高中數(shù)學(xué)人教版(A版)選擇性必修-第二冊(cè)(2019)-4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第1課時(shí)-課件

4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式選擇性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列

高斯（Gauss，1777-1855)，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，

近代數(shù)學(xué)奠基者之一，并享有"數(shù)學(xué)王子"之稱(chēng).

他和阿基米德、牛頓、

歐拉并列為世界四大數(shù)學(xué)家.以他名字“高斯”命名的成果達(dá)110個(gè)，屬數(shù)學(xué)家中之最.據(jù)說(shuō)，200多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問(wèn)題：1＋2＋3＋…＋100=？當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，…，n,…前100項(xiàng)和的問(wèn)題。

在問(wèn)題中高斯運(yùn)用的是“兩兩配對(duì)”的方法，它使不同數(shù)求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相同數(shù)（即101）的求和，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，那對(duì)于一般等差數(shù)列的求和問(wèn)題，也能否這樣處理呢？思考:高斯在求和過(guò)程中利用了數(shù)列的什么性質(zhì)？

你能從中得出求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法嗎？不行，當(dāng)n不一定是偶數(shù)，這樣就不好“兩兩配對(duì)”了你能用高斯的方法求1+2+…+100+101嗎？

能否設(shè)法避免分類(lèi)討論？某倉(cāng)庫(kù)堆放的一堆鋼管(如圖)，最上面的一層有4根鋼管，下面的每一層都比上一層多一根，最下面的一層有9根，怎樣計(jì)算這堆鋼管的總數(shù)呢？假設(shè)在這堆鋼管旁邊倒放著同樣一堆鋼管．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，即

Sn=a1＋a2＋a3＋……

＋

an

再將項(xiàng)的次序反過(guò)來(lái)，Sn可以寫(xiě)成

Sn=an＋an－1＋an－2＋……

＋a1兩式兩邊分別相加，得2Sn=(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋……

＋(an

＋a1)=n

(a1＋an)由此得到等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式又因?yàn)閍n=a1＋(n－1)d，所以上述公式又可以寫(xiě)成

如果數(shù)列{an}為等差數(shù)列，那么

an＋

am

=ap＋

aq（n，m，p，q∈N+）(a1＋an)=(a2＋an－1)=(a2＋an－1)=…倒序相加發(fā)法

這個(gè)公式表明，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可由首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)唯一確定．等差數(shù)列的前項(xiàng)和n公式：

如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1，公差為d，那么該等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為：

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共有“a1，d，n，an，Sn”五個(gè)量，故知三可求其二．

如何根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)記憶公式呢？等腰梯形的面積=平行四邊形面積+三角形面積

整理,得

解得n=12或n=-5（舍去）所以n=12等差數(shù)列中的基本計(jì)算(1)利用基本量求值：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)量a1，d，n，an和Sn這五個(gè)量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問(wèn)題．解題時(shí)注意整體代換的思想．(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝結(jié)合使用．例7

已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)和是1220，求該數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：記該數(shù)列為{an}，公差為d，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，可得

S10=10a1＋45d=310，S20=20a1＋190d=1220，

解得a1=4，d=6，

因此該等差數(shù)列的前n項(xiàng)和