專題15 等腰三角形中綜合問題的探究（原卷版）

專題15等腰三角形中綜合問題的探究（原卷版）類型一等腰三角形、角平分線與平行線的知二推三模型1．（2022秋?漢壽縣期中）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周長等于邊AB與AC的和；④BF＝CF；⑤∠BFC＝90°+12∠A．①②⑤ B．①②③④ C．①②④ D．①②③⑤2．（2023秋?南宮市期末）已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于點(diǎn)E，EF∥AB交AC于點(diǎn)F．求證：△FEC是等腰三角形．3．（2020秋?播州區(qū)期末）已知△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，DE∥BC．（1）如圖1，如果點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AC＝8，求DE的長；（2）如圖2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC邊上取點(diǎn)F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的長．

類型二等腰三角形與軸對稱或垂直平分線的綜合4．（2023秋?惠東縣期末）如圖，CN是等邊△ABC的外角∠ACM內(nèi)部的一條射線，點(diǎn)A關(guān)于CN的對稱點(diǎn)為D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CN于點(diǎn)E，P．（1）求證：CD＝CB；（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆唬?）請判斷線段PB，PC與PE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．5．（2023春?鳳城市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分線，垂足為D，交AC于點(diǎn)E．（1）若∠ABE＝50°，求∠EBC的度數(shù)；（2）若△ABC的周長為43cm，BC的長為11cm，求△BCE的周長

類型三等腰三角形與翻折或旋轉(zhuǎn)變換的綜合6．如圖，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ．（1）證明：CP＝CQ；（2）求∠PCQ的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)D是AB中點(diǎn)時(shí)，請直接寫出△PDQ是何種三角形．7．（2023?昌平區(qū)二模）在等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BC上一點(diǎn)，連接DE，∠DEB＝α（30°≤α＜60°），將射線DA繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到射線DQ，點(diǎn)F是射線DQ上一點(diǎn)，且DF＝DE，連接FE，F(xiàn)C．（1）補(bǔ)全圖形；（2）求∠EDF度數(shù)；（3）用等式表示FE，F(xiàn)C的數(shù)量關(guān)系，并證明．

8．（2022春?綏棱縣校級期末）將兩個(gè)等邊三角形（每個(gè)內(nèi)角都等于60°）如圖1疊放在一起，現(xiàn)將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（旋轉(zhuǎn)角0°＜a＜360°），請?zhí)骄肯铝袉栴}：（1）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足0°＜a≤60°時(shí)，請寫出∠BCD與∠ACE的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足60°＜a≤120°時(shí)，請寫出∠BCE與∠ACD的關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)DE∥BC時(shí)請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)． 類型四平面直角坐標(biāo)系背景下的等腰三角形9．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOP為等邊三角形，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B為y軸上位于A點(diǎn)上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BP為邊向BP的右側(cè)作等邊△PBC，連接CA，并延長CA交x軸于點(diǎn)E．（1）求證：OB＝AC；（2）當(dāng)點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)時(shí)，AE的長度是否發(fā)生變化？請說明理由；（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△AEQ為等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

10．（2022秋?河北區(qū)期末）如圖，△AOB是等邊三角形，以直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，若B（a，b），且a，b滿足a+5+(b-53)2=0，點(diǎn)D為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，以為AD邊作等邊三角形ADC，CB（1）如圖1，求A點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，點(diǎn)D在y軸正半軸上，點(diǎn)C在第二象限，CE的延長線交x軸于點(diǎn)M，當(dāng)D點(diǎn)在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)是否發(fā)生變化？若不變，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；若變化，說明理由．

11．（2021春?花都區(qū)期末）“長度”和“角度”是幾何學(xué)研究的核心問題．相交線與平行線的學(xué)習(xí)，讓我們對“角度轉(zhuǎn)化”有了深刻的體會．某數(shù)學(xué)興趣小組受此啟發(fā)，試圖溝通“角度”與“長度”間的關(guān)系．在研究過程中他們發(fā)現(xiàn)了一條關(guān)于三角形的重要結(jié)論﹣﹣“等角對等邊”，即：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等．如圖，在△EBD中，若∠B＝∠D，則ED＝EB．以此為基礎(chǔ)，該興趣小組邀請你加入研究，繼續(xù)解決如下新問題：在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，0），已知（a+3）2+b-3=0，點(diǎn)C為x（1）如圖1，已知點(diǎn)D（﹣2，2），BC上有一點(diǎn)E（1，2）．則①DE與x軸的位置關(guān)系為；②求BE的長度；（2）如圖2，AH、BH分別平分∠CAB、∠CBA，過H點(diǎn)作AB的平行線，分別交AC、BC于點(diǎn)F、G．若F（m，n），G（m+4，n），求四邊形ABGF的周長；（3）當(dāng)點(diǎn)C為x軸上方的一動(dòng)點(diǎn)（不在y軸上）時(shí)，連接CA、CB．若∠CAB鄰補(bǔ)角的角平分線和∠CBA的角平分