復變函數(shù)與積分變換課件

解析函數(shù)

2.1複變函數(shù)的導數(shù)與微分2.1.1複變函數(shù)的導數(shù)定義1

設函數(shù)在包含的某區(qū)域內有定義，當變數(shù)在點處取得增量時，相應地，函數(shù)取得增量若極限

（或）（2.1）存在，則稱在點處可導，此極限值稱為在點處的導數(shù)，記作或，即如果函數(shù)在區(qū)域內每一點都可導，則稱在內可導.

例1

求函數(shù)的導數(shù)（為正整數(shù)）.解因為

所以，由導數(shù)定義有

例2

求的導數(shù).解由例12.1.2可導與連續(xù)的關係若函數(shù)在點處可導，則在點處必連續(xù).證因為知，故在點處連續(xù).2.1.3複變函數(shù)的微分定義2稱函數(shù)的改變量的線性部分為函數(shù)在點處的微分，記作

或，即當時，，所以在點處的微分又可記為

亦即由此可知，函數(shù)在點處可導與可微是等價的.2.1.4導數(shù)運算法則複變函數(shù)的求導法則（以下出現(xiàn)的函數(shù)均假設可導）：（1）其中為複常數(shù)；（2）其中為正整數(shù)；（3）；（4）（5）；（6）；

（7）是兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且..例3

求下列函數(shù)的導數(shù).（1）（2）

解（1）（2）例4

設.解因為所以第2章解析函數(shù)

2.2解析函數(shù)的概念

2.2.1解析函數(shù)的定義及其性質1.解析函數(shù)的定義定義3如果函數(shù)不僅在點處可導，而且在點的某鄰域內的每一點都可導，則稱在點處解析，並稱點是函數(shù)的解析點；如果函數(shù)在區(qū)域內每一點都解析，則稱在區(qū)域內解析或稱為區(qū)域內的解析函數(shù)，區(qū)域稱為的解析區(qū)域.如果在點處不解析，但在的任一鄰域內總有的解析點,則稱為的奇點.例1討論函數(shù)的解析性.解由例2知，在整個複平面內處處可導且，則由函數(shù)在某區(qū)域內解析的定義可知，函數(shù)在整個複平面上解析.2.解析函數(shù)的運算性質：（1）若函數(shù)和在區(qū)域內解析，則、、在

內也解析；（2）若函數(shù)在區(qū)域內解析，而在區(qū)域內解析，且，則複合函數(shù)在內也解析，且..2.2.2函數(shù)解析的充要條件定理１

設函數(shù)在區(qū)域內有定義，則在內解析的充分必要條件為在內任一點處（1）可微；（2）滿足上式稱為柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）條件（或方程），簡稱C—R條件（或方程）.定理２

函數(shù)在區(qū)域內解析的充要條件為（1）在內連續(xù)；（2）在內滿足C—R條件，例2討論函數(shù)的可導性，並求其導數(shù).解由得則

顯然，在複平面內和的偏導數(shù)處處連續(xù)，且即和處處滿足C—R條件且處處可微，所以，在複平面內處處可導且.例3

討論函數(shù)的可導性.解因為得

顯然，、處處具有一階連續(xù)偏導數(shù)，但僅當時，、滿足C—R條件.因此，僅在點處可導.例4證明在複平面上不可微.證由於，於是，從而

顯然，對複平面上任意一點，都不滿足C—R條件，所以在整個複平面上不可微.例5

討論下列函數(shù)的解析性.

（1）；

（2）；（3）.解（1）設因為且這四個偏導數(shù)處處連續(xù)，故在複平面上處處解析.（2）因為，設，而所以在複平面上處處不解析．（3）因為設，由於

這四個偏導數(shù)雖然處處連續(xù)，但C—R條件僅在原點處成立，因而函數(shù)在複平面內的原點處可導，其他點不可導，可知該函數(shù)在複平面上處處不解析.第2章解析函數(shù)

2.3初等函數(shù)及其解析性2.3.1指數(shù)函數(shù)定義4

複變數(shù)的指數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的一些重要性質：（1）指數(shù)函數(shù)在整個的有限平面內都有定義，且處處不為零.（2）（3）指數(shù)函數(shù)是以為週期的週期函數(shù)．（4）指數(shù)函數(shù)在整個複平面上解析，且有（2）2.3.2對數(shù)函數(shù)定義5

對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).若，則稱是的對數(shù)函數(shù)，記作．對數(shù)函數(shù)是一個多值函數(shù)，每一個對應著多個的值.若令，則上式中的多值函數(shù)便成為了單值函數(shù)，則稱這個單值函數(shù)為多值函數(shù)的主值，記作，即．

例1

求.解因為的模為，其輻角的主值為，所以而又因為的模為，而其輻角的主值為，所以

複變數(shù)對數(shù)函數(shù)具有與實變數(shù)對數(shù)函數(shù)同樣的基本性質：（1）（2）（3）（4）；

（5）對數(shù)函數(shù)的解析性可以證明在除去原點與負實軸的平面內解析，所以的各個分支也在除去原點與負實軸的平面內解析（因的每一個單值連續(xù)分支與只相差一個複常數(shù)），且

2.3.3冪函數(shù)定義6

設為任意複常數(shù)，定義一般冪函數(shù)為它是指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的複合函數(shù)，是多值函數(shù)(因是多值的).冪函數(shù)的幾種特殊情形：（1）當為整數(shù)時，，是與無關的單值函數(shù)（（為正整數(shù)）時，為的次乘方，當（為正整數(shù)）時，）；）；（2）當為有理數(shù)時（為既約分數(shù)，），

只有個不同的值，即當取時的對應值，因此，.（3）當為無理數(shù)或複數(shù)時，有無窮多個值.此時的與根式函數(shù)的區(qū)別是：是無窮多值函數(shù)，而是值函數(shù).冪函數(shù)的解析性：（1）當（為正整數(shù)）時，在整個複平面內單值解析，且；（2）當（為正整數(shù)）時，在除原點的複平面內解析，且（3）當（為整數(shù)）時，由於對數(shù)函數(shù)的各個分支在除去原點和負實軸的複平面內解析，因而的各個分支在除去原點和負實軸的複平面內也是解析的，且.例2求.解例3求.解

例4求.解所以的三個值分別為.2.3.4三角函數(shù)定義7

設為任一複變數(shù)，稱與分別為複變數(shù)的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，分別記為與，即正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質：（1）與都是以為週期的週期函數(shù)，即

=，（2）為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，即對任意的有（3）實變函數(shù)中的三角恒等式，在複變函數(shù)中依然成立，如

（4）和都是無界的.

因為可見，當無限增大時，趨於無窮大，同理可知，也是無界的.（5），在複平面內均為解析函數(shù)，且其他四個三角函數(shù)，利用和來定義：例5求.解根據(jù)定義，有

.2.3.5反三角函數(shù)定義8如果，則稱分別為的反正弦、反余弦、反正切函數(shù)，分別記為反三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的關係：（1）（2）（3）

複變函數(shù)的積分1瞭解複變函數(shù)積分的概念;2瞭解複變函數(shù)積分的性質;3掌握積分與路經無關的相關知識;4熟練掌握柯西—古薩基本定理;5會用複合閉路定理解決一些問題;6會用柯西積分公式;7會求解析函數(shù)的高階導數(shù).複變函數(shù)的積分

3.1複變函數(shù)積分的概念3.1.1積分的定義本章中,我們將給出複變函數(shù)積分的概念,然後討論解析函數(shù)積分的性質,其中最重要的就是解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式。這些性質是解析函數(shù)積分的基礎,借助於這些性質,我們將得出解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)這個重要的結論。3.1.2積分存在的條件及其計算方法1)當是連續(xù)函數(shù)且是光滑(或按段光滑)曲線時，積分是一定存在的。2)可以通過兩個二元實變函數(shù)的積分來計算。3.1.3積分的性質從積分的定義我們可以推得積分有下列一些簡單性質，它們是與實變函數(shù)中曲線積分的性質相類似的.我們把簡單閉曲線的兩個方向規(guī)定為正向和負向.所謂簡單閉曲線的正向是指當順此方向沿該曲線前進時，曲線的內部始終位於曲線的左方，相反的方向規(guī)定為簡單閉曲線的負向.以後遇到積分路線為簡單閉曲線的情形，如無特別聲明，總是指曲線的正向.3.1.3積分的性質

1234例1計算其中為從原點到點的直線段。解直線的方程可寫成又因為容易驗證，右邊兩個線積分都與路線無關，所以的值無論是怎樣的曲線都等於例2計算其中為以中心，為半徑的正向圓周,為整數(shù).解:的方程可寫成所以因此例3計算的值，其中為沿從（0，0）到（1，1）的線段：解:例4計算的值，其中為沿從（0，0）到（1，1）的線段與從（1，0）到（1，1）的線段所連結成的折線。解:3.2柯西—古薩（Cauchy—Goursat）基本定理3.2.1積分與路經無關問題積分的值與路經無關，或沿封閉的曲線的積分值為零的條件，可能與被積分函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關.柯西—古薩（Cauchy—Goursat）基本定理如果函數(shù)在單連域內處處解析，那末函數(shù)沿內的任何一條簡單閉曲線的積分值為零。即

3.2.3幾個等價定理定理一如果函數(shù)在單連域內處處解析，那末積分與連結從起點到終點的路線無關.定理二如果函數(shù)在單連域內處處解析，那末函數(shù)必為內的解析函數(shù),並且原函數(shù)的概念下麵，我們再來討論解析函數(shù)積分的計算。首先引入原函數(shù)的概念：結論：的任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)。利用原函數(shù)的這個關係，我們可以推得與牛頓—萊布尼茲公式類似的解析函數(shù)積分的計算公式。定理三如果函數(shù)在單連域內處處解析，為的一個原函數(shù)，那末這裏為區(qū)域內的兩點。例5計算解：例6計算解：例7計算解：例8計算解：3.3基本定理的推廣—複合閉路定理我們可以把柯西—古薩基本定理推廣到多連域的情況.在區(qū)域內的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值，這一重要事實，稱為閉路變形原理.

例9計算的值，為包含圓周在內的任何一條正向簡單閉曲線。解:3.4柯西積分公式定理(柯西積分公式)如果函數(shù)在區(qū)域內處處解析，為內的任何一條正向簡單閉曲線,它的內部完全含於,為內的任一點,那末

(3.4.1)公式(3.4.1)稱為柯西積分公式.通過這個公式就可以把一個函數(shù)在內部任何一點的值,用它在邊界上的值來表示.例10計算(沿圓周正向)

解由公式(3.4.1)得例11計算(沿圓周正向)

解由公式(3.4.1)得柯西積分公式不但提供了計算某些複變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出瞭解析函數(shù)的一個積分運算式,是研究解析函數(shù)的有力工具(見3.5解析函數(shù)的高階導數(shù)).一個解析函數(shù)在圓心處的值等於它在圓周上的平均值.3.5解析函數(shù)的高階導數(shù)一個解析函數(shù)不僅有一階導數(shù),而且有各高階導數(shù).這一點與實變函數(shù)完全不同,因為一個實變函數(shù)的可導性不保證導數(shù)的連續(xù)性,因而不能保證高階導數(shù)的存在,關於解析函數(shù)的高階導數(shù)我們有下麵的定理定理解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù),它的階導數(shù)為:其中為在函數(shù)的解析區(qū)域內圍繞的任何一條正向簡單閉曲線,而且它的內部完全含於.例12計算其中為正向圓周:

解:由公式(3.5.1)得

級數(shù)本章學習目標瞭解冪級數(shù)的概念;會求泰勒級數(shù);會把函數(shù)在展開成冪級數(shù);知道冪級數(shù)和羅倫級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)繫;會求函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù).4.1冪級數(shù)4.1.1冪級數(shù)的概念同實變函數(shù)一樣,關於冪級數(shù)也有:1.收斂圓與收斂半徑2.級數(shù)在其收斂圓內有如下性質:1)可以逐項求導.2)可以逐項積分.3)在收斂圓內,冪級數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù).例1求的收斂半徑(並討論在收斂圓周上的情形)解:因為所以,收斂半徑即原級數(shù)在圓內收斂,在圓外發(fā)散.在圓周上,原級數(shù)收斂,所以原級數(shù)在收斂圓內和收斂圓周上處處收斂.4.1.2泰勒級數(shù)我們經常利用泰勒展開式的唯一性及冪級數(shù)的運算和性質(級數(shù)在其收斂圓內可以逐項求導,可以逐項積分)來把函數(shù)展開成冪級數(shù),即利用間接的方法,把函數(shù)展開成冪級數(shù).4.1.2泰勒級數(shù)

定理一若函數(shù)在圓盤內解析,則在該圓盤內可展成的冪級數(shù),這種展式是唯一的,且為

(4.1.3)

或其中這個公式(4.1.3)稱為在的泰勒展開式,它的右端稱為在的泰勒級數(shù),稱為泰勒係數(shù).利用泰勒展開式,我們可以直接通過計算係數(shù),把函數(shù)展開成冪級數(shù).(4.1.4)(4.1.5)

(4.1.6)

(4.1.7)1.只要函數(shù)在圓盤內解析,就可在展開成泰勒級數(shù);2.此時泰勒級數(shù),泰勒展開式,的冪級數(shù)為同意語;3.若在平面內處處解析,則;4.若只在區(qū)域內解析,為內的一點,則在的泰勒展開式的收斂半徑等於到的邊界上各點的最短距離;5.若在平面上除若干孤立奇點外內處處解析,則等於到最近的孤立奇點的距離.例2把函數(shù)展開成的冪級數(shù)解:函數(shù)在內處處解析,由公式(4.1.7)把上式兩邊逐項求導,即得所求的展開式羅倫級數(shù)定理二設函數(shù)在圓環(huán)域,內處處解析,那末

(4.2.1)其中

(4.2.2)4.2羅倫級數(shù)冪級數(shù)在其收斂圓內具有的許多性質在收斂圓環(huán)域:內的羅倫級數(shù)也具有.1.在收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù)可以逐項求導,2.在收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù)可以逐項積分,3.在收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù)求羅倫展開式的係數(shù)羅倫展開式的係數(shù)用公式(4.2.2)計算是很麻煩的,由羅倫級數(shù)的唯一性,我們可用別的方法,特別是代數(shù)運算,代換,求導和積分等方法展開,這樣往往必將便利(即間接展開法).同一個函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù)一般不同;由羅倫級數(shù)的唯一性可知,同一個函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù)一定相同.例3把函數(shù)展開成的級數(shù)解:因為所以例4把函數(shù)在收斂圓環(huán)域內展開成羅倫級數(shù).解:因為所以,

例5把函數(shù)在收斂圓環(huán)域內展開成羅倫級數(shù).解:因為所以,

例5把函數(shù)在收斂圓環(huán)域內展開成羅倫級數(shù).解:因為所以,

通過例3、例4、例5可知同一個函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù)一般不同;由羅倫級數(shù)的唯一性可知,同一個函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內的羅倫級數(shù)一定相同.

留數(shù)

本章學習目標1.瞭解孤立奇點的概念;2.會求可去奇點,本性奇點;3.熟練掌握極點的求法;4.會求留數(shù);5.熟練掌握留數(shù)定理;6.會用留數(shù)定理計算積分;7.瞭解留數(shù)的一些應用;5.1孤立奇點5.1.1孤立奇點的概念5.1.2孤立奇點的分類根據(jù)展開的羅倫級數(shù)的不同情況將孤立奇點作如下分類:1.可去奇點2.極點3.本性奇點5.1孤立奇點5.1.1孤立奇點的概念定義1如果函數(shù)在處不解析,但在的某個去心鄰域內處處解析,那末稱為的孤立奇點.1可去奇點定義2如果羅倫級數(shù)中不含的負冪項,那麼孤立奇點稱為的可去奇點.這時在它的孤立奇點的去心鄰域內的羅倫級數(shù)實際上就是一個普通的冪級數(shù)例如是的可去奇點因為在的去心鄰域內的羅倫級數(shù)為2極點定義3如果的羅倫級數(shù)中只有有限多個的負冪項,且其中關於的最高冪為,即那麼孤立奇點稱為的級極點.3本性奇點定義4如果羅倫級數(shù)中含有無窮多個的負冪項,那麼孤立奇點稱為的本性奇點.5.1.3函數(shù)的零點與極點的關係定理(1)如果是的級零點,則是的級零點;(2)如果是的級極點,則是的級零點,反過來也成立.例1試求的孤立奇點解因為其中在解析,並且似乎是函數(shù)的二級極點,其實是一級極點.由此可見,我們在求函數(shù)孤立奇點時,不能一看函數(shù)的表面形式就急於做出結論.例2試求的孤立奇點解:因為其中在解析,並且似乎是函數(shù)的三級極點,其實是二級極點.由此可見,我們在求函數(shù)孤立奇點時,不能一看函數(shù)的表面形式就急於做出結論.5.2留數(shù)5.2.1留數(shù)概念5.2.2留數(shù)定理定理一(留數(shù)定理)設函數(shù)在區(qū)域內除有限個孤立奇點處處解析.是內包含諸奇點的任意一條正向簡單閉曲線,則

(5.2.2)一、如果是的可去奇點,那末因為此時在的展開式是泰勒展開式,所以.二、如果是的本性奇點,那末那就往往只能用在展開成羅倫級數(shù)的方法求三、如果是的極點我們有以下三個計算留數(shù)的規(guī)則.規(guī)則1如果是的一級極點，那末

（5.2.3）三、如果是的極點規(guī)則2如果是的級極點，那末

（5.2.4）規(guī)則3設及在都解析,如果

那麼是的一級極點，而

(5.2.5)例3計算積分為正向圓周:解:根據(jù)規(guī)則1,有同理因此例3我們也可用規(guī)則3來求留數(shù):因此例4求在處的留數(shù).解:應用規(guī)則3*5.3.1在無窮遠點的留數(shù)關於在無窮遠點的留數(shù)的計算,我們有以下的規(guī)則:規(guī)則4(5.3.3)*5.4.1留數(shù)在定積分計算上的應用

複變函數(shù)是一門工程數(shù)學，在工程技術上有許多應用,複變函數(shù)在穩(wěn)定平面流場和靜電場以及在工程技術上都有許多用,由於涉及到許多專業(yè)知識,因此我們在此只簡述一點留數(shù)在定積分計算上的應用.在數(shù)學以及實際問題中往往要求出一些定積分的值,而這些定積分中,被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來;有時即便可求出原函數(shù),計算也往往比較複雜.利用留數(shù)定理,來計算這些類型的定積分,只需計算這些解析函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù);這樣一來就把問題大大簡化了.

傅立葉變換6.1傅立葉積分6.2傅立葉變換6.3函數(shù)及其傅立葉變換6.4傅立葉變換的性質6.1傅立葉積分6.1.1主值意義下的廣義積分定義1

設函數(shù)在實軸的任何有限區(qū)間上都可積.若極限存在,則稱在主值意義下在區(qū)間上的廣義積分收斂,記為例1

計算為實常數(shù)）解我們可以證明

為實數(shù))令則例2設計算積分解上式(1)稱為函數(shù)的複指數(shù)形式的傅裏葉積分公式,而等號右端的積分式稱為的傅裏葉積分(簡稱傅氏積分).從例2可以看出,函數(shù)存在如下關係

若函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件（即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：(1）連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(2)至多有有限個極值點）,並且在上絕對可積則有：

6.1.2傅氏積分存在定理

為連續(xù)點為間斷點也叫做的傅氏積分運算式

6.2.1傅立葉變換的概念6.2傅立葉變換叫做的傅氏變換,象函數(shù),可記做

=?[]叫做的傅氏逆變換,象原函數(shù),=?例3

求函數(shù)的傅氏變換

解例4求函數(shù)的傅氏變換

和傅氏積分表達式.

解若上式右端為於是6.2.2傅氏變換的物理意義—頻譜

稱為的頻譜函數(shù)

其模稱為的振幅頻譜可以證明,頻譜為偶函數(shù),即6.3－函數(shù)及其傅立葉變換

在物理和工程技術中,除了用到指數(shù)衰減函數(shù)外,還常常會碰到單位脈衝函數(shù).因為在許多物理現(xiàn)象中,除了有連續(xù)分佈的物理量外,還會有集中在一點的量（點源）,或者具有脈衝性質的量.例如瞬間作用的衝擊力,電脈衝等.在電學中,我們要研究線性電路受具有脈衝性質的電勢作用後所產生的電流；在力學中,要研究機械系統(tǒng)受衝擊力作用後的運動情況等.研究這類問題就會產生我們要介紹的脈衝函數(shù).有了這種函數(shù),對於許多集中在一點或一瞬間的量,例如點電荷、點熱源、集中於一點的品質以及脈衝技術中的非常狹窄的脈衝等,就能夠像處理連續(xù)分佈的量那樣,用統(tǒng)一的方式來加以解決.

6.3.1函數(shù)的定義

（1）看作矩形脈衝的極限（2）函數(shù)的數(shù)學定義（3）物理學家狄拉克給出的定義滿足下列兩個條件的函數(shù)稱為函數(shù)：Ⅰ

Ⅱ

1函數(shù)用一個長度等於1的有向線段來表示,如下圖

o1如下圖o定義為滿足下列條件的函數(shù)6.3.2函數(shù)的性質

（1）對任意的連續(xù)函數(shù),都有

（2）函數(shù)為偶函數(shù),即

（3）其中,稱為單位階躍函數(shù).反之,有.

6.3.3函數(shù)的傅立葉變換

由於=?可見,

?[]=1,?-1[1]=.

與常數(shù)1構成了一個傅氏變換對,即與也構成了一個傅氏變換對,即6.3.4一些常見函數(shù)的傅氏變換和一些傅氏變換對

例5

可以證明單位階躍函數(shù)的傅氏變換為

的積分運算式為

例6證明的傅氏變換為證明=?所以例7

求正弦函數(shù)的傅氏變換

可以證明??6.4傅立葉變換的性質

6.4.1線性性質

?=?設為常數(shù)則=?

?6.4.2對稱性質

若=?則以為引數(shù)的函數(shù)

的象函數(shù)為

即?

?6.4.3相似性質

=?若則??6.4.4平移性質

（1）象原函數(shù)的平移性質

若=?為實常數(shù),則

??例8

求??解因為所以?（2）象函數(shù)的平移性質

若=?為實常數(shù),則

??例9已知?求?解??顯然一般地?且則6.4.5微分性質

（1）象原函數(shù)的微分性質

若=??一般地,若?則?例10證明?證明因為所以???一般地?（2）象函數(shù)的微分性質

若=?則?或?例11已知?求?解?6.4.6積分性質

若=??則在這裏必須滿足傅氏積分存在定理的條件,若不滿足,則這個廣義積分應改為?6.4.7傅氏變換的卷積與卷積定理

1．上的卷積定義

若給定兩個函數(shù),則積分

稱為函數(shù)的卷積,記為卷積滿足下列性質例12

對函數(shù)計算卷積解所以2．傅氏變換的卷積定理=?=?(1)若則??=?=?(2)頻譜卷積定理則?若

拉普拉斯變換7.1拉普拉斯變換7.2拉普拉斯變換的基本性質7.3拉普拉斯逆變換7.4拉普拉斯變換的應用在所確定的某一域內收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為

7.1拉普拉斯變換7.1.1拉普拉斯變換的概念定義1

設函數(shù)當有定義,而且積分是一個複參量）

我們稱上式為函數(shù)的拉普拉斯變換式

,記做?

叫做的拉氏變換,象函數(shù).叫做的拉氏逆變換,象原函數(shù),=?

的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),亦即存在常數(shù)7.1.2拉普拉斯變換存在定理

若函數(shù)滿足下列條件

Ⅰ在的任一有限區(qū)間上連續(xù)或分段連續(xù),時,

Ⅱ當時,及,使得成立,則函數(shù)的拉氏變換在半平面上一定存在.此時右端的積分絕對收斂而且一致收斂.並且在此半平面內為解析函數(shù)

7.1.3一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換

例2

求單位階躍函數(shù)的拉氏變換

解

?

例1