北師大版九年級(jí)上相似圖形教案

第三章相似圖形

1.成比例線段

一、目標(biāo)導(dǎo)航

1.了解兩條線段的比的概念；

XI.如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段/氏切的長(zhǎng)度分別是勿、

n,那么就說(shuō)這兩條線段的比力反。力:〃，或?qū)懗?

2.若線段a/=c:d,則線段多少叫做成比例線段（或比例線段）;

3.及〃=A在指定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，即比例式及等積式可以

互相轉(zhuǎn)化.

二、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.若2x—5產(chǎn)0,貝（Jy：尸,-.

2.如果那么？=

b5b

3.若a=啦，b=3,C-343,則a、b、c的第四比例項(xiàng)d為.

5.在一張地圖上，甲、乙兩地的圖上距離是3cm,而兩地的實(shí)際

距離為1500勿，那么這張地圖的比例尺為.

三、能力提升

6.若，且AB=12,AC=3,AD=5,則AE=.

7.已知0點(diǎn)是正方形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則

AO：AB：AC=.

8.已知:=:，那么下列式子成立的是（）

xy

A.3A=2JB.xy=6C.1=|D.^=|

9.把a(bǔ)占gcd寫(xiě)成比例式，不正確的寫(xiě)法是0

A.3=三B.A1C.網(wǎng)=幺D.￡=型

c2b2c=bcbbd

10.已知線段x,y滿足(x+y)：(x—y)=3：1,那么x：p等于()

A.3：1B.2：3C.2：1D.3：2

11.已知直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)的比為a：b=l：2,其斜邊長(zhǎng)

為4萬(wàn)c勿，那么這個(gè)三角形的面積是0。小

A.32B.16C.8D.4

12.等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)是104cm,AD〃BC,且

AD：AB：BC=2：3：5,則這個(gè)梯形的中位線的長(zhǎng)是()cm.

A.72.8B.51C.36.4D.28

13.已知四條線段a、b、c、"的長(zhǎng)度，試判斷它們是否成比例？

⑴a=16cmb=Scmc=5cmd^IQcm

(2)a=8cmtr5cmd=\Ucm

四、聚沙成塔

在4ABC中，I)是BC上一點(diǎn)，若AB=15cm,AC=10cm,且

BD：DC=AB：AC,

BD-DC=2cm,求BC的長(zhǎng).

4.1線段的比⑵

一、目標(biāo)導(dǎo)航

1.合比性質(zhì)：如果，那么；

2.等比性質(zhì):如果（b+dd那么.

二、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.若圻?=3（步斤0）,則瀉=

bab+a--------

2.已知（步后^0）,貝!]=.

3.已知，

y

三、能力提升

4.已知，則下列式子中正確的是（）

A.a'.b=c"B.ad=cb

C.ab=（a+a：（ZzMD.aKa—d）:（b~~d）

5.若ac=bd&B,則下列各式一定成立的是（）

A.B.C.D.

6.已知，則的值為（）

A.iB.2C.2D.1

542

7.若9=4=3且3a—2步k3,則2a+46—3c的值是（）

57o

A.14B.42C.7D.此

3

8.若，設(shè)A=,B=,C=,則A,B,C的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

A.A>B>CB.A<B<CC.C>A>

BD.A<C<B

9.若點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上，AB=10,.求

線段PQ的長(zhǎng).

1。?已知：河求：⑴的值；⑵的值.

11.已知:x：y：z=2：3：4.求：(1)；(2)；(3).

12.~7~=7=~7~f且2a—試求a：bc.

34oZH-3C^21.

四、聚沙成塔

13.已知實(shí)數(shù)a,b,。滿足4=管=+,求學(xué)的值.

ci。ca

2.平行線分線段成比例

(1)如圖，任意畫(huà)兩條直線1\、A,再畫(huà)三條及1、、

A/一\\D

心相交的平行線A1八4,分別量度入、L、人在4上

8:E

截得的兩條線段AB、BC和在心上截得的兩條線段DE、\

EF的長(zhǎng)度，AB：BC及DE：EF相等嗎?任意平移4,再',

量度AB、BC、DE、EF的長(zhǎng)度，AB：BC及DE：EF相等嗎？

(2)問(wèn)題，AB：AC=DE：(),BC：AC=():DF.

(3)歸納總結(jié)：平行線分線段成比例定理

三條截兩條直線，所得的線段的飛卜Q

例1如圖，若AB=3c勿，BC=5M,EK=4M,寫(xiě)出空=/、

、,"一A

_____=______。求FK的長(zhǎng)？-77一

平行線分線段成比例定理推論

思考：1、如果把圖中，、兩條直線相交，交點(diǎn)A剛好落到上，如

(1)(2)

圖27.22

2、如果把圖中4、4兩條直線相交，交點(diǎn)A剛好落到名上，如圖(2),

所得的對(duì)應(yīng)線段的比會(huì)相等嗎？

3、歸納總結(jié)：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)，

所得的線段的比o

3.相似多邊形

圖形的相似

例1如圖，下面右邊的四個(gè)圖形中，及左邊的圖形相似的是0

O0Ooo

ABCD

例2一張桌面的長(zhǎng)矛勿，寬生力，那么長(zhǎng)及寬的比是多少？

(1)如果a=125c"，爐75c勿，那么長(zhǎng)及寬的比是多少？

(2)如果a=1250勿力，"750勿勿，那么長(zhǎng)及寬的比是多少？

小結(jié)：上面分別采用力、。勿、勿勿三種不同的長(zhǎng)度單位，求得的巴的

b

值是的，所以說(shuō)，兩條線段的比及所采用的長(zhǎng)度單位

，但求比時(shí)兩條線段的長(zhǎng)度單位必須.

例3已知：一張地圖的比例尺是1：32000000,量得北京到上海

的圖上距離大約為cm,求北京到上海的實(shí)際距離大約是多少k或

分析：根據(jù)比例尺=,可求出北京到上海的實(shí)際距離.

【鞏固練習(xí)】X*

1、如圖，從放大鏡里看到的三角尺和原來(lái)的三角尺霜領(lǐng)

2.如圖，圖形a?F中，哪些是及圖形（1）或（2）相似的？

3、下列說(shuō)法正確的是（）

A.小明上幼兒園時(shí)的照片和初中畢業(yè)時(shí)的照片相似.B.商店新買來(lái)

的一副三角板是相似的.

C.所有的課本都是相似的.D.國(guó)旗的五角星

都是相似的.

【能力提升】

1、如圖，請(qǐng)測(cè)量出右圖中兩個(gè)形似的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，

（1）（?。╅L(zhǎng)是cm,寬是cm-,（大）長(zhǎng)是cm,寬是

______cm；

(2)(小)號(hào)=；(大)寬

長(zhǎng)

(3)你由上述的計(jì)算，能得到什么結(jié)論嗎?

2、在比例尺是1：8000000的“中國(guó)政區(qū)”地圖上，量得福州及上海

之間的距離是cm,那么福州及上海之間的實(shí)際距離是多少？

3、AB兩地的實(shí)際距離為2500勿，在一張平面圖上的距離是5C勿，那么

這張平面地圖的比例尺是多少？

相似多邊形

如圖的左邊格點(diǎn)圖中有一個(gè)四邊形，請(qǐng)?jiān)谟疫叺母顸c(diǎn)圖中畫(huà)出一

個(gè)及該四邊形相似的圖形.

問(wèn)題：對(duì)于圖中兩個(gè)相似的四邊形，它們的對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊的比

是否相等.

【結(jié)論】：

⑴相似多邊形的特征：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角,對(duì)應(yīng)邊的比

反之，如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角,對(duì)應(yīng)邊的比,那么這

兩個(gè)多邊形

幾何語(yǔ)言：在AABC和AABG中

若ZA=ZAi；NB=NB|；NC=NG.

則AABC和AABG相似

(2)相似比：相似多邊形的比稱為相似比.

問(wèn)題：相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形有什么關(guān)系？

結(jié)論：相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形.

例1下列說(shuō)法正確的是()

A.所有的平行四邊形都相似B.所有的矩形都相似

C.所有的菱形都相似D.所有的正方形都相似

例2、如圖，四邊形4?繆和跖第相似，求角a和￡的大小和功的長(zhǎng)度

^^_^******^

X.21cmO”⑶

A0“

IXcm24cm)?

/

Bn'F101G

【鞏固練習(xí)】

1.在比例尺為1：10000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離

是30cm,求兩地的實(shí)際距離.

2.如圖所示的兩個(gè)直角三角形相似嗎？為什么？

八10

一/10

3.如圖所示的兩個(gè)五邊形相似，求未知邊a、b、C、d的長(zhǎng)度.

69

Jb

2

75

【能力提升】

LAABC及ADEF相似,且相似比是jWJADEF及4ABC及的相似比

2324

A.3-B.C.D.9-

2--

2.下列所給的條件中，5能確定相似的有（）

（1）兩個(gè)半徑不相等的圓；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角

形；（4）所有的等邊三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六

邊形.

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

3.已知四邊形ABCD和四邊形ABCD相似，四邊形ABCD的最長(zhǎng)邊和

最短邊的長(zhǎng)分別是10c勿和4cm,如果四邊形ABCD的最短邊的長(zhǎng)是

3cm,那么四邊形ABCD中最長(zhǎng)的邊長(zhǎng)是多少？

4.如圖，AB〃EF〃CD,CD=4,AB=9,若梯形CDEF及梯形EFAB相似,

求EF的長(zhǎng).

4.探索三角形相似的條件

四.相似三角形

※上在相似多邊形中，最為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的就是相似三角形.

X2.對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角

形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

X3.全等三角形是相似三角的特例，這時(shí)相似比等于1.注意:證兩

個(gè)相似三角形，及證兩個(gè)全等三角形一樣，應(yīng)把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的

字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上.

※人相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比及對(duì)應(yīng)角平分線的比都等

于相似比.

派5.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

X6.相似三角形面積的比等于相似比的平方.

五.探索三角形相似的條件

※上相似三角形的判定方法：

一般三角形直角三角形

基本定理：平行于三角形的一邊且和其他兩邊（或兩邊的

延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形及原三

角形相似.

①兩角對(duì)應(yīng)相等；①一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等；

②兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角②兩條邊對(duì)應(yīng)成比例：

相等；a兩直角邊對(duì)應(yīng)成比

③三邊對(duì)應(yīng)成比例.例；

b.斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)

成比例.

相似三角形

在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的就是相似三角形.

在aABC及4A'B'C中，

如果NA=NA'，NB=NB',NC=NC'，且絲=匹=￡1=%.

A'B'B'CC'A'

我們就說(shuō)AABC及4A'B'C'相似，記作△ABCS^A，B'C',A就

是它們的相似比.

反之如果△ABCSZ^A，B'C,

貝ij有NA=,ZB=,ZC=,且.

問(wèn)題：如果Fl,這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系？

【鞏固練習(xí)】

如圖，在△ABC中,DE〃BC,AC=4,AB=3,EC=1.求AD和BD.

【能力提升】

1.如圖，△ABCS^AED,其中DE〃BC,找出對(duì)應(yīng)角并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)邊的

比例式.

2.如圖，△ABCs/^AED,其中NADE=NB,找出對(duì)應(yīng)角并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)邊

的比例式.

【反思?xì)w納】

?“三角形相似的預(yù)備定理”.這個(gè)定理揭示了有三角形一邊的平行

線，必構(gòu)成相似三角形，因此在三角形相似的解題中，常作平行線

構(gòu)造三角形及已知三角形相似.

?相似比是帶有順序性和對(duì)應(yīng)性的：如△ABCs/vVB'C的相似比

華年金=k，那么AA'B'C'-AABC的相似比就是

A'B'B'CC'A'

華=隼=?;，它們的關(guān)系是互為倒數(shù).

ABBCCAk

思考：如圖，在AABC中，DE/7BC,DE分別交AB,AC于點(diǎn)D,E。

問(wèn)題：

⑴由“DE〃BC”的條件可得到哪些線段的比相等？

⑵根據(jù)以前學(xué)習(xí)的知識(shí)如何把DE移至ljBC上去？(作輔助線EF/7AB)

你能證明AE：AC=DE：BC嗎？

(3)寫(xiě)出△ABCS/XADE的證明過(guò)程。

歸納總結(jié)：判定三角形相似的(預(yù)備)定理：

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所成的三角形及原來(lái)三角

形相似。

例1如圖，在AABC中，DE〃BC,AD=EC,DB=lc"，AE=4cm,BC=5c",

求DE的長(zhǎng).

分析：由DE〃BC,可得△ADES^ABC,再由相似三角形的性質(zhì)，

有，又由AD二EC可求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)求出DE的長(zhǎng).

【鞏固練習(xí)】

1.下列各組三角形一定相似的是0

A.兩個(gè)直角三角形B.兩個(gè)鈍角三角形C.兩個(gè)等腰三角形

D.兩個(gè)等邊三角形

2.如圖，DE〃BC,EF〃AB,則圖中相似三角形一共有()

A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)

3、如圖，AB〃EF〃CD,圖中共有對(duì)相似三角形，寫(xiě)出來(lái)并說(shuō)明理由。

4.如圖9在ABCD中，EF〃AB,DE：EA=2：3,EF=4,求CD的長(zhǎng).

【能力提升】

1.如圖，DE〃BC,(1)如果AD=2,DB=3,求DE：BC的值；(2)如果AD=8,

DB=12,AC=15,DE=7,求AE和BC的長(zhǎng).

2、如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過(guò)網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的

位置上，求球拍擊球的高度A（設(shè)網(wǎng)球是直線運(yùn)動(dòng)）.

相似三角形

一、選擇題

1.如圖所示，在△/勿中，龍〃陽(yáng)若助=1,以=2,則匹的值為（）

2.如圖所示，4ABC中DE〃BC,若49：加=1：2,則下列結(jié)論中正

確的是（）

3.如圖所示，在△/%中N為。=90°,〃是比中點(diǎn)，AELAD交CB

延長(zhǎng)線于￡點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

A.MAE"XACBB.叢AEBsAACDEBDC

C.ABAEs叢ACED.XAECsXDAC

4.如圖所示，在△/國(guó)中〃為47邊上一點(diǎn)，茗/DBC=/A,BC=y/6,

AC=3,

則切長(zhǎng)為（）

5.若〃是雙△/%的斜邊比上異于B,。的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)〃作直線截△/比；

截得的三角形及原△/%相似，滿足這樣條件的直線共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

6.如圖所示，叢ABC中若DE//BC,EF//AB,則下列比例式正＞0

AADDE

,~DB~~BC

CAEBFD.空="

'~EC~~FCABBC

8.如圖所示，△/阿中，ADUC于D,對(duì)于下列中的每一個(gè)條件共

①N8+/DAC=90°；②/B=/DAC；③CD：AD^AGAB；?AF^BD?B（

BDC

其中一定能判定△力竟是直角三角形的共有(

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

二、填空題

9.如圖9所示，身高的小華站在距路燈桿5m的。點(diǎn)處，測(cè)得她在燈

光下的影長(zhǎng)切為，則路燈的高度45為.

10.如圖所示，△/阿中，49是及7邊上的中線，尸是4?邊上一點(diǎn)，

且，

射線少交四于￡點(diǎn)，則竺等于______.

FD

11.如圖所示，△/勿中，DE//BC,AE：EB=2：3,若△力砂的面積是

4m2,

則四邊形瓦比1的面積為.

12.若兩個(gè)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比是5：4,則這兩個(gè)多邊形的周長(zhǎng)

比是.

三、解答題

13.已知，如圖，△/回中，AB=2,BC=4,〃為比1邊上一點(diǎn)，BD=\.

(1)求證：AABU4CBA；

(2)作以〃45交4C于點(diǎn)￡,請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出另一個(gè)及△/劭相似的三角形，

并直接寫(xiě)出座的長(zhǎng).

BDC

15.如圖所示，在由邊長(zhǎng)為1的25個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格上有

一個(gè)試在這個(gè)網(wǎng)格上畫(huà)一個(gè)及△/回相似，且面積最大的

B\,G三點(diǎn)都在格點(diǎn)上)，并求出這個(gè)三角形的面積.

18.已知：如圖，△/比'中，ZBAC=9Q°,AB=AC=1,點(diǎn)〃是比1邊

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不及8,。點(diǎn)重合)，N49￡=45°.

(1)求證：叢ABM叢DCE；//

(2)沒(méi)BD=x,AE=y,求'關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；BDC

(3)當(dāng)△/應(yīng)是等腰三角形時(shí)，求力少的長(zhǎng).

19.已知：如圖，比中，AB=4,〃是四邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DE//BC,

連結(jié)〃。，設(shè)的面積為S,的面積為￡.

⑴當(dāng)〃為四邊的中點(diǎn)時(shí)，求S':S的值；

(2)若設(shè)試求y及x之間的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍.

5.相似三角形判定定理的證明

6.黃金分割

4.2黃金分割

一、目標(biāo)導(dǎo)航

1.黃金分割定義:點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果

AC:AB=BC:AC,那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割.點(diǎn)C叫做線段

AB的黃金分割點(diǎn)，AC及AB的比叫做黃金比.

2..

二、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.若點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，則線段AP、PB、AB滿足關(guān)系式.

2.黃金矩形的寬及長(zhǎng)的比大約為(精確到0.001).

3.電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃&

金分割點(diǎn)處最自然得體，若舞臺(tái)AB長(zhǎng)為20m,

試計(jì)算主持人應(yīng)走到離A點(diǎn)至少勿處？如果他

AB

向B點(diǎn)再走加