“勇敢者的游戲”，觀賞性和

挑戰(zhàn)性極強.如圖：一個運動員從起滑門點A出發(fā)，沿著助滑道曲線/(x)=

一\匕2-X2(-［三4wo)滑到臺端點B起跳，然后在空中沿拋物線g(x)=ax2-20ax-b(x>0)

飛行一段時間后在點C著陸，線段BC的長度稱作運動員的飛行距離，計入最終成績.已知g

(x)=ax2-20ax-b在區(qū)間［0,30］上的最大值為-30,最小值為-70.

(1)求實數(shù)a,b的值及助滑道曲線AB的長度.

(2)若運動員某次比賽中著陸點C與起滑門點A的高度差為120米，求他的飛行距離(精

確到米).

【正確答案】：

【解析】：(1)令y=f(x),即可得到x2+y2=b2,(-b<x<0,-b<y<0),即可得到f(x)

的幾何意義，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到g(10)=-30,g(30)=-70,即可求出a、b的值，

從而求出曲線AB的長度；

(2)由(1)可得g(x)的解析式，依題意可得yc=-120,代入解析式中解出x,即可求出C

點坐標，根據(jù)兩點間的距離公式計算可得.

【解答】：解：(1)因為/(x)=一/(—JW*W0),令y=f(x),貝！Ix2+y2=b2,(-

b<x<0,-b<y<0)，

所以f(久)=一、爐一"2(一1w)三0)表示以(0,o)為圓心，半徑r=b的；圓弧，

4

因為g(x)=ax2-20ax-b(x>0)由圖象可知函數(shù)開口向下，

所以當x=10時g(x)max=g(10)=-100a-b=-30,g(30)=300a-b=-70,

解得10=一五，所以AB=-x2nx40=20n,

U=404

即a=-^,b=40,助滑道曲線AB的長度為20TT米；

(2)依題意可得A(-40.0),B(0,-40),yc=-120,

由(1)可得g(x)=一+2x-40(X>0),

令g(x)=-120,即一三產(chǎn)+2%-40=-120,

解得Xi=40,X2=-20(舍去)，

所以C(40,-120),所以\BC\=V402+(-40+120)2=40V5?89,

即該運動員飛行距離約為89米.

【點評】：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

20.(問答題,0分)數(shù)列｛a。｝滿足條件：若存在正整數(shù)k和常數(shù)q￡｛0,1｝,使得a?+k=qan對

任意n€N*恒成立，則稱數(shù)列｛aj具有性質(zhì)P(k,q),也稱為類周期k數(shù)列.

(1)判斷數(shù)列a-s)管+勻是否具有性質(zhì)P(k,q)并說明理由；

(2)數(shù)列｛aj具有性質(zhì)P(3,2),且ai=l,前4項成等差，求⑶｝的前100項和；

(3)若數(shù)列｛an｝既是類周期2數(shù)列，也是類周期3數(shù)列，求證：｛a。｝為等比數(shù)列.

【正確答案】：

【解析】：(1)根據(jù)誘導公式結(jié)合性質(zhì)P(k,q)的定義即可得解；

(2)設數(shù)列&｝的前4項為1,1+d,l+2d,l+3d根據(jù)題意可得a4=2ai,從而可求得d,

又an+3+an+2+an+i=2(an+an-i+an-2)，從而可求答案；

(3)根據(jù)題意可設an+2=pan，an+3=qan,再根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合性質(zhì)P(k,q)的定義

可得證.

【解答】：解：(1)0n=s譏償+=，sin=+,cos?,

所以當n=k+3時，有an+3=a對任意neN*恒成立，二數(shù)列⑶｝具有性質(zhì)P(3,-1)；

(2)?.?數(shù)列同｝具有性質(zhì)P(3,2),.,.an+3=2an>可得a4=2ai，

又a1=l,且4項成等差，設前4項為1,1+d,l+2d,l+3d,.?.l+3d=2xl,解得d=g,

111

???22+23+24=1+—+l+2x—+l+3x—=5,

乂an+3+an+2+an+i=2(an+an-i+an-2),，｛an+an-i+an-2｝(n34)是以az+a3+a4=5大J白項，2

為公比的等比數(shù)列，

所以｛an｝的刖100項和為a1+(az+as+aQ+(as+ae+a7)+...+(a98+a99+aioo)=1+

5(1-233)

------=5*233-4；

1-2

(3)數(shù)列｛aj既是類周期2數(shù)列，也是類周期3數(shù)列，

??-an+2=pan>an+3=qan，:型坦=2,二｛an｝為等比數(shù)列.

0n+2V

【點評】：本題考查數(shù)列的應用，以及新定義的運用，屬中檔題.