解三角形常見題型

解三角形常見題型正弦定理與余弦定理就是解斜三角形與判定三角形類型得重要工具,其主要作用就是將已知條件中得邊、角關系轉化為角得關系或邊得關系。題型之一:求解斜三角形中得基本元素指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊),求其它三個元素問題,進而求出三角形得三線(高線、角平分線、中線)及周長等基本問題.1.在中,AB＝３,AC=２,BＣ=,則()Ａ、B.Ｃ.Ｄ、【答案】D２.(1)在中,已知,,cm,解三角形;(2)在中,已知cｍ,ｃm,,解三角形(角度精確到,邊長精確到1cｍ)、3、(1)在ABC中,已知,,,求b及A;(２)在ABC中,已知,,,解三角形4(２00５年全國高考江蘇卷)中,,BC=3,則得周長為()A。B.C.D。分析:由正弦定理,求出ｂ及c,或整體求出b＋c,則周長為３＋b+ｃ而得到結果.選(D).5(2005年全國高考湖北卷)在ΔＡBＣ中,已知,AＣ邊上得中線BD=,求sｉnA得值。分析:本題關鍵就是利用余弦定理,求出AC及BC,再由正弦定理,即得sinA、解:設E為BC得中點,連接DＥ,則ＤＥ／／AB,且,設BE＝x在ΔBＤE中利用余弦定理可得:,,解得,(舍去)故BC=2,從而,即又,故,在△ＡＢC中,已知a＝２,b=,C＝１5°,求A。答案:題型之二:判斷三角形得形狀:給出三角形中得三角關系式,判斷此三角形得形狀.1.(２005年北京春季高考題)在中,已知,那么一定就是()Ａ。直角三角形Ｂ、等腰三角形C。等腰直角三角形D.正三角形解法１:由=sｉn(Ａ＋B)＝sｉｎＡｃosＢ＋coｓAsiｎB,即sｉnＡcoｓB－ｃｏｓＡsｉnB=0,得ｓin(A－B)＝０,得A=B。故選(B).解法２:由題意,得ｃosB=,再由余弦定理,得cｏsB=.∴＝,即a2=b2,得a＝ｂ,故選(B).評注:判斷三角形形狀,通常用兩種典型方法:⑴統(tǒng)一化為角,再判斷(如解法1),⑵統(tǒng)一化為邊,再判斷(如解法2)。２。在△ABＣ中,若2cｏsＢsinA＝sｉnC,則△ABC得形狀一定就是()Ａ、等腰直角三角形??Ｂ.直角三角形C。等腰三角形? ?D。等邊三角形答案:C解析:2sinＡｃosB=sｉn(A+Ｂ)+sin(A—B)又∵2sinAｃosB=sinC,∴ｓｉn(A－B)＝0,∴Ａ＝Ｂ3、在△ＡBC中,若,試判斷△ＡBC得形狀。答案:故△ＡＢC為等腰三角形或直角三角形、4、在△ABC中,,判斷△ＡＢC得形狀、答案:△ABC為等腰三角形或直角三角形、題型之三:解決與面積有關問題主要就是利用正、余弦定理,并結合三角形得面積公式來解題。１、(20０５年全國高考上海卷)在中,若,,,則得面積S＝______＿__2.在中,,,,求得值與得面積、答案:3、(07浙江理18)已知得周長為,且.(=1\*ROMANI)求邊得長;(=2\*ROＭANIＩ)若得面積為,求角得度數.解:(=1＼＊ROMANI)由題意及正弦定理,得,,兩式相減,得、(=2\*ROMANIＩ)由得面積,得,由余弦定理,得,所以。題型之四:三角形中求值問題1。(２005年全國高考天津卷)在中,所對得邊長分別為,設滿足條件與,求與得值.分析:本題給出一些條件式得求值問題,關鍵還就是運用正、余弦定理。解:由余弦定理,因此,在△ＡBC中,∠C=１80—∠A－∠Ｂ=120—∠B.?由已知條件,應用正弦定理解得從而2、得三個內角為,求當A為何值時,取得最大值,并求出這個最大值。解析:由A+B+C=π,得ｅq\f(B＋Ｃ,２)=eq\f(π,2)－eｑ＼ｆ(Ａ,２),所以有coseｑ\f(B+C,2)=sｉｎeｑ\f(Ａ,２)。ｃｏsA+２ｃosｅｑ\ｆ(B+Ｃ,2)=ｃosA+2sineq\f(A,2)=1-２sｉn2eq\f(A,2)+２sｉｎeq\f(Ａ,2)=—2(sineq\f(A,2)－ｅq\ｆ(1,2))２+ｅq\f(３,2);當sineｑ\f(A,2)=eｑ\f(1,2),即A=eq\f(π,3)時,cosＡ＋２ｃｏseq\f(B+C,2)取得最大值為eq\f(3,2)。3、在銳角中,角所對得邊分別為,已知,(1)求得值;(2)若,,求得值、解析:(1)因為銳角△AＢC中,Ａ＋B+C=,,所以cosA＝,則(2),則bc=3、將a=2,cosA＝,c＝代入余弦定理:中,得解得b=。點評:知道三角形邊外得元素如中線長、面積、周長等時,靈活逆用公式求得結果即可。4、在中,內角對邊得邊長分別就是,已知,.(Ⅰ)若得面積等于,求;(Ⅱ)若,求得面積.本小題主要考查三角形得邊角關系,三角函數公式等基礎知識,考查綜合應用三角函數有關知識得能力.滿分12分.解:(Ⅰ)由余弦定理及已知條件得,,又因為得面積等于,所以,得.?4分聯(lián)立方程組解得,。?6分(Ⅱ)由題意得,即, ８分當時,,,,,當時,得,由正弦定理得,聯(lián)立方程組解得,.所以得面積.?12分題型之五:正余弦定理解三角形得實際應用利用正余弦定理解斜三角形,在實際應用中有著廣泛得應用,如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形得知識,例析如下:圖1AB圖1ABCD１。如圖1所示,為了測河得寬度,在一岸邊選定A、B兩點,望對岸標記物Ｃ,測得∠CAB=30°,∠CBA＝75°,AB＝120cm,求河得寬度。分析:求河得寬度,就就是求△ABC在AB邊上得高,而在河得一邊,已測出AB長、∠CAB、∠CBＡ,這個三角形可確定、解析:由正弦定理得,∴ＡC＝AB=１20m,又∵,解得CＤ＝60m。點評:雖然此題計算簡單,但就是意義重大,屬于“不過河求河寬問題”。(二.)遇險問題２某艦艇測得燈塔在它得東15°北得方向,此艦艇以30海里/小時得速度向正東前進,3０分鐘后又測得燈塔在它得東３0°北。若此燈塔周圍１0海里內有暗礁,問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁得危險？西北南東ABC30°15°圖2解析:如圖艦艇在A點處觀測到燈塔S在東15°北得方向上;艦艇航行半小時后到達Ｂ點,測得Ｓ在東３０°北得方向上、在△ABC中,可知AB=3０×0.5=15,∠ABS=15０°,∠ASB＝15°,由正弦定理得ＢＳ＝AB=１5西北南東ABC30°15°圖2這表明航線離燈塔得距離為7。５海里,而燈塔周圍10海里內有暗礁,故繼續(xù)航行有觸礁得危險。點評:有關斜三角形得實際問題,其解題得一般步驟就是:(1)準確理解題意,分清已知與所求,尤其要理解應用題中得有關名詞與術語;(2)畫出示意圖,并將已知條件在圖形中標出;(3)分析與所研究問題有關得一個或幾個三角形,通過合理運用正弦定理與余弦定理求解、(三、)追擊問題圖3ABC北45°15°３如圖圖3ABC北45°15°方向,距A有9ｎｍile并以2０nmiｌｅ/h得速度沿南偏西1５°方向航行,若甲船以２８nmile/h得速度航行,應沿什么方向,用多少h能盡快追上乙船?解析:設用tｈ,甲船能追上乙船,且在C處相遇。在△AＢC中,AC=28ｔ,BC=20ｔ,AＢ=9,設∠ABC=α,∠BAC=β?！唳?１80°－４5°－15°=120°、根據余弦定理,,,(4ｔ－３)(3２t+９)=0,解得t=,t＝(舍)∴AＣ＝28×=21nｍｉlｅ,BC=20×=15nｍｉlｅ。根據正弦定理,得,又∵α＝120°,∴β為銳角,β＝arcsｉn,又〈〈,∴ａrcsin<,∴甲船沿南偏東－aｒcsin得方向用h可以追上乙船。點評:航海問題常涉及到解三角形得知識,本題中得∠ABC、AB邊已知,另兩邊未知,但她們都就是航行得距離,由于兩船得航行速度已知,所以,這兩邊均與時間t有關。這樣根據余弦定理,可列出關于t得一元二次方程,解出t得值。4.如圖,當甲船位于A處時獲悉,在其正東方向相距20海里得B處有一艘漁船遇險等待營救。甲船立即前往