對數(shù)與對數(shù)函數(shù)考點解讀

根底梳理1．對數(shù)的概念(1)對數(shù)的定義一般地，對于指數(shù)式ab＝N，我們把“以a為底N的對數(shù)b〞記作loga，即b＝logaN(a＞0，且a≠1)．其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．(2)幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為a(a＞0且a≠1)log常用對數(shù)底數(shù)為10lgN自然對數(shù)底數(shù)為eln_N2.對數(shù)的性質(zhì)與運算法那么(1)對數(shù)的性質(zhì)①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0且a≠1)．(2)對數(shù)的重要公式①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad.(3)對數(shù)的運算法那么如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM.3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象續(xù)表性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R過點(1,0)當x＞1時，y＞0當0＜x＜1，y＜0當x＞1時，y＜0當0＜x＜1時，y＞0是(0，＋∞)上的增函數(shù)是(0，＋∞)上的減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．一種思想對數(shù)源于指數(shù)，指數(shù)式和對數(shù)式可以互化，對數(shù)的性質(zhì)和運算法那么都可以通過對數(shù)式與指數(shù)式的互化進行證明．兩個防范解決與對數(shù)有關(guān)的問題時，(1)務必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍．三個關(guān)鍵點畫對數(shù)函數(shù)的圖象應抓住三個關(guān)鍵點：(a,1)，(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).四種方法對數(shù)值的大小比擬方法(1)化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性．(2)作差或作商法．(3)利用中間量(0或1)．(4)化同真數(shù)后利用圖象比擬．雙基自測1．(2023·四川)2log510＋log50.25＝()．A．0B．1解析原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.答案C2．(人教B版教材習題改編)a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，那么a，b，cA．a(chǎn)＜b＜cB．a(chǎn)＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b解析將三個數(shù)都和中間量1相比擬：0＜a＝log0.70.8＜1，b＝log1.10.9＜0，c＝1.10.9答案C3．(2023·黃岡中學月考)函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的值域為()．A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析設(shè)y＝f(x)，t＝3x＋1.那么y＝log2t，t＝3x＋1，x∈R.由y＝log2t，t>1知函數(shù)f(x)的值域為(0，＋∞)．答案A4．(2023·汕尾模擬)以下區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝|ln(2－x)|在其上為增函數(shù)的是()．A．(－∞，1]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(4,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))D．[1,2)解析法一當2－x≥1，即x≤1時，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此時函數(shù)f(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減．當0＜2－x≤1，即1≤x＜2時，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此時函數(shù)f(x)在[1,2)上單調(diào)遞增，應選D.法二f(x)＝|ln(2－x)|的圖象如下圖．由圖象可得，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2)上為增函數(shù)，應選D.答案D5．假設(shè)logaeq\f(2,3)>1，那么a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))考向一對數(shù)式的化簡與求值【例1】?求值：(1)eq\f(log89,log23)；(2)(lg5)2＋lg50·lg2；(3)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245).[審題視點]運用對數(shù)運算法那么及換底公式．解(1)原式＝eq\f(log2332,log23)＝eq\f(2,3).(2)原式＝(lg5)2＋lg(10×5)lgeq\f(10,5)＝(lg5)2＋(1＋lg5)(1－lg5)＝(lg5)2＋1－(lg5)2＝1.(3)法一原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).法二原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg(7eq\r(5))＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)與指數(shù)互為逆運算，對數(shù)的運算可根據(jù)對數(shù)的定義、對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)恒等式和對數(shù)的換底公式進行．在解決對數(shù)的運算和與對數(shù)的相關(guān)問題時要注意化簡過程中的等價性和對數(shù)式與指數(shù)式的互化．【訓練1】(1)假設(shè)2a＝5b＝10，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值．(2)假設(shè)xlog34＝1，求4x＋4－x的值．解(1)由a＝log210，b＝log510，那么eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝lg2＋lg5＝lg10＝1.(2)由x＝log43，那么4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3).考向二對數(shù)值的大小比擬【例2】?f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是增函數(shù)，設(shè)a＝f(log47)，b＝f(logeq\f(1,2)3)，c＝f(0.2－0.6)，那么a，b，c的大小關(guān)系是()．A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a(chǎn)＜b＜c[審題視點]利用函數(shù)單調(diào)性或插入中間值比擬大?。馕鰈ogeq\f(1,2)3＝－log23＝－log49，b＝f(logeq\f(1,2)3)＝f(－log49)＝f(log49)，log47＜log49,0.2－0.6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))－eq\f(3,5)＝eq\r(5,125)＞eq\r(5,32)＝2＞log49，又f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是增函數(shù)，故f(x)在[0，＋∞)上是單調(diào)遞減的，∴f(0.2－0.6)＜f(logeq\f(1,2)3)＜f(log47)，即c＜b＜a，應選B.答案B一般是同底問題利用單調(diào)性處理，不同底問題的處理，一般是利用中間值來比擬大小，同指(同真)數(shù)問題有時也可借助指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象來解決．【訓練2】(2023·全國)設(shè)a＝log32，b＝ln2，c＝5－eq\f(1,2)，那么()．A．a(chǎn)＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a解析法一a＝log32＝eq\f(1,log23)，b＝ln2＝eq\f(1,log2e)，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c＝5－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(5))，而eq\r(5)＞2＝log24＞log23，所以c＜a，綜上c＜a＜b，應選C.法二a＝log32＝eq\f(1,log23)，b＝ln2＝eq\f(1,log2e)，1＜log2e＜log23＜2，∴eq\f(1,2)＜eq\f(1,log23)＜eq\f(1,log2e)＜1；c＝5－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(5))＜eq\f(1,\r(4))＝eq\f(1,2)，所以c＜a＜b，應選C.答案C考向三對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應用【例3】?函數(shù)f(x)＝loga(2－ax)，是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)在[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù)，假設(shè)存在，求a的取值范圍．[審題視點]a＞0且a≠1，問題等價于在[0,1]上恒有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1,2－ax＞0)).解∵a＞0，且a≠1，∴u＝2－ax在[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù)．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù)，∴函數(shù)y＝logau是關(guān)于u的增函數(shù)，且對x∈[0,1]時，u＝2－ax恒為正數(shù)．其充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1,2－a＞0))，即1＜a＜2.∴a的取值范圍是(1,2)．研究函數(shù)問題，首先考慮定義域，即定義域優(yōu)先的原那么．研究復合函數(shù)的單調(diào)性，一定要注意內(nèi)層與外層的單調(diào)性問題．復合函數(shù)的單調(diào)性的法那么是“同增異減〞．此題的易錯點為：易忽略2－ax＞0在[0,1]上恒成立，即2－a＞0.實質(zhì)上是忽略了真數(shù)大于0的條件．【訓練3】f(x)＝log4(4x－1)(1)求f(x)的定義域；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域．解(1)由4x－1>0解得x>0，因此f(x)的定義域為(0，＋∞)．(2)設(shè)0<x1<x2，那么0<4x1－1<4x2－1，因此log4(4x1－1)<log4(4x2－1)，即f(x1)<f(x2)，f(x)在(0，＋∞)上遞增．(3)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上遞增，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，f(2)＝log415，因此f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域為[0，log415]．難點突破5——與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)求值問題有關(guān)的解題根本方法指數(shù)與對數(shù)函數(shù)問題，高考中除與導數(shù)有關(guān)的綜合問題外，一般還出一道選擇或填空題，考查其圖象與性質(zhì)，其中與求值或取值范圍有關(guān)的問題是熱點，難度雖然不大，但要