固體物理課件

1.1.1晶體宏觀特性1.自范性晶體物質(zhì)在適當(dāng)?shù)慕Y(jié)晶條件下，都能自發(fā)地成長為單晶體，發(fā)育良好的單晶體均以平面作為它與周圍物質(zhì)的界面，而呈現(xiàn)出凸多面體。1.1晶體的宏觀特征2.晶面夾角守恒屬于同一品種的晶體，兩個相對應(yīng)晶面之間的夾角恒定不變。晶面夾角的守恒性是反映晶體品種的特征因素。1.1晶體的宏觀特征3.解理性很容易沿自然層狀結(jié)構(gòu)平行的方向劈為薄片，晶體的這一性質(zhì)稱為解理性，這些劈裂面稱為解理面。自然界的晶體顯露于外表的往往就是一些解理面。4.各向異性晶體的物理性質(zhì)隨觀測方向而變化的現(xiàn)象為各向異性。晶體的許多物理性質(zhì)都具有各向異性，如在力學(xué)量上,如：解理性、彈性模量等；在熱學(xué)上，如：熱膨脹系數(shù)、導(dǎo)熱系數(shù)等；在電學(xué)量上，如：電導(dǎo)率等；在光學(xué)量上，如：折射率等。1.1晶體的宏觀特征5.銳熔性（固定熔點）6.對稱性宏觀性質(zhì)在不同方向上有規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象。分為幾何外形和物理性質(zhì)。1.1晶體的宏觀特征7.最低內(nèi)能（1）在相同的熱力學(xué)條件下，與同種化學(xué)成分的氣體、液體或非晶體相比，晶體的內(nèi)能最小。（2）在相同的熱力學(xué)條件下，以具有相同化學(xué)成分的晶體與非晶體相比，晶體是穩(wěn)定的，非晶體是不穩(wěn)定的，后者有自發(fā)轉(zhuǎn)變?yōu)榫w的趨勢。1.1晶體的宏觀特征1.1.2晶體微觀特性（1）晶體微觀結(jié)構(gòu)的周期性，組成晶體的粒子在空間呈現(xiàn)出周期性的無限排列，這稱之為長程有序。（2）晶體的晶面夾角守恒性實際上就是晶體微觀特征的宏觀反映。1.1晶體的宏觀特征1.2.1空間點陣與基元1.基元（1）基本的組成單元，是晶體的最小組成單元。可以是原子、原子團、離子團。（2）晶體中所有的基元都是等同的，這種等同性不僅指它的化學(xué)組成，也指它的位形、取向等方向等同性。（3）每個基元所包含的原子數(shù)等于晶體中原子的種類數(shù)。如果晶體由一種原子組成，基元就只包含這一個原子；如果晶體由多種原子組成，基元就包含多種原子。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)2.陣點（1）將基元抽象成為一個數(shù)學(xué)上的幾何點，用一系列雷同的點子代表基元，這些點子稱為“陣點”。（2）所有陣點所代表的基元都相同，每個結(jié)點的周圍環(huán)境都相同。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)3.點陣（1）陣點在空間有規(guī)則地、周期性地?zé)o限排列的總體，稱為空間點陣或布拉菲點陣。（2）所有陣點都是嚴(yán)格等同的，各陣點的周圍環(huán)境完全相同，即：任何一個陣點與其周圍陣點之間在空間排布和空間取向上都是完全相同的。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)4.空間點陣學(xué)說1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)=基元+空間點陣1.2.2初基元胞（固體物理學(xué)元胞）1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)1.基矢以一個陣點為頂點，選取三個獨立的方向，沿這三個獨立方向做矢量，矢量的模量等于這三個獨立方向上的周期，這三個矢量叫做基矢，以表示原胞基矢。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)2.元胞以一個結(jié)點為頂點，選取三個獨立的方向，以這三個獨立方向上的周期為邊長，做一個平行六面體，以這樣一個平行六面體為重復(fù)單元來概括晶格，這樣的一個平行六面體被稱為元胞。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)3.初基元胞（1）在選取基矢時，只考慮晶體的周期性，而不考慮晶體的對稱性，每個原胞只包含一個陣點，所有的陣點都在原胞的頂角上，初基原胞是最小的結(jié)構(gòu)重復(fù)單元，因此，一個固體物理學(xué)原胞只包含一個格點。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)（2）原胞和基矢的選取沒有限定規(guī)則。（3）若采用固體物理學(xué)原胞基矢為坐標(biāo)軸的單位矢量，則由于所有的陣點都處在頂角上，所以，格矢為：n1,n2,n3均為整數(shù)。其體積為：1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)（4）設(shè)r為初基元胞中任意一點的位置矢量，V(r)為該點所對應(yīng)的晶體某一微觀物理量，則：該式表明由于晶體的周期性，晶體中任意兩個初基元胞中相對應(yīng)的位置上其微觀物理性質(zhì)完全相同。1.2.3慣用元胞（結(jié)晶學(xué)元胞）（1）在選取基矢時，不僅要考慮晶體的周期性，還要考慮晶體的對稱性，每個原胞中一般不只包含一個陣點，陣點也并不都處在原胞的頂角上，還可處在體心、面心、底心以及晶胞中的其他位置。這種能同時反映晶體周期性與對稱性特征的元胞稱為慣用元胞，又叫結(jié)晶學(xué)元胞，晶胞。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)（2）構(gòu)成慣用元胞平行六面體的三個邊矢量用，稱為軸矢。軸矢的方向是晶軸的方向，也是晶體對稱性高的方向，其長度a,b,c稱為晶格常數(shù)。（3）任一格點的位置矢量可以表示為：

其中，m,n,l為有理數(shù)。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)1.2.4初基元胞與慣用元胞的關(guān)系（1）結(jié)晶學(xué)原胞：一般按對稱性特點來選取，結(jié)晶學(xué)原胞基矢一般選取在晶體的主要晶軸方向上，基矢的大小等于該晶軸方向上的周期大小。固體物理學(xué)原胞：所選取的固體物理學(xué)原胞必須是最小的重復(fù)單元，因此，一個固體物理學(xué)原胞只包含一個格點。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)（2）以立方晶系為例，在結(jié)晶學(xué)中，屬于立方晶系的結(jié)晶學(xué)原胞有簡單立方晶胞、體心立方晶胞和面心立方晶胞。（3）在立方晶系的結(jié)晶學(xué)原胞中，三個基矢的長度相等，而且，相互垂直，即：取晶軸為坐標(biāo)軸，以表示坐標(biāo)軸上的單位矢量，假設(shè)：立方晶胞的邊長為a，則晶胞基矢為：1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)1.簡單立方晶胞（sc）（1）在簡單立方Bravaise晶胞中，原子只占據(jù)立方體的頂點位置，是最小的重復(fù)單元。因此，簡單立方的結(jié)晶學(xué)原胞就是它的固體物理學(xué)原胞。（2）立方體每個頂角上的原子為8個晶胞所共有，它對每個晶胞的貢獻只有1/8，所以，每個原胞只包含1個原子。原胞的體積a3。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)（3）簡單立方的結(jié)晶學(xué)原胞就是它的固體物理學(xué)原胞，所以，簡單立方的固體物理學(xué)原胞基矢為：1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)2.體心立方晶胞（bcc）（1）在體心立方的布喇菲晶胞中，原子除了占據(jù)頂角位置外，在立方體的中心(體心)還有一個原子，故稱“體心立方晶胞”。在體心立方晶胞，頂角上的原子與體心上的原子周圍環(huán)境完全相同。對于體心立方布喇菲晶胞，每個晶胞中包含兩個原子。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)（2）習(xí)慣上，常按照如下方式選取體心立方晶胞的固體物理學(xué)原胞基矢：（3）按照這樣選取的固體物理學(xué)原胞的體積為：1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)（4）由于體心立方晶胞的體積為a3,一個體心立方晶胞中包含2個原子（1/8×8+1=2）。而按上述方式選取的固體物理學(xué)原胞的體積為a3/2，所以，按上述方法選取的固體物理學(xué)原胞中只包含1個原子，因此，這樣選取的固體物理學(xué)原胞是最小的重復(fù)單元。（3）對于體心立方晶體，以體心原子為終點的格矢為：1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)m,n,l為整數(shù)。2.面心立方晶胞（fcc）（1）在面心立方的布喇菲晶胞中，原子除了占據(jù)頂點位置外，還占據(jù)著立方體六個面的中心位置，故稱“面心立方晶胞”。在面心立方胞中，面心的原子與頂角上的原子的周圍情況實際上是一樣。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)（2）由于立方體中，面心上的原子被兩個相鄰晶胞所共有，因此，每個面心上的原子只有1/2是屬于這個晶胞；立方體每個頂角上的原子為8個晶胞所共有，它對每個晶胞的貢獻只有1/8，所以，每個面心立方晶胞中含有4個原子（6×1/2+8×1/8=4）

。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)（3）慣用的固體物理學(xué)原胞基矢選?。核栽瓉淼拿嫘牧⒎襟w的六個面心原子和兩個為對角關(guān)系的頂角原子為8個頂點原子構(gòu)成的。（4）慣用的固體物理學(xué)原胞基矢選取為：1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)（5）新選取的這種固體物理學(xué)原胞的體積為：在面心立方晶胞中，4個原子占據(jù)的體積是a3,所以，按照上述方式選取的固體物理學(xué)原胞中只包含1個原子。（6）對于面心立方晶體，以a,b面上的面心原子為終點的格矢為：1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)1.2.5W-S（Wigner-Seitz）原胞作某格點(原點)到其最近鄰格點和其次近鄰格點連線的垂直平分面,由這些垂直平分面所圍成的最小的體積單元稱為Wigner-Seitz原胞1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)1.簡單立方格子的W-S原胞簡單立方格子的W-S原胞為原點和個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正方體。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)2.面心立方格子的W-S原胞對于面心立方格子，若將原點選在頂角上，與原點距離最近的原子有12個，且都處在面心位置。作原點（頂角）到這12個面心位置連線的垂直平分面，就得到一1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)個菱形十二面體。菱形十二面體的體積等于面心立方晶胞的固體物理學(xué)原胞的體積，因此，這個菱形十二面體就是最小的體積單元。也就是說：面心立方格子的W-S原胞是一個菱形十二面體。3.體心立方格子的W-S原胞（1）將原點取在體心位置，則與原點距離最近的有8個點。若將原點選做原點到這8個頂角位置連線的垂直平分面，它們圍成一個正八面體，但這個正八面體的體積仍大于體心立方格子的固體物理學(xué)原胞體積。因此，還需要考慮與原點次近鄰的點。（2）與原點次近鄰的點有6個，即：前、后、左、右、上、下6個方向上的與之最近的6個體心原子。再做原點到次近鄰6個點連線的垂直平分面，這6個面將上圖的正八面體的6個頂角截去，就形成了一個十四面體，常稱截角八面體。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)此十四面體的體積等于體心立方晶格的固體物理學(xué)原胞體積，因此，這個十四面體就是最小的體積單元。也就是說體心立方格子的W-S原胞是一個截角八面體。1.2晶體的微觀結(jié)構(gòu)1.3.1晶格用一些較小的圓球作為晶體中原子或者離子的模型，為了更好地理解晶體結(jié)構(gòu)，人們又將結(jié)點之間用直線連接起來，形成晶體格子，稱為晶格。晶格可分為布喇菲晶格（又稱為單式或簡式晶格）和復(fù)式晶格。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)1.3.1晶格（1）組成晶體是由完全相同的一種原子組成，基元只包含一個原子，這時晶格中每個原子都對應(yīng)著格點，原子形成的網(wǎng)格（晶格）與格點形成的網(wǎng)格（布喇菲格子）是一回事，則該晶格稱為布喇菲晶格。（2）晶體是由兩種或者兩種以上的原子構(gòu)成的，基元包含了兩個以上的原子，這種晶格稱為復(fù)式晶格。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)（3）一種是不同原子或離子構(gòu)成的晶體，如NaCl、CsCl、ZnS等；一種是相同原子但幾何位置不等價構(gòu)成的晶體，如：具有金剛石結(jié)構(gòu)的C、Si、Ge以及具有六角密排結(jié)構(gòu)的Be、Mg、Zn等。（4）復(fù)式格子特點：不同等價原子各自構(gòu)成相同的簡單晶格（子晶格），復(fù)式格子由它們的子晶格相套而成。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)1.3.2常見的復(fù)式晶體1.氯化鈉（NaCl）結(jié)構(gòu)（1）氯化鈉晶體是典型的離子晶體，由氯原子和鈉原子組成的。如果我們只看Na+，而不看Cl-,那么，由Na+離子所構(gòu)成的晶胞是一個面心立方格子。同樣，如果我們只看Cl-,而不看Na+，由Cl-

離子所構(gòu)成的晶胞也是一個面心立方格子。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)（2）氯化鈉結(jié)構(gòu)可以看成是由：Na+和Cl-各自構(gòu)成一套面心立方格子，它們彼此沿x軸方向(即：軸方向)平移a/2套構(gòu)形成了。（3）如果我們按Na+所構(gòu)成的面心立方格子選取固體物理學(xué)原胞基矢，則所選取的原胞頂點上是Na+，原胞內(nèi)部是一個Cl-

，這樣，一個固體物理學(xué)原胞包含一個Na+

和一個Cl-。(一個Na+

和一個Cl-構(gòu)成一個結(jié)點)。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)（4）按照這種方式進行固體物理學(xué)原胞選取時，則Na+的坐標(biāo)可表示為：

(n1,n2,n3為整數(shù))。

而Cl-

的坐標(biāo)為：

其中1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)2.氯化銫（CsCl）結(jié)構(gòu)（1）在立方體的頂角位置是Cl-，而在立方體的體心位置為Cs+，當(dāng)然，也可以將頂角Cs+，則體心為Cl-，這兩種選取是完全一樣的。（2）Cl-和Cs+各自構(gòu)成一套簡單立方結(jié)構(gòu)的子晶格，CsCl結(jié)構(gòu)是這兩個子晶格沿立方體空間對角線方向平移1/2空間對角線長度套構(gòu)而成的。所以，CsCl結(jié)構(gòu)是簡單立方結(jié)構(gòu)，而不是體心立方結(jié)構(gòu)。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)（3）CsCl結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子，其每個固體物理學(xué)原胞中包含兩個離子(一個Cs+，一個Cl-)

。（4）取立方體的頂角為Cl-，則Cs+處在立方體的體心位置，按照這種方式選取的固體物理學(xué)原胞，Cl-的坐標(biāo)為：Cs+的坐標(biāo)為：其中：

(l1,l2,l3為整數(shù)）1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)3.金剛石結(jié)構(gòu)（1）金剛石是由C原子組成的，是C的一種同素異構(gòu)。雖然，它是由一種原子組成的，但它的晶格仍然是一種復(fù)式格子。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)（2）原子除了占據(jù)立方體的頂角和面心位置外，在面心立方的晶胞內(nèi)還有4個原子，這4個原子分別位于4個空間對角線的1/4處。因此，金剛石的每個結(jié)晶學(xué)原胞（晶胞）中包含8個原子，這8個1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)原子的坐標(biāo)分別為：1個頂角原子：（0，0，0）；3個面心原子：（1/2，1/2，0），（0，1/2，1/2），（1/2，0，1/2）；4個體內(nèi)空間對角線上的原子：（1/4，1/4，1/4），（3/4，3/4，1/4），（1/4，3/4，3/4），（3/4，1/4，3/4）。（3）在金剛石結(jié)構(gòu)中，每個碳原子和其周圍4個碳原子形成共價鍵，金剛石可以看成是一系列正四面體組成的，一個碳原子處在正四面體的中心，另外4個同它形成共價鍵的碳原子處在正四面體的4個頂角位置。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)（4）在正四面體中心位置的碳原子其價鍵的取向同四面體頂角上的碳原子價鍵取向是不同的，所以，這兩種碳原子的周圍環(huán)境情況是不相同的，因此，金剛石結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子。金剛石結(jié)構(gòu)可以看成是由兩個面心立方的子晶格彼此沿空間對角線平移1/4長度套構(gòu)而成的。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)（5）金剛石結(jié)構(gòu)的固體物理學(xué)原胞選取方法同面心立方的固體物理學(xué)原胞選取方法一樣，只不過原胞中包含2個碳原子，若以原胞頂角上的原子為坐標(biāo)原點，則其原胞內(nèi)另外一個碳原子的坐標(biāo)為：在金剛石結(jié)構(gòu)中，兩個不等同的碳原子的格矢可表示為：1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)4.閃鋅礦結(jié)構(gòu)（ZnS）（1）ZnS和金剛石具有相似的結(jié)構(gòu)，但我們常稱ZnS具有“閃鋅礦結(jié)構(gòu)”。除了ZnS外，還有許多重要的化合物也具有“閃鋅礦結(jié)構(gòu)”，如：銻化銦，砷化鎵，磷化銦。（2）在ZnS晶體中，Zn和S分別組成面心立方結(jié)構(gòu)的子晶格，這兩個子晶格彼此沿空間對角線平移1/4空間對角線長度套構(gòu)而成。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)（3）如果結(jié)點選在S原子上，則S原子的坐標(biāo)矢量為：Zn原子的坐標(biāo)為：1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)5.鈣鈦礦結(jié)構(gòu)（1）鈣鈦礦結(jié)構(gòu)以CaTiO3的結(jié)構(gòu)為代表，許多鐵電、介電、壓電、光電以及高溫超導(dǎo)材料都具有鈣鈦礦結(jié)構(gòu)，如：BaTiO3,PbZrO3,LiNbO3,LiTaO3等等。（2）BaTiO3在室溫附近為鐵電相，當(dāng)溫度高于居里溫度（120℃），鐵電相轉(zhuǎn)變?yōu)轫橂娤?。順電相BaTiO3的結(jié)晶學(xué)原胞如圖所示。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)（3）整個BaTiO3晶格可以看成是由Ba、Ti、OⅠ、OⅡ、OⅢ各自構(gòu)成的簡單立方格子套構(gòu)而成的。（4）在鈣鈦礦結(jié)構(gòu)中，有一種非常重要的結(jié)構(gòu)---氧八面體結(jié)構(gòu)。鈣鈦礦結(jié)構(gòu)中氧八面體結(jié)構(gòu)和金剛石結(jié)構(gòu)中的正四面體結(jié)構(gòu)是固體物理學(xué)中兩類非常重要的典型結(jié)構(gòu)。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)（5）把BaTiO3晶胞中，OⅠ、OⅡ、OⅢ連接起來構(gòu)成一個八面體，我們稱這個全部由氧原子為頂點構(gòu)成的八面體為氧八面體。（6）如果以氧八面體結(jié)構(gòu)的角度去看BaTiO3結(jié)構(gòu)，則Ti原子處在氧八面體的中央，Ba則處在8個氧八面體的間隙里。因此，整個BaTiO3結(jié)構(gòu)可看成是由氧八面體排列而成。鈣鈦礦結(jié)構(gòu)的元胞容易變形。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)6.密堆積結(jié)構(gòu)（1）密堆積結(jié)構(gòu)只適合于同一種元素原子構(gòu)成的晶體。密堆積結(jié)構(gòu)可以最有效地占據(jù)空間。在幾何處理上，可以將原子看成是剛性的小球。密堆積分為立方密堆積（面心立方體fcc）和六方密堆積（hexagonalclose-packed,hcp）。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)（2）密堆方式：第一層：每個小球與6個小球緊密相鄰平鋪構(gòu)成第一層，在第一層，每三個小球之間存在一個間隙，每個小球周圍有6個間隙，分別標(biāo)記為間隙B和C，標(biāo)記第一層為A層，則在A層的每一個球與六個球相切堆成最密積的單層，稱為密排面。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)（3）第二層：小球放置在第一層之上的間隙B位置，其在面內(nèi)的整體排列也與第一層一樣，標(biāo)記為B層。（4）第三層：有兩種密堆積方式，分別對應(yīng)于兩種密堆積結(jié)構(gòu)：一種是fcc；另一種是hcp。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)B層（3）第三層每個球恰好在A層的正上方，與A層排列方式完全重合，即堆積方式為…ABABABAB…。（4）在理想情況下，這種結(jié)構(gòu)的晶胞高度c與底面邊長a之比為c/a=1.633，這即為六角密排結(jié)構(gòu)。Be，Mg，Ti，Zn等約30種金屬元素屬于六角密排結(jié)構(gòu)。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)B層A層c（5）第三層每個球的球心不與A層原子重合，而是放在B層的其它3個沒有被A層占據(jù)的空隙上面，形成…ABCABCABC…結(jié)構(gòu)，這就是前面所述的面心立方晶格。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)B層C層1.3.3晶體結(jié)構(gòu)中的一些重要概念1.原子半徑原子半徑r通常是指元胞中相距最近的兩個原子之間距離一半，他與晶格常數(shù)a之間有一定的關(guān)系。2.配位數(shù)（CN）是晶體中任一原子最近鄰的原子數(shù)目，是衡量晶體中原子排列的緊密程度的參數(shù)，配位數(shù)越大，晶體中原子排列越緊密。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)3.致密度（η）（1）晶體中原子所占總體積與晶體總體積之比，又稱空間利用率，也是描述晶體中原子排列緊密度的物理量。（2）若晶體慣用元胞中含有n個原子，每個原子體積為v，元胞體積為va，則致密度為：（3）配位數(shù)越大，致密度越高。致密度對晶體的性能影響很大，比如金剛石致密度較低，空隙交大，雜質(zhì)原子比較容易發(fā)生擴散，可以被應(yīng)用半導(dǎo)體制造技術(shù)中。1.3常見的晶體結(jié)構(gòu)1.4.1一般幾何圖形的線性變換操作（1）晶格中任何兩點之間的距離在對稱操作前后應(yīng)該保持不變，因此，這種操作在數(shù)學(xué)上是線性變換操作。（2）假設(shè)經(jīng)過某種操作，在這種操作過程中，參考坐標(biāo)系不動，晶體旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過操作之后，將晶格中某一點的坐標(biāo)矢量變成了1.4晶格的對稱性和對稱操作（3）在數(shù)學(xué)上，可用以下線性變換來表示：

用矩陣表示為：A為正交矩陣

I為單位矩陣。矩陣A的行列式等于1.4晶格的對稱性和對稱操作1.4.2幾種常見的線性變換1.轉(zhuǎn)動（1）按照空間群理論，晶體的對稱將圖形繞旋轉(zhuǎn)軸x1

轉(zhuǎn)動θ角，該圖中某點(x1,x2,x3)變?yōu)榱硪稽c(x’1,x’2,x’3),變換關(guān)系為：

1.4晶格的對稱性和對稱操作（2）繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ角的正交矩陣為：1.4晶格的對稱性和對稱操作2.中心反演取中心為坐標(biāo)原點，經(jīng)過中心反演后，圖形中某點(x1,x2,x3)變?yōu)?-x1-x2,-x3)，變換關(guān)系為：

x’1

=-x1,

x’2

=-x2,x’3

=-x3變換矩陣為：

1.4晶格的對稱性和對稱操作3.鏡像操作取中心為坐標(biāo)原點，經(jīng)過中心以x3=0面為鏡面，鏡象操作是將圖形某點取中心為坐標(biāo)原點，經(jīng)過中心反映后，圖形中某點(x1,x2,x3)變?yōu)?x1,x2,-x3)，變換關(guān)系為：

x’1

=x1,

x’2

=

x2,x’3

=-x3變換矩陣為：

1.4晶格的對稱性和對稱操作1.4.3晶體的基本宏觀對稱性（1）所謂晶體的宏觀對稱性是指：不包含平移操作在內(nèi)的晶體的對稱類型。（2）由于晶體受到周期性的限制，晶體只能具有為數(shù)不多的幾種宏觀對稱類型，而這些宏觀對稱類型又是由幾種基本的宏觀對稱操作元素組合而成的。1.4晶格的對稱性和對稱操作1.鏡象操作若晶體通過某一平面作鏡象操作后能自身重合，則該平面稱為反映面，常標(biāo)記為m。2.反演中心若晶體通過某一點作中心反演操作后能自身重合，則該點稱為反演中心，常標(biāo)記為i。1.4晶格的對稱性和對稱操作3.

n度旋轉(zhuǎn)對稱軸（1）晶體繞某一個固定的軸

旋轉(zhuǎn)角度θ=2π/n以后能自身重合，則稱為n度旋轉(zhuǎn)對稱軸。（2）可以證明：n只能取1，2，3，4，6；也就是說：晶體中不可能具有5度或6度以上的旋轉(zhuǎn)對稱軸。晶體的旋轉(zhuǎn)對稱軸常標(biāo)記為：1，2，3，4，6。1.4晶格的對稱性和對稱操作4.

n度旋轉(zhuǎn)---反演軸（象轉(zhuǎn)）（1）晶體繞某一個固定的軸

旋轉(zhuǎn)角度θ=2π/n以后，再經(jīng)過中心反演，若晶體能自身重合，則稱為n度旋轉(zhuǎn)---反演軸或者稱為象轉(zhuǎn)。（2）同樣，n只能取1，2，3，4，6。常用來表示n度旋轉(zhuǎn)---反演對稱軸，即：1.4晶格的對稱性和對稱操作1.4晶格的對稱性和對稱操作（3）可以證明：i為反演中心；m為垂直于該旋轉(zhuǎn)軸的反映面；；只有是獨立的。也就是說：不是基本對稱操作，它們是由一些基本對稱操作組合而成的。是一種基本對稱操作。（2）晶體的宏觀對稱性中包含8種基本對稱操作元素，即：由這8種基本對稱操作元素可以組合成32種不包括平移操作在內(nèi)的宏觀對稱類型，常稱為32種點群。1.4晶格的對稱性和對稱操作1.4.3晶體的微觀對稱性（1）對于晶體的微觀對稱性，則必須包含平移操作。在包含了平移操作以后，又出現(xiàn)了兩類基本對稱操作：n度螺旋軸和滑移反映面。（2）由8種基本對稱操作元素，再加上n度螺旋軸和滑移反映面，可以組合成230種對稱類型，常稱為230種空間群。1.4晶格的對稱性和對稱操作1.

n度螺旋軸（1）繞軸

旋轉(zhuǎn)2π/n后，再沿著該軸的方向平移的l倍，晶體能自身重合，用nl表示（其中，l為小于n的正整數(shù)，為沿軸方向上的周期矢量）。（2）晶體也只能具有1，2，3，4，6度螺旋軸。1.4晶格的對稱性和對稱操作a/2a---++01221螺旋軸31

螺旋軸2.滑移反映面經(jīng)過該面的鏡象操作后，再沿著平行于該面的某個方向平移的距離，為該方向上的周期矢量，n等于2或4，晶體能自身重合。1.4晶格的對稱性和對稱操作a/2a+++++0121.5.1基本概念（1）對于晶體的微觀對稱性，則必須晶胞基矢總是選取在對稱軸上或者對稱面的法線方向上，由此構(gòu)成了描述晶體對稱性的坐標(biāo)系，按照坐標(biāo)系的性質(zhì)，晶體可以分為7大晶系。每一種晶系又包含一種或幾種特征布拉伐晶胞，共有14種布拉伐晶胞。（2）在結(jié)晶學(xué)中，三個基矢總是選取在對稱軸或?qū)ΨQ面的法線方向上，三個基矢之間的夾角為α，β，γ。1.5晶系、布拉伐晶胞1.5晶系、布拉伐晶胞斜方晶格正方晶格六方晶格長方晶格有心長方晶格1.5.2二維晶格1.5.3七大晶系1.三斜晶系2.單斜晶系1.5晶系、布拉伐晶胞但與不正交3.三角晶系4.正交晶系1.5晶系、布拉伐晶胞5.正方晶系又稱四方晶系或者四角晶系1.5晶系、布拉伐晶胞6.六角晶系又稱四方晶系或者四角晶系7.立方晶系1.5晶系、布拉伐晶胞1.5晶系、布拉伐晶胞1.5.4說明（1）對于晶體的微觀對稱性，在歸屬某一個未知晶體結(jié)構(gòu)屬于哪一個晶系時，必須盡量反映其對稱性，也就是說：應(yīng)盡量將其歸屬到對稱性最高的晶系中去，以對稱性最高的晶胞基矢作為該晶體結(jié)構(gòu)的晶胞基矢。（2）在四角晶系中，不存在底心四角晶胞，因為底心四角晶胞與簡單四角晶胞是等價的。1.5晶系、布拉伐晶胞（3）在四角晶系中，也不存在面心四角晶胞，因為面心四角晶胞與體心四角晶胞是等價的。（4）在立方晶系中，不存在底心立方晶胞，因為，在立方晶系中所有的面都等價。（5）在立方晶系中，面心立方晶胞和體心立方晶胞是相互獨立的，不能彼此轉(zhuǎn)化，因為，轉(zhuǎn)化以后，將1.5晶系、布拉伐晶胞1.6.1晶列布拉伐格子的特點：所有格點周圍的情況都是一樣的。1.晶列的定義通過晶體點陣中任意兩個格點所連成的直線稱為晶列1.6晶面與晶向1.6晶面與晶向(1)由于具有周期性特征，一個晶列中必然包含著無限多個相同的格點，而且，晶列上格點的分布具有一定的周期性，不同的晶列具有不同的周期性。1.6晶面與晶向(2)通過任何其他格點都有一個晶列與原晶列平行，而且，具有相同的周期。這些平行的晶列組成了一個晶列族，它將空間中所有的格點都包括在內(nèi)。(3)通過一個格點可以有無限多個晶列，其中，每一個晶列都有一族平行的晶列與之對應(yīng)。1.6晶面與晶向2.晶列的性質(zhì)(1)所有彼此平行的晶列組成晶列族。1.6晶面與晶向(2)點陣中的所有結(jié)點均落在某一晶列族上，且處在同一晶列上的結(jié)點具有相同的周期性。1.6晶面與晶向(3)晶格點陣包含無窮多個晶列族，每一個晶列族將所有的結(jié)點都包括在內(nèi)。1.6晶面與晶向3.晶列的表示---晶向（1）由于每一晶列族中的晶列相互平行，并且完全等同，一族晶列的特征就是該晶列的方向，我們稱之為晶向，所以，可以采用晶列的取向來表示晶列。1.6晶面與晶向（2）取為固體物理學(xué)原胞的三個基矢，取該晶列中某一格點O為坐標(biāo)原點，則該晶列中格點A的位矢為：

l1,l2,l3為整數(shù)。

1.6晶面與晶向同一族晶列可有兩個相反的晶向，因而對應(yīng)兩個晶向指數(shù)，如果一個為，則另外一個為，可根據(jù)需要選用。（3）設(shè)l1,l2,l3的最大公約數(shù)為n,即：則用表示晶列OA。若一坐標(biāo)值為負(fù)值，則用：1.6晶面與晶向由于晶體具有對稱性，由對稱性聯(lián)系著的晶向可以只是方向不同，但它們的格點分布相同，因而可以視為等效，等效晶向可以用<l1*,l2*,l3*

>表示。

1.6晶面與晶向一般晶向指數(shù)較?。ㄖ笖?shù)絕對值）的晶列上格點分布較密，而指數(shù)較大的晶列上格點分布較稀，晶體中重要的晶列往往是晶向指數(shù)小的晶列。（4）若取結(jié)晶學(xué)原胞基矢為坐標(biāo)軸的單位矢量，取晶格中任一點為坐標(biāo)原點O，晶列中格點A的位矢量為：h’,k’,l’

為有理數(shù)，設(shè)h,k,l為三個互質(zhì)的整數(shù)，且h:k:l=h’:k’:l’,則可用[h,k,l]表示晶列OA,晶列指數(shù)總是互質(zhì)的整數(shù)。其負(fù)值為，同一指數(shù)可以取兩個完全相反的晶向。1.6晶面與晶向4.簡單立方晶格的晶向表示1.6晶面與晶向OA的晶向[100]OB的晶向[110]OC的晶向[111]立方邊共有6個不同的晶向：[100],[100],[010],[010],[001],[001]1.6晶面與晶向體對角線OC的晶向[111]，共有8條。面對角線OB的晶向[110],共有12條晶體具有對稱性，由對稱性聯(lián)系著的晶向可以只是方向不同，但它們的格點分布相同因而可以視為等效。等效晶向的全體可以用<hkl>表示。上述三組晶向可以表示為<100>，<110>，<111>1.6晶面與晶向1.6晶面與晶向一般晶向指數(shù)較?。ń^對值）的晶列上格點分布較密，而晶向指數(shù)較大的晶列上格點分布較稀疏。1.6.2晶面1.晶面定義（1）通過任何三個格點可以做一個平面，這個平面就稱為晶面。1.6晶面與晶向（2）通過任一格點，可以做全同的晶面和一晶面平行，從而構(gòu)成一族平行晶面，所有格點都在這一族平行的晶面族上，這樣的一族晶面不僅平行，而且等距，各晶面上格點的分布情況完全相同。1.6晶面與晶向（3）晶格中存在無限多族平行晶面族。晶面族可用晶面的法線方向及晶面的面間距加以表征。1.6晶面與晶向2.晶面的性質(zhì)（1）通過任一格點可以做全同的晶面與某一晶面平行，構(gòu)成一族平行晶面族。所有格點都在此平行晶面族上。1.6晶面與晶向（2）對于某一特定的晶面族，該晶面族中的所有晶面不僅平行，而且等距。（3）晶格中存在無限多族晶面族。（4）晶面族可用晶面的法線方向及晶面的面間距加以表征。1.6晶面與晶向3.晶面的表示---晶面指數(shù)（1）晶面法線方向表示方法：晶面在三個基矢方向上（即：三個坐標(biāo)軸）的截距。1.6晶面與晶向（2）先求出晶面在三個基矢方向（三個坐標(biāo)軸）上的截距；然后，將這三個截距的倒數(shù)之比化成一組互質(zhì)的整數(shù)之比，用這組互質(zhì)的整數(shù)來表征晶面。常采用(h1,h2,h3)表示晶面族，h1,h2,h3

被稱為晶面指數(shù)。1.6晶面與晶向（3）晶面法線的方向余弦之比等于該晶面在三個基矢方向上的截距的倒數(shù)之比。晶面指數(shù)實質(zhì)是晶面法線方向在三個坐標(biāo)軸上投影的互質(zhì)整數(shù)。1.6晶面與晶向（4）實際工作中，用得最多的還是結(jié)晶學(xué)原胞也常用結(jié)晶學(xué)原胞基矢為坐標(biāo)軸的單位矢量。在這樣的坐標(biāo)系中所求出的晶面指數(shù)常稱為晶面的密勒指數(shù)(hkl)表示。1.6晶面與晶向（5）晶面指數(shù)簡單的晶面族有較大的面間距，晶體容易沿著面間距較大的鏡面劈開來而表現(xiàn)出解理性。晶面指數(shù)簡單的晶面原子密度較大，在用X衍射分析時，原子密度高的晶面對射線散射強，因而衍射照片中的濃黑斑點往往與晶面指數(shù)簡單的晶面對應(yīng)。1.6晶面與晶向（6）某個晶面與某個坐標(biāo)軸上相截在坐標(biāo)軸的負(fù)方向，則采用在晶面指數(shù)上加一個負(fù)號來表示。如：

則密勒指數(shù)為。1.6晶面與晶向1.6晶面與晶向指數(shù)簡單的晶面，它們的面密度較大，晶面間距也較大，這是因為所有格點均在一族平行等間距的晶面上而無遺漏，所以面密度大的晶面，必然導(dǎo)致面間距大。1.6晶面與晶向舉例：ABC晶面ABC在三個基矢上的截距分別為：4,1,1

截距的倒數(shù)分別為：1/4,1,1晶面ABC的晶面指數(shù)為1.6晶面與晶向晶面DEF在三個基矢上的截距分別為：-3,-1,2截距的倒數(shù)分別為：-1/3,-1,1/2晶面DEF的晶面指數(shù)為DEF1.6晶面與晶向GHKM晶面MKHG在三個基矢上的截距分別為：2,4,∞

截距的倒數(shù)分別為：1/2,1/4,0晶面MKHG的晶面指數(shù)為1.6晶面與晶向立方晶系中，晶面指數(shù)和晶向指數(shù)相同的晶面和晶向，彼此相互垂直。1.6晶面與晶向1.6晶面與晶向立方晶格中與（100）、（110）、（111）面等效的晶面數(shù)分別為3個、6個和4個。(符號相反的晶面指數(shù)只在區(qū)別晶體的外表面時才有意義，在晶體內(nèi)部是等效的。){100}:(100),(010),(001){110}:(110),(011),(101),(110),(011),(101){111}:(111),(111),(111),(111)1.6晶面與晶向1.6.3立角晶系的晶向指數(shù)和晶面指數(shù)（1）以上三指數(shù)表示晶向、晶面原則上適用于任何晶系，但用于六角晶系有一個缺點：晶體具有等效的晶面、晶向不具有類似的指數(shù)。例：六棱柱的兩個相鄰的外表面在晶體學(xué)上應(yīng)是等價的，但其密勒指數(shù)卻分別為(100)和(110)。夾角為60?的密排方向是等價的，但其方向指數(shù)卻為[100]和[110]。1.6晶面與晶向（2）在晶體結(jié)構(gòu)上本來是等價的晶面卻不具有類似的指數(shù)，給研究帶來不方便。解決的辦法是引入四指數(shù)，即引入四個坐標(biāo)軸：，其中

不變，引入四指數(shù)后，晶體學(xué)上等價的晶面具有類似的指數(shù)。例如：{1010}=(1010)，(1100)，(0110)

{1120}=(1120)，(1210)，(2110)1.6晶面與晶向X1X2X3Z[1120]（0110）1.6晶面與晶向六方晶系四軸坐標(biāo)系：晶向：[u,v,w][u,v,t,w]晶面：（h,k,l）（h,k,i,l）u+v=-th+k=-i1.7.1倒格子（1）由于晶格的周期性，晶體中一族晶面的特征可以用晶面族的法線方向和晶面族面間距來表征。1.7倒格子與布里淵區(qū)（2）引入這樣一個矢量來表征晶格中某一晶面族的特征，該矢量的方向代表了晶面族的法線方向,該矢量的模量正比于晶面族面間距的倒數(shù)，我們稱這樣一個矢量為該晶面族對應(yīng)的倒易矢量。（3）倒易矢量的端點為該晶面族對應(yīng)的倒易點。在坐標(biāo)原點一定的情況下，這個倒易點就表征了晶面族的特征。（4）將每一個晶面族對應(yīng)的倒易點在空間進行無限的周期性平移就得到倒易點陣，將倒易點陣連接成網(wǎng)格狀就成了倒格子。1.7倒格子與布里淵區(qū)1.倒格子的引入（1）從坐標(biāo)原點O引晶面族ABC的法線ON,在法線上截取一段OP=ρ,使ρd=2π，(其中d為晶面族ABC的面間距）。（2）以O(shè)P為該方向的周期，作無限平移，就得到一系列新的點子。1.7倒格子與布里淵區(qū)（3）對于每一個晶面族，我們都能得到這樣一系列點子，從而，得到了一個新的點陣。此新點陣稱為原點陣的倒易點陣。1.7倒格子與布里淵區(qū)正點陣倒易點陣（4）將倒易點陣連成格子稱之為倒格子，而原來的晶格則稱為正格子。1.7倒格子與布里淵區(qū)正格子倒格子2.倒格子基矢（1）令正格子基矢為，正格子的坐標(biāo)面a1a2、a2a3、a3a1

各自有其對應(yīng)的晶面族1.7倒格子與布里淵區(qū)（2）設(shè)a1a2、a2a3、a3a1面族的面間距分別為d3、d1、d2，作使對于a2a3面，有對于a3a1面，有，這樣，我們就得到了三個矢量（倒格基矢）：1.7倒格子與布里淵區(qū)1.7倒格子與布里淵區(qū)正格矢倒格矢3.倒格子基矢與正格子基矢的關(guān)系（1）原胞的體積為Ω=Sa1a2*h,其中，Sa1a2為六面體的底面積，h為六面體的高，而h又正好等于晶面族a1a2的面間距d3，1.7倒格子與布里淵區(qū)（2）根據(jù)定義：1.7倒格子與布里淵區(qū)由于的方向與的方向一致（3）利用這一關(guān)系，我們很容易的能證明：倒格子基矢與正格子基矢之間滿足如下關(guān)系：1.7倒格子與布里淵區(qū)4.倒格子的性質(zhì)（1）倒易點陣與正點陣互為倒易關(guān)系。（2）正格子原胞體積Ω與倒格子原胞體積Ω*之間滿足關(guān)系：（3）正格子族晶面(h1h2h3)和倒格矢正交。（4）倒格矢的模量正比于晶面族(h1h2h3)面間距的倒數(shù)。（5）倒格矢與正格矢恒滿足1.7倒格子與布里淵區(qū)證明1：正格子原胞體積Ω與倒格子原胞體積Ω*之間滿足關(guān)系：證明：1.7倒格子與布里淵區(qū)1.7倒格子與布里淵區(qū)1.7倒格子與布里淵區(qū)證明2：正格子族晶面(h1h2h3)和倒格矢正交。1.7倒格子與布里淵區(qū)證明：（1）晶面族(h1h2h3)中，最靠近坐標(biāo)原點的晶面ABC在基矢上的截距為：OA,OB,OC的矢量分別為：1.7倒格子與布里淵區(qū)（2）

和兩個矢量都在ABC平面上1.7倒格子與布里淵區(qū)（3）要證明與晶面族(h1h2h3)正交，只需證明與ABC面內(nèi)兩條不互相平行的直線正交就可以了，即：只需證明：事實上，利用，很容易證明.1.7倒格子與布里淵區(qū)（4）1.7倒格子與布里淵區(qū)（5）既然，倒格矢與晶面族(h1h2h3)正交，所以，倒格矢所代表的方向就是晶面族(h1h2h3)法線方向。

證明3：倒格矢的模量正比于晶面族(h1h2h3)面間距的倒數(shù)。1.7倒格子與布里淵區(qū)證明：（1）圖中ABC面是晶面族(h1h2h3)中距離原點最近的一個晶面，因此，這一族晶面的面間距dh1h2h3

就等于原點到ABC面的垂直距離。1.7倒格子與布里淵區(qū)（2）原點O本身也是一個格點，過原點O也存在一個晶面與ABC面平行，因此，原點到ABC面的距離等于晶面族的面間距。由于晶面族(h1h2h3)法線方向可用倒格矢表示，所以：1.7倒格子與布里淵區(qū)證明4：倒格矢與正格矢恒滿足：證明：（1）晶面族(h1h2h3)中離原點距離為μdh1h2h3的晶面的晶面方程為：為晶面上任一點的位矢1.7倒格子與布里淵區(qū)（2）對于該晶面上的格矢：這一關(guān)系也不例外，因此：1.7倒格子與布里淵區(qū)反過來，如果有兩個矢量恒定滿足這一關(guān)系，而其中一個是正格矢，則另一個必定為倒格矢。5.倒格子所反映的物理本質(zhì)（1）由于晶體的周期性，晶體中任何一點的物理量也具有周期性,在數(shù)學(xué)上,它可表述為其中，為正格矢，它代表了晶體的周期性。1.7倒格子與布里淵區(qū)（2）將和同時展開為Fourier級數(shù)，則：1.7倒格子與布里淵區(qū)（3）1.7倒格子與布里淵區(qū)由于為正格矢，所以為倒格矢（3）同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的表述之間遵守Fourier變換關(guān)系。正格子與倒格子之間通過Fourier變換關(guān)系聯(lián)系起來。（4）倒格子空間中矢量模量的量綱為[m]-1

，與波矢的量綱相同，因此，倒格矢也可以理解為波矢。1.7倒格子與布里淵區(qū)（5）在物理學(xué)上，波矢空間常被稱為狀態(tài)空間，在狀態(tài)空間中，常用波矢來描述運動狀態(tài)，因此，倒格子空間常被理解為狀態(tài)空間（空間）。（6）正格子空間常被稱為坐標(biāo)空間。倒格子可以看成是正格子(晶格)在狀態(tài)空間的化身。1.7倒格子與布里淵區(qū)1.7.2布里淵區(qū)與正格子空間中的威格納----賽茲原胞選取方法相似，在倒格子空間中,做某一倒格點到它最近鄰和次近鄰倒格點連線的垂直平分面，由這些垂直平分面所圍成的多面體，該多面體的體積等于倒格子原胞的體積，該多面體所圍成的區(qū)域稱為第一布里淵區(qū)，第一布里淵區(qū)也稱為簡約布里淵區(qū)。除第一布里淵區(qū)之外，還有第二布里淵區(qū)、第三布里淵區(qū)以及更高階的布里淵區(qū)。1.7倒格子與布里淵區(qū)1.布里淵區(qū)的構(gòu)造（1）第一布里淵區(qū)：在倒易點陣中，做某一倒格點到其最近鄰倒格點及次近鄰倒格點連線的垂直平分面，由這些垂直平分面所圍成的多面體就是第一布里淵區(qū)，第一布里淵區(qū)的體積等于倒格子原胞體積。1.7倒格子與布里淵區(qū)（2）第二、第三布里淵區(qū)可以由平移倒格矢的整數(shù)倍至第一布里淵區(qū)。（3）每個布里淵區(qū)的體積都等于倒格子原胞的體積。（4）在各個布里淵區(qū)中再沒有其它倒格矢的垂直平分面通過。布里淵區(qū)應(yīng)選盡可能高的對稱性1.7倒格子與布里淵區(qū)2.二維正方格子的布里淵區(qū)二維正方格子的原胞基矢為：則其相應(yīng)的倒格子原胞基矢為：在倒格子空間中，距離原點最近的倒格點有四個，其相應(yīng)的倒格矢為這四個倒格矢的垂直平分線的方程為：由這四個垂直平分線所圍成的區(qū)域就是第一布里淵區(qū)。1.7倒格子與布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)1.7倒格子與布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)1.7倒格子與布里淵區(qū)1.7倒格子與布里淵區(qū)3.體心立方格子的布里淵區(qū)體心立方正格子原胞三個基矢為：其倒格子原胞基矢為：1.7倒格子與布里淵區(qū)（1）體心立方正格子的倒格子具有面心立方特征。（2）面心立方頂點有12個最近鄰點。1.7倒格子與布里淵區(qū)（3）體心立方正格子的第一布里淵區(qū)----菱形十二面體。1.7倒格子與布里淵區(qū)4.面心立方格子的布里淵區(qū)面心立方正格子原胞三個基矢為：其倒格子原胞基矢為：1.7倒格子與布里淵區(qū)（1）面心立方正格子的倒格子具有體心立方特征。（2）面心立方頂點有8個最近鄰點，6個次鄰頂點。1.7倒格子與布里淵區(qū)（3）面心立方正格子的簡約布里淵區(qū)是一個截角八面體(十四面體)。1.7倒格子與布里淵區(qū)假設(shè)：（1）不記及Compton效應(yīng)，即：假設(shè)入射X射線光子與電子只發(fā)生彈性散射，散射前后X射線的波長保持不變；（2）暫時不涉及復(fù)式格子，只討論簡單格子；（3）入射X射線為單色光；（4）不考慮原子的熱振動等更加細(xì)致的問題。

1.8晶體X射線衍射1.8.1布拉格反射定律1.布拉格反射方程（1）W.L.Bragg認(rèn)為：入射X射線從晶體中的平行原子面做鏡面反射，每個平行原子面只反射很少一部分X射線，當(dāng)來自平行原子面的反射發(fā)生相長干涉時，就出現(xiàn)衍射束。

1.8晶體X射線衍射（2）考慮面間距為d的平行原子面，入射X射線束位于紙平面內(nèi)，由相鄰原子面反射的X射線束的光程差為：（3）當(dāng)光程差為入射X射線波長λ的整數(shù)倍時，來自相鄰平面的反射波就發(fā)生相長干涉，即：產(chǎn)生衍射極大的條件為：

1.8晶體X射線衍射Bragg定律是點陣周期性的結(jié)果1.8.2勞厄方程（1）取格點O為坐標(biāo)原點，晶格中任一格點A的位矢為：和分別為入射X射線和衍射X射線方向的單位矢量。1.8晶體X射線衍射（2）自A作及，則光程差為：CO+DO，其中：

由于，僅討論單色X光，則衍射加強條件為：

λ為整數(shù)--------Laue方程1.8晶體X射線衍射（3）為了更進一步闡明X射線衍射的物理本質(zhì)，我們用波矢來表示Laue方程，因為：所以，Laue方程變?yōu)椋?/p>

（μ為整數(shù)）1.8晶體X射線衍射（4）為正格矢，因此，波矢可以被理解為倒格矢，而且，在量綱上正好與倒格矢的量綱相同，均為[m]-1

，由此可見，波矢同格矢是等價的。（5）令：n為整數(shù)。這就是倒格子空間中的X射線衍射方程。1.8晶體X射線衍射（6）意義：當(dāng)衍射波波矢和入射波波矢相差一個或幾個倒格矢時，就滿足衍射加強的條件。n稱為衍射指數(shù)，(h1h2h3)為晶面指數(shù)，(nh1nh2nh3)為衍射面指數(shù)。1.8晶體X射線衍射1.8.3勞厄方程與布拉格公式的等價性（1）只考慮一級衍射，即：n=1，由：可以看出：、和圍成一個三角形。由于，所以該三角形為等腰三角形，因此，的垂直平分線(虛線)必定平分和的夾角。1.8晶體X射線衍射（1）虛線既然垂直于，那么，這條虛線就代表晶面族(h1h2h3)的跡。這樣，就把衍射加強的條件形象地表達出來了。（2）可以認(rèn)為是經(jīng)過晶面(h1h2h3)的反射而形成的，衍射極大的方向恰好就是晶面族的反射方向，所以，衍射加強的條件就轉(zhuǎn)化為了晶面的反射條件。因此，兩者等價。1.8晶體X射線衍射（3）數(shù)學(xué)上也是等價的：1.8晶體X射線衍射為晶面族(h1h2h3)的面間距，n為衍射級數(shù)1.8.4X射線衍射的強度影響衍射強度的兩個最主要的因數(shù)--原子散射因子和幾何結(jié)構(gòu)因子。1.原子散射因子（1）晶體中所有原子對X光子散射波的相干迭加，而每個原子對X光子的散射又是原子內(nèi)所有電子對X光子散射的總合。不同原子對X光子的散射能力不同。

1.8晶體X射線衍射（2）原子散射因子：原子內(nèi)所有電子對X光子散射波相干迭加的振幅和一個電子對X光子散射波振幅之比。1.8晶體X射線衍射2.幾何結(jié)構(gòu)因子（1）暫時只考慮簡單格子；只考慮了晶格的周期性，沒有考慮晶體的對稱性。（2）復(fù)式格子具有相同的衍射加強條件。1.8晶體X射線衍射子晶格（3）若某子晶格在某方向出現(xiàn)衍射極大，其他子晶格也將在同一方向出現(xiàn)衍射極大。所有子晶格在該方向上的衍射極大又相互干涉。（4）總的衍射強度取決于基元內(nèi)各原子的相對位置和各原子的原子散射因子。晶體X射線衍射強度也與晶體的對稱性有關(guān)。1.8晶體X射線衍射子晶格（5）幾何結(jié)構(gòu)因子表示：在所考慮的方向上，一個結(jié)晶學(xué)原胞內(nèi)所有原子對X光子散射波的振幅與一個電子對X光子散射波之比。（6）幾何結(jié)構(gòu)因子與以下三種因數(shù)有關(guān)：(a)結(jié)晶學(xué)原胞內(nèi)各原子的原子散射因子；(b)結(jié)晶學(xué)原胞內(nèi)各原子的排列情況；(c)所考慮的方向。1.8晶體X射線衍射3.幾何結(jié)構(gòu)因子的計算（1）設(shè)為結(jié)晶學(xué)原胞內(nèi)各原子的位矢，位矢為的原子與原點處的原子對X光子散射波的位相差為：1.8晶體X射線衍射幾何結(jié)構(gòu)因子為：為結(jié)晶學(xué)原胞內(nèi)第j個原子的原子散射因子（2）對于晶面族(hkl)，其衍射極大的條件為：

其中，代表倒格子原胞基矢。式中，為有理數(shù)，代表結(jié)晶學(xué)原胞中各原子的位置坐標(biāo)。1.8晶體X射線衍射（3）1.8晶體X射線衍射（4）1.8晶體X射線衍射4.體心立方簡單格子（1）體心立方簡單格子的結(jié)晶學(xué)原胞中包含2個原子，它們的位置坐標(biāo)分別為：(0，0，0)，(1/2，1/2，1/2)。1.8晶體X射線衍射（2）由于是簡單格子，這4個原子為同種原子，設(shè)其原子散射因子為f，則對應(yīng)于(hkl)晶面族的幾何結(jié)構(gòu)因子為：1.8晶體X射線衍射（3）則對應(yīng)于晶面族(hkl)的衍射強度為：1.8晶體X射線衍射4.面心立方簡單格子面心立方簡單格子的結(jié)晶學(xué)原胞中包含4個原子，它們的位置坐標(biāo)分別為：(0，0，0)；(1/2，1/2，0)；(1/2，0，1/2)；(0，1/2，1/2)。1.8晶體X射線衍射1.8晶體X射線衍射4.金剛石結(jié)構(gòu)金剛石為復(fù)式格子，其結(jié)晶學(xué)原胞中包含8個C原子，它們的坐標(biāo)分別為：(0，0，0)；(1/4，1/4，1/4)；(1/2，1/2，0)；(1/2，0，1/2)；(0,1/2，1/2)；(1/4，3/4，3/4)；(3/4，3/4，1/4)；(3/4，1/4，3/4)1.8晶體X射線衍射(4)分子晶體：通過分子間范德瓦爾斯力結(jié)合而成的。非極性分子晶體是通過分子之間的瞬時偶極矩之間的相互作用結(jié)合而成的。極性分子晶體是通過分子中的固有偶極矩之間的相互作用以及感應(yīng)偶極矩之間的相互作用結(jié)合而成的。（5）氫鍵晶體：通過氫鍵結(jié)合而成。2.1晶體結(jié)合的普遍特征2.1.1結(jié)合力的普遍性質(zhì)（1）晶體的結(jié)合由于粒子間吸引、排斥力達到平衡，形成穩(wěn)定的晶體。這種互作用力又稱為鍵力。兩個原子間的相互作用勢能U(r)和相互作用力f(r)隨原子間距的變化規(guī)律如圖所示2.1晶體結(jié)合的普遍特征rrU(r)r0

rmf(r)OO（2）兩粒子間的互作用勢由吸引勢和排斥勢構(gòu)成:吸引勢主要是庫侖引力，表示為：(a,m大于0常數(shù))2.1晶體結(jié)合的普遍特征rrU(r)r0

rmf(r)OO（3）排斥作用起源于：（a）同性電荷之間的庫侖力；（b）由于Pauli不相容原理的限制所引起的排斥作用。排斥勢可表示為：

b是晶格參量，n是玻恩指數(shù)，都是實驗確定的常數(shù)2.1晶體結(jié)合的普遍特征rrU(r)r0

rmf(r)OO（4）兩粒子間的互作用勢可寫為：

與之對應(yīng)，兩粒子間的互作用力可表示為：2.1晶體結(jié)合的普遍特征rrU(r)r0

rmf(r)OO（5）當(dāng)兩個原子相距無限遠(yuǎn)時,互作用勢趨於零。粒子從遠(yuǎn)處靠近，互作用能降低，在r

=r0處達極小值。隨著r的進一步降低，排斥作用加強，互作用勢上升。2.1晶體結(jié)合的普遍特征rrU(r)r0

rmf(r)OO（6）當(dāng)r

=r0時，f(r0)=0，粒子間的吸引力和排斥力大小相等，系統(tǒng)處於勢能最低的穩(wěn)定狀態(tài)。r0被稱為平衡間距。（7）當(dāng)r

>r0時，吸引力大於排斥力，總作用是吸引；當(dāng)r<r0

時，排斥力大于吸引力，總作用表現(xiàn)為排斥力,f(r)>0。2.1晶體結(jié)合的普遍特征rrU(r)r0

rmf(r)OO2.1.2內(nèi)能函數(shù)（1）內(nèi)能函數(shù)：描述晶體互作用勢U(r)隨晶體體積V變化的函數(shù)。晶體互作用勢等于粒子間互作用勢之和，N個粒子的總互作用勢：因子1/2是因為u(rij)和u(rji)是相同的，求和時計算了兩次。2.1晶體結(jié)合的普遍特征（2）忽略表面粒子與體內(nèi)粒子的不同（因其數(shù)目遠(yuǎn)小于體內(nèi)粒子數(shù)）晶體的互作用勢可簡化為：晶體互作用力：當(dāng)V=V0時，F(xiàn)(V0)=02.1晶體結(jié)合的普遍特征2.1.3內(nèi)能函數(shù)與晶體的物理性質(zhì)1.晶體的結(jié)合能（點陣能）（1）組成晶體：放出能量；自由粒子：吸收能量。（2）結(jié)合能：在絕對零度時，自由粒子系統(tǒng)的能量EN與穩(wěn)定晶體的能量E0之差。EN-E0結(jié)合能大，晶體粒子間結(jié)合較強。當(dāng)選擇T=0時，EN=0，則結(jié)合能U0等於平衡體積下的內(nèi)能：U0=-U(V0)。2.1晶體結(jié)合的普遍特征2.內(nèi)能函數(shù)與平衡體積、晶格常數(shù)（1）V=V0

時，U(V)最小，晶體互作用力為0。2.1晶體結(jié)合的普遍特征V0a3.體彈性模量（1）晶體受外力時體積的變化。即?P與-?V/V之比。T=0時，彈性模量可由實驗測定。2.1晶體結(jié)合的普遍特征4.電負(fù)性電負(fù)性：衡量某種元素的原子對外層電子吸引能力，電負(fù)性愈大，表示其吸引電子的能力愈強。電負(fù)性=0.18（原子電離能+電子親和勢）。原子電離能：使一個原子失去一個最外層電子所需的能量，用來表征原子對價電子束縛的強弱程度。電子親和勢：一個中性原子獲得一個電子成為負(fù)離子所放出的能量，是表征原子束縛電子能力大小的量。2.1晶體結(jié)合的普遍特征H2.1He…Li1.0Be1.5B2.0C2.5N3.0O3.5F4.0Ne…Na0.9Mg1.2Al1.5Si1.8P2.1S2.5Cl3.0Ar…K0.8Ca1.0Sc1.3Ti1.5V1.6Cr1.6Mn1.5Fe1.8Co1.8Ni1.8Cu1.9Zn1.6Ga1.6Ge1.8As2.0Se2.4Br2.8Kr…Rb0.8Sr1.0Y1.2Zr1.4Nb1.6Mo1.8Tc1.9Ru2.2Rh2.2Pd2.2Ag1.9Cd1.7In1.7Sn1.8Sb1.9Te2.1I2.5Xe…Cs0.7Ba0.9La-Lu1.1-1.2Hf1.3Ta1.5W1.7Re1.9Os2.2Ir2.2Pt2.2Au2.4Hg1.9Tl1.8Pb1.8Bi1.9Po2.0At2.2Rn…Fr0.7Ra0.9Ac-Lr1.12.1晶體結(jié)合的普遍特征結(jié)論：同一周期元素自左至右電負(fù)性逐漸增大，同一族元素自上而下電負(fù)性逐漸減小，過渡族元素的電負(fù)性比較接近。電負(fù)性定性判斷晶體類型：（1）當(dāng)兩個成鍵原子的電負(fù)性差值較大時，晶體結(jié)合往往采取離子鍵；（2）同種原子之間的成鍵，主要是共價鍵或金屬鍵；（3）電負(fù)性差值小的原子之間成鍵主要是共價鍵。2.1晶體結(jié)合的普遍特征2.2.1離子鍵（1）離子鍵：電負(fù)性相差很大的原子靠近時，電負(fù)性小的金屬原子失去電子成為正離子，電負(fù)性大的非金屬原子得到電子成為負(fù)離子，正負(fù)離子吸引相互靠近，電子云重疊產(chǎn)生泡利排斥，正負(fù)離子吸引、排斥力達到平衡時，形成穩(wěn)定離子鍵。（2）離子晶體：由離子鍵結(jié)合成的晶體。2.2離子鍵與離子晶體（2）一對離子之間的靜電庫侖吸引勢為：一對離子之間的排斥勢為：一對正負(fù)離子的互作用勢：2.2離子鍵與離子晶體2.2.2離子晶體的結(jié)合能1.有N個離子晶體的結(jié)合能離子價為η的N個離子，第i

個離子和第j個離子間的互作用勢為：第一項為庫侖能，同號取“+”，異號取“-”，第二項為排斥能。2.2離子鍵與離子晶體第i個離子與其它N-1個個離子間的互作用勢：

忽略表面與體內(nèi)原子的差異N個離子晶體互作用勢：2.2離子鍵與離子晶體設(shè)，R是最近鄰間距：

α為馬德隆常數(shù)，當(dāng)參考距離R選定以后，可根據(jù)晶體的幾何結(jié)構(gòu)計算出來。2.2離子鍵與離子晶體（1）馬德隆常數(shù)計算（2）B的確定在平衡狀態(tài)R=R0（平衡間距），已知R0

，由得出：已知B常數(shù)，由，求出平衡體積。2.2離子鍵與離子晶體（3）n的確定NaCl結(jié)構(gòu)

平衡時晶體體積：V0=NR03體彈性模量：2.2離子鍵與離子晶體2.2離子鍵與離子晶體非NaCl型離子晶體結(jié)構(gòu)平衡時晶體體積：V0=βNR03。β是修正因子，可以得出與NaCl結(jié)構(gòu)完全類似的結(jié)果。馬德隆常數(shù)α和修正系數(shù)β都是由晶體結(jié)構(gòu)決定的常數(shù)，η是離子價數(shù)，R0可由X射線衍射實驗測出，K0體積彈性模量可由實驗得到。2.2離子鍵與離子晶體2.2離子鍵與離子晶體得到波恩指數(shù)n和晶格參數(shù)B后，可以確定晶格常數(shù)、結(jié)合能、體積彈性模量等。2.2.3離子晶體的特點熔點高、硬度強、電解電導(dǎo)、配位數(shù)高。2.2離子鍵與離子晶體2.3.1共價鍵（1）共價鍵：電負(fù)性相等或相近原子共用一對自旋相反的電子形成的化學(xué)鍵（強鍵）。注意：沒有價電子轉(zhuǎn)移。（2）共價晶體（原子晶體）：由共價鍵結(jié)合成的晶體。2.3共價鍵與原子晶體（3）根據(jù)量子理論，當(dāng)兩個處於基態(tài)的原子彼此接近到一定程度的時候，電子云相互重迭，電子公有化。這時可以形成自旋反平行的成鍵態(tài)，或者形成自旋平行的反鍵態(tài)。2.3共價鍵與原子晶體（4）成鍵態(tài)：兩電子自旋反平行，電子云在兩原子之間，兩原子相互吸引。反鍵態(tài)：兩電子自旋平行，電子云在原子兩邊，兩原子相互排斥。（5）當(dāng)兩個電子的自旋反平行時，在原子間距為r0處，勢能有一個極小值，這一原子距離r0是分子形成時的平衡距離。2.3共價鍵與原子晶體反鍵態(tài)成鍵態(tài)Ur0（6）共價鍵的特點是電子不停地在兩個相鄰的原子之間運動，為兩個原子所“共有”。共價鍵有兩個特點：一個是飽和性；一個是方向性。飽和性：自旋相反的一對電子配對后，不再與第三個電子配對。方向性：未配對電子云分布的相對取向一定盡可能使電子云重疊最大。鍵能最大，系統(tǒng)能量最低。2.3共