第6講-高中數(shù)學(xué)數(shù)列的綜合(解析版)

第6講數(shù)列的綜合

高考預(yù)測一：數(shù)列不等式的證明

11

1.(1)當(dāng)〃w時、求證:--------\--1;

2*n+ln+22〃

(2)當(dāng)〃wN+時,求證：l+5+"+…+±<2.

【解析】解：⑴證明：》耳?…+梟.+11111

-------F...H------V-----1------F...H----,

〃+22nnnn

111

一,,----1---------F…H-----<1.故不等式成立.

272+1n+22n

(2)證明：?,.1+[+!+...+』<1+-1-+」_+，+...+—1—

222

23n1x22x33x4(n-l)xw

=1+」+」+」+…+-L2,

22334n—\nn

EP1+-!7+4-+...+-T<2.

2232n2

2.若=>1x2+,2x3+…+J〃(幾+1)(〃為正整數(shù)),

求證：不等式”喑對一切正整數(shù)〃恒成立.

【解析】證明：n<y]n(n+1)<n+^

1+2+3+...+〃vJlx2+J2x3+...+J〃(7?+1)v(1+~)+(2+—)+...+(〃+—)

n2+2n

HP：妁U<x<---------

2〃2

(〃+I)?

<x〃<

22

不等式中〈喑對一切正整數(shù)〃恒成立..

3.己知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4=1,S〃+I+S“=q,(〃￡N*).

(I)求生，％的值，并寫出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

1o

(H)設(shè)"=-；=,數(shù)列｛"｝的前”項(xiàng)和為7；,求證：2G_l(neN*).

也2

【解析】解：(I)解：當(dāng)〃=1時，S2+5,=a^,即〃；一〃2-2=0,an>0fa2=2?

又S3+S?=a；,解得q=3，

；

ill_S"+i+S.=4+i可得：；

1.5"+S"T=片("-2)a,+/M=q/a5..2),

即%+an+l=(a?+a?+1)(a?+1-??)(?..2),

a?>0?:.all+i-an=l(n..2),

又?.a2—ay=2—1=1,

??.3}是首項(xiàng)為L公差為1的等差數(shù)列,

a〃=1+(〃-1)=〃；

(II)證明：由(I)得：<=才+三+…+亍,

1〈2

當(dāng)〃..2時,=2(A/^—\jk,—\)>

\/k+\[k

將上式對左從1到〃求和，得〃,1+2(6-1)=26-1,

注意至U：一{—1=—/)>~~F=/—2(+1-yfk),

24k4k+\

將上式對攵從i至1求和，

——U>2(^-1)=>T>2x/rt+-4=-->2V?--,

22品2yjn22

所以2冊一|<7；,,,2面-1.

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)〃=1時，上式也成立.

4.等比數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為5“，己知對任意的〃eN",點(diǎn)(〃,S,)均在函數(shù)y=?'+r3>0且b,r

均為常數(shù))的圖象上.

(1)求r的值；

(2)當(dāng)人=2時，記6“=2(log3q,+l)(〃eN')，證明：對任意的〃eN",不等式'+1.”+1..1+，>J〃+l

b,b2b?

成立.

n

【解析】解：(1)由題意,Sn=b+r,當(dāng)〃..2時,S,,.,=b"-'+r,

??a“=S-”’(6-1)

且匕Hl,所以〃..2時，｛4｝是以6為公比的等比數(shù)列,

又4=b+r,?2-b(b—1),幺=6,即~1^=人，解得/?=—1,

4b+r

r的值一1;

(2)證明：當(dāng)6=2時，由(1)知?！?2"，因此2=2〃(wwN*),

,才球t心2+14+12〃+1Ir

..小T式為---?----??----->A/Z?+1

242n

①當(dāng)〃=1時，左式=3,右式=也,左式〉右式，所以結(jié)論成立

2

②假設(shè)n=k(keN*)時結(jié)論成立，即出.坦?...①！>病門,

242k

則當(dāng)〃=左+1時，—…竺里.幺±2

242k2（人+1）

要證當(dāng)〃=&+i時結(jié)論成立，只需證工”二成立,

只需證：4r+12k+9>4r+12斤+8成立，顯然成立,

，當(dāng)…討時，羊苧.罷啖治小訶成立,

4+1%+1b〃+1

綜合①②可知不等式------?-------?...?------->J"+l成立.

b

b*t>2n

5.已知曲線C“：x2-2〃x+y2=o,(?=1,2,...).從點(diǎn)P(-1,O)向曲線C“引斜率為勺伏.>0)的切線/“，

切點(diǎn)為E,(x“，y?).

(1)求數(shù)列｛%｝與｛%｝的通項(xiàng)公式;

V，1

（2）證明：%吟?思…*2“?<P-<-^?cos—.

W+x“3y?

【解析】解：(1)設(shè)直線/“：y=k”(x+l),聯(lián)立f-2nx+y2=0,

得（I+片+Q片_2〃〃+%=0,

則^=（2片-2n）2-4（1+片）%=0,

n

:.kn=.（負(fù)值舍去）,

J1+2”

zRn-k,n，八、ny/l4-2n

可r得"EMtM'yia+G=F-

(2)證明:

由4〃2>4〃2-1,即為"！<—1-

4n'2n+\

1352n-l1352n-\

,X=-x-x-x...x------<-X-X-X...X-------

“I毛毛??2n-]2462nV3572/7+1

可得XX3X5…/I<

，iS/(x)=x-^-cosx,

由2=

%

率遞增,

可得sinx>0,即r(x)>0,/*)在(0,

由/(。)=_半<0,

COSX,

3

即有房i48s后，即后（冬吟,

則％?工3-天…工2〃-1<

6.己知函數(shù)/'(x)=/〃(x+l)—ar+^~-(?>—).

x+12

(I)當(dāng)曲線)，=/*)在(1,f(1))處的切線與直線/:y=2x+l垂直時，求。的值;

（II）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(〃/)求證：-4--+--F...+—^―<ln{n+l)<l+-+-+...+-(HGN*)?

234n+\23n

【解析】解一,（x）=￡aa

-a---------7x>-l,(2分)

a+iyU+1)2

（/）由題意可得2r（1）=T,即i^=—g解得。=1,（3分）

ii—2（?！[

（〃）由上知：一一2=-----幺＜0（一—2）—（一1）=——（5分）

2aaaa

①當(dāng)，＜a＜l時，-l＜--2＜0,在區(qū)間（-1--2）和（0,”）上，/V）＜0：

2aa

在區(qū)間d-2,0）上，r（x）＞o.（6分）

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1」-2)和(0,+oo),單調(diào)遞增區(qū)間是d-2,0).(7分)

aa

②當(dāng)a..l時，--2,,-1,在區(qū)間(-1,0)上尸(x)>0；在區(qū)間(0,+oo)上/'(x)<0(8分)

a

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+oo).(9分)

綜上所述：

當(dāng)1<a<1時，函數(shù)fM的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1--2)和(0,+oo)，單調(diào)遞增區(qū)間是己-2,0)；

2aa

當(dāng)a.l時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+oo)(10分)

(/〃)由(〃)及(/)知：當(dāng)。=1時，fM=ln(x+1)-x,且"(x)],,*=/(0)=0

即當(dāng)xe(-l,0)D(0,1)時，恒有歷(x+l)<x成立

由左wN*知：->0,-1<一——<0

kk+\

/n(—+1)<—,ln(\-----)<-----;得----〈ln(k+l)-lnkv—,

kkZ+lk+1k+1k

￡心<￡1力(%+1)-/”燈,

A=l%+1A=1k=\k

W-+-+i++—<Z/2(M+1)<1+-+-++-(?€/V*)(14分)

234n+l23n

7.已知函數(shù)/(x)=Inx-Ax+1.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(%),,0恒成立，試確定實(shí)數(shù)攵的取值范圍；

(3)證明：f型<〃(“—)(”?>1).

金i+14

【解析】解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+<?),f'(x)=--k.

X

當(dāng)上,()時，f'(x)=--k>0,

X

/(x)在(0,+<?)上是增函數(shù)：

當(dāng)%>0時，右xw(0,%)時，石尸(工)=—k>0f

若x￡(1，+oo)時，有/z(x)=-<0,

kx

則/(九)在(0」)上是增函數(shù)，在(1，+8)上是減函數(shù).

kk

(2)由(1)知E0時，/⑶在(0,+00)上是增函數(shù),

而/(1)=1一后>0,/(x),,0不成立，故左>0,

又由（1）知f（x）的最大值為了，），要使/（X）,,0恒成立,

則/(%),,0即可?，即一加鼠0，得1.1.

(3)由(2)知，當(dāng)無=1時,

有/。),,0在(0,+oo)恒成立，

且/(x)在(1,+oo)上是減函數(shù)，f(1)=0,

即加;vx-l在,+00)上恒成立，

令X=,則歷〃2V,

即21ml<(/t-1)(〃+1),從而-,

〃+12

rrl.l123/?—11+2+3+...+(〃-1)—1)

貝！J-+—+-+-+-----=---------------------------=---------,

222224

。Ini〃(九一I),31、

...〉——<-----(72￡N,M>l).

行+14

8.已知函數(shù)/(x)=0@(aeR).

X

(I)求“幻的極值；

/八、4、丁/〃2歷2?/〃3lnZln3.?.Innn-\仁口“*

(2)求證：——+------+…+-----------<------，乩.2且〃eN.

624(〃+l)!2及+2

【解析】解：(I)f(x)的定義域?yàn)?0,士功,

f\x)=I-("+?,令/"(X)=0,解得：X=ej,

X

當(dāng)/(x)>0時，x<ej,/(x)在(0,e?)是增函數(shù)，

當(dāng)f\x)<0時，x>e'-a,f(x)在(e?，+oo)是減函數(shù)，

：.f{x)在—e?處取得極大值，f(x)極大值=f(e'-a)=ea-',無極小值.

（2）證明：由（I）/（幻=如土，尸,

X

取a=l,「.歷"%-1,當(dāng)x=l時取等號,

故幽＜n-\

令x=〃，n..2,

7?+1〃+1

...Inn1Irilln3Inn11234n-2n-\II1

=-?----?—..<????…?——

(〃+1)!234n+\23456nn+ln(n+1)n〃+l

3In211妨2?妨311

故一＜-----;---------<--

6232434

-In-2-?-l-〃-3-…--I-n-n<--1-----1-

(774-1)!n〃+1

In22?加3ln2^lni...Innn-\,

----1--------F—H------------<------，幾.2.

624(〃+1)!2〃+2

9.己知函數(shù)/(x)=a阮v-x?+1.

(I)討論〃x)的單調(diào)性;

ln2ln~3Inn(n-l)(2n+1)、、

(II)求證:—r+—r+...+<------------(zn..2)

2232ir4(M+1)

【解析】(本小題滿分12分)

f\x)=--2x=a~2x'.(1分)

解：([)f(x)的定義域?yàn)?0,+oo),

XX

①當(dāng)義,0時，f'(x\,0,/(x)在(0,e)上單調(diào)遞減；(2分)

②當(dāng)a>0時，由尸(x)<0解得x〉^；由f'(x)>0解得0<x<《；(4分)

所以f(x)在(0嗜)上單調(diào)遞增，在(J|,+8)上單調(diào)遞減.(5分)

(11)證明：由(1)得當(dāng)”=2時，/(x)2=f(1)=2/〃l—1+1=0,

即2mX-Y+LO當(dāng)且僅當(dāng)犬=1時等號成立.(6分)

〃-1

所以2歷〃一〃2+1<0(〃..2),lnn<----(幾.2),(7分)

2

Inn1八1、1r11z11、，/、/八八、

—)<-U--；--]=--T(------；)(〃..2),(9分)

n2n2n(n+1)22n〃+1

耳匚/〃2加3Innn-\1.111111、n-11A1.

所以一z-H----+…H-----<-----------(---------1----------F…H-------------)=-----------(------------)

2232rr222334nn+\222n+l

(11分)

即華+絆+...+絆<("7Q〃+1).(12分)

2232n24(〃+1)

2

10.設(shè)數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知4=1,—=an+1--n-n-—,neN".

〃33

(I)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

Ii17

(II)證明：對一切正整數(shù)〃，W-+—+

4a2an4

2

【解析】(I)解：^=a^--n-n--,

〃33

.”1322〃(〃+1)(〃+2)個

??2S“=na?+l--n-n--n=nan+l--------------V

..|〃..2呵，2Sfl=]=(n-l)an-------------②

由①-②,得2Sfl—2S〃_|=nan+l—(n—l)an—n(n+1)?

2a“=2S〃-2s

2??=nan+l-(〃-l)a?—〃(〃+1)，

.3-%=1,

n+\n

數(shù)列｛2｝是以首項(xiàng)為;=1,公差為1的等差數(shù)列.

二.—=14-lx(n-l)=?,

n

2

an=n(n..2).

當(dāng)〃=1時，上式顯然成立.

/.an=//N"；

(11)證明：由(I)知，a=n\neN'

17

當(dāng)

①H寸

〃-=<-

=144.??原不等式成立.

②當(dāng)〃=2時，2sl=5—Dq—S-1；〃+」原不等式亦成立.

③當(dāng)〃..3時，>(〃一］).(〃+1),A_L<---------!--------

IV(〃一+

11111lfl111

4a2anV2"n"1x32x4(〃-2)?〃(n-1)?(??+1)

?1/1、1/L1/1、1,11.UI1、

=1+7：(7-T)+-(T-7)+Z(T-7)+?■?+-(--一)+-(—7------7)

2132242352n—2n2n—\n+\

」」+...+1111.

=1+4—-----1----------------)

2132435n—2nn-\n+1

11111.7111、7

)=—i—(-------------)<一,

212Hn+\42n77+14

當(dāng)幾.3時,???原不等式亦成立.

綜上，對一切正整數(shù)明有+-!-<L

4a,a?4

11.已知二次函數(shù)的幻=加+版的圖象過點(diǎn)(-4”,0),且r(0)=2〃(weN*).

(1)求/(x)的解析式：

(2)若數(shù)列｛q｝滿足」_=r(-1),且4=4,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

一%

(3)對于(2)中的數(shù)列｛%｝,求證：f%=4+生+/+…+?！?lt;5.

\h—2/71

【解析】解：(1)由尸(x)=2or+…]6后_4.=0解之得\力=2"，

即/(x)=g%2N*)：

⑵—=/(—)，

%。〃

11個

---=----F2/?,

%4

-=2n,由累加得」12

—=n+n9

%4%4

a=——---(n￡N*)；

"(2〃-1)?'

(3)ak=----1~-<—1—=——--(*..2),當(dāng)〃=1時，顯然成立;

k(k-l)+；Kk-l)k-\k

〃111111

當(dāng)兒.2時，Ya,?4+(1一一)+(----)+...+(-------)=5一一<5.

tt223n-\nn

12.已知函數(shù)f(x)=x-l-alnx.

(1)若/(x)..0,求〃的值；

(2)設(shè)施為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)〃，(l+g)(l+5)…(1+!)<m,求機(jī)的最小值.

【解析】解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=工一1一。/我，x>0,

所以/(?=1—旦/(1)=o.

XX

所以當(dāng)4,0時/⑴>0恒成立,此時y=/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,這與f(尤)..0矛盾;

當(dāng)a>0時令［(x)=0,解得x=a,

所以y=f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,”)上單調(diào)遞增,即/(%),?,?=f(a),

若awl,則f(a)<f(1)=0,從而與,f(x)..0矛盾；

所以a=1:

(2)由(1)可知當(dāng)a=l時/(x)=x-l-/nx.O,B|Jlnx?x-1,

所以ln(x+1)?x當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號,

所以bi(l+/)v/，kwN*.

//?(14--)+7/1(14--7)+_+//?(1H---)<--1---+_4---=1----<1，

222〃222"2"

即(1+_(14---)<C；

2"

因?yàn)椤?，為整?shù)，目對于任意正整數(shù)N,(1+...(1+"^7)vm.?

當(dāng)”=3時，(1+

所以加的最小值為3.

OY

2A1￡/、

13.已知函數(shù)/(x)=-----,f(1)=1,§，令x=5，%+i=/(/)

ax+b

(1)求數(shù)列｛x.｝的通項(xiàng)公式;

(2)證明％入2…Z>5.

【解析】(1)解：函數(shù)/(x)=q—,f(I)=b2

ax+b3

2X

2=2

—=1,

a+bL+J3

2

聯(lián)立解得：a=b=\.

、2x

fM-----7?

x+1

令x=;,4田=/(%)，

2x“

%+l

兩邊取倒數(shù)可得：」-=_!_+1，

玉+12x?2

變形為：—1=—(―—1)?——1=1,

x”+i2/%

...數(shù)列1｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1,公比為2.

X”2

1

(〃-1)+Y)"T

=2.[--------一一r'

n-\

i-dr'i

=2［1+——&—<2(1+——)"T,

n—｝九一1

數(shù)列｛(1+」一產(chǎn)｝單調(diào)遞增，iim(l+」-yi=e,

n-1"內(nèi)0n-1

1個

--------<2e,

x/2?????%〃

1

2e

3

14.已知函數(shù)f(x)=^x-x,數(shù)列｛%｝滿足條件：avA,a“+1./(a〃+l).試比較

」一+—^+―…+」一與1的大小，并說明理由.

1+4\+a21+為1+4,

【解析】解：：/'(幻=X2-1,an+r.f(an+1),

+1)~-1.

函數(shù)g(x)=(X+1)2-1=f+2x在區(qū)間［1,+00)上單調(diào)遞增，

于是由on..J)得aJMq+1)'—12~—1,

由此猜想：

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想：

①當(dāng)”=1時，1=《..2'-1=1,結(jié)論成立；

②假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即4..21,

則當(dāng)〃=左+1時，

由g(X)=(尤+I)?-1在區(qū)間［1,+00)上單調(diào)遞增知,

%腐4+1)2-122*-l?2t+,-l,

即〃=%+1時，結(jié)論也成立.

由①、②知，對任意都有冊

11

即l+q,..2",

江？千

11111111I,1、"I

——十——+----+—4-武，，5+夢+>+--+就=1-(5)

1+q1+a21+%

15.設(shè)數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為S“，且2S“=〃向-2"M+1(〃EN*),4=1.

(1)求證：數(shù)列｛墨+1｝為等比數(shù)列，并求明;

(2)設(shè)數(shù)列｛2｝滿足勿(3"-?！?=」色，數(shù)列｛么｝的前w項(xiàng)和為7；,求證:T?<].

n(n+1)

n+,

【解析】證明：(1)?,25.=??+|-2+1(〃eN*),〃..2時,2s,一=a?-2"+l,相減可得2an=a?+l-2"-a?,

化為：區(qū)號+1=3(&+1),3

+I

2，,+i22"T2

nn

數(shù)列｛墨+1｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為|..?.號+1=(|)",化為：an=3-2.

(2)b(3“-a)=------,/.b=----------=—(-------)=-----：----------.

""〃5+1)“〃5+1>2"Xn〃+1乂京-(77+1)-2"

數(shù)歹！I｛"｝的前〃項(xiàng)和為7；=(1--—)+(―-----^)+…+(―^------——)=1-----1—

""2x22x23x2?n-2"-1(n+l)-2"(n+l)-21

2_,

16.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足：q=a(a￡R且。>一1),(%+l)(a2+1)...(??+1)=10"(neN"且?guī)?2).

(1)求數(shù)列｛q｝的通