基于目標(biāo)波動率的資產(chǎn)組合管理

基于目標(biāo)波動率的資產(chǎn)組合管理投資咨詢證號：Z0015334zhangchen_qh@劉晨昱F03116799liuchenyu_qh@報告摘要波動率是最為常見和簡明的風(fēng)險指標(biāo)，它在投資組合整體的風(fēng)險控制和管理中起著至關(guān)在這一框架下，需要根據(jù)對未來的預(yù)期波動率動態(tài)地調(diào)整組合的風(fēng)險敞口，使其保持在一個相對穩(wěn)定的水平，也就是預(yù)先設(shè)定好的目標(biāo)波動率。在理論方面，我們從期貨資金管理的角度出發(fā)，對這一方法的底層邏輯和理論基礎(chǔ)進(jìn)行了細(xì)致的解讀和剖析。在實證方面，我們的研究表明，對于中國市場的各大資產(chǎn)類別（股票、債券、商品），使用目標(biāo)波動率法均可以對投資組合的長期表現(xiàn)產(chǎn)生積極的影響，提升組合的夏普比和卡瑪比，構(gòu)建出一個更加穩(wěn)健基于本框架，我們在5%，10%，15%的目標(biāo)波動率下，使用各品種期貨構(gòu)建了三套風(fēng)險等 3 3 4 4 5 6 8 9 1.目標(biāo)波動率法簡介parity）方法最富盛名，其后被海內(nèi)外的各大“全天候”基金所采用，并發(fā)展出了許多不同的形式和改良方案。和傳統(tǒng)的投資組合管理模式相比，風(fēng)險平價模型提出在構(gòu)建一個多樣化的投資組合時，配置的重點不在于均勻分配不同資產(chǎn)的名義價值（市值），而在于均勻分配不同資產(chǎn)的風(fēng)險敞口，使得各個子資產(chǎn)的漲跌對整體的影響比較接近，從而得到一個不會受到單一資產(chǎn)過大影響、在不同市場環(huán)境下表現(xiàn)更加均衡而穩(wěn)健的風(fēng)險平價模型強調(diào)的是在橫截面上通過資產(chǎn)分散化實現(xiàn)風(fēng)險多樣化分配，使得每個子資產(chǎn)對投資組合貢獻(xiàn)等量的風(fēng)險，假如我們切換一下視角，從橫向變?yōu)榭v向，考慮投資組合在時間序列上的風(fēng)險變化情況呢？對于一般的投資組合來說，即使內(nèi)部進(jìn)行了風(fēng)險的均攤，整體上隨著市場行情的不斷變化其波動依然會起起伏伏，帶來不穩(wěn)定的風(fēng)險屬性。如果我們用波動率來刻畫風(fēng)險，希望得到隨著時間推移、市場演進(jìn)而波動率始終維持在一個常數(shù)附近的投資組合，實現(xiàn)時間序列上的等風(fēng)險，從而能夠給到投資人更加明確而穩(wěn)定的風(fēng)險預(yù)期，這就是目標(biāo)波動率鎖定（volatilitytargeting）的初衷。如圖表1所示，滬深300股指期貨自身的波動率變化范圍很大，在6%到60%之間震蕩，這會使得投資組合的風(fēng)險特征具有很強的不確定性，但如果動率，可使得組合的波動率變化范圍大大縮小。我們后面的研究分析將說明，除了能達(dá)到降低波動率自身的資料來源：iFind，銀河期貨要想讓投資組合的波動率盡可能地接近目標(biāo)波動率，需要根據(jù)市場波動率的變化動態(tài)地調(diào)整組合的杠桿或者說倉位。在預(yù)期市場波動率偏高的時候，降低組合的倉位以減小整體的風(fēng)險敞口；預(yù)期市場波動率偏低的時候，提升組合的倉位甚至加杠桿來達(dá)到目標(biāo)波動率的水平。由于波動率具有聚集效應(yīng)(vol和均值回歸效應(yīng)，遠(yuǎn)沒有收益率那么強的隨機性，對價格變化范圍的判斷可以比對價格變化方向的判斷做得更加精準(zhǔn)，甚至一些相對簡單的模型也能取得不錯的效果。在完成了對未來波動率的估計后，就能夠做到對定量地來講，設(shè)某一風(fēng)險資產(chǎn)的目標(biāo)波動率為σtarget，預(yù)期波動率為σpred，總資金量為Wtot，那么暴露給該資產(chǎn)的風(fēng)險敞口大小（持有的名義市值）Wexposure應(yīng)由下式?jīng)Q定：W=σtargetWexposuretotσpredσ事實上，這類通過改變杠桿水平來實現(xiàn)恒定目標(biāo)波動率的資產(chǎn)管理方式最早見于海外的管理期貨類基金），風(fēng)險管理機制，對產(chǎn)品整體波動率的監(jiān)控和調(diào)節(jié)是重中之重。隨著該模式的不斷進(jìn)步與完善，如今對目標(biāo)波制的歷史、緣由和實踐時的具體舉措，可以參考ManGr2.從期貨資金管理的角度看目標(biāo)波動率有著千絲萬縷的聯(lián)系。實際上，單一品種期貨的倉位管理正是一個經(jīng)典的二元資產(chǎn)配置問題，只不過此時要配置的資產(chǎn)不是股票與債券，而是投入交易的保證金和余下的現(xiàn)金。本節(jié)我們將從這個角度給出目標(biāo)波動率在期貨交易中，盡管一個出色的資金管理系統(tǒng)不能將一筆壞交易變成好交易，但一個有缺陷的資金管理系統(tǒng)完全有可能讓那些做出最為明智交易決策的投資者也陷入最終虧損的結(jié)局。人們花了大量時間和精力去尋找那些能帶來正期望收益的交易策略和信號，這確實是盈利的關(guān)鍵，但同樣重要的是如何將信號轉(zhuǎn)化為實際的交易倉位，如何將對市場的理解和觀點表達(dá)為合理的資金分配方案，這對交易系統(tǒng)能否成功也起著不可或缺的作用。事實上，比起收益率預(yù)測的高度不確定性，資金管理是整個交易過程中相對可控的那一部分，有許多數(shù)學(xué)和統(tǒng)計模型能幫助我們深入而嚴(yán)格和資產(chǎn)配置一樣，資金管理的本質(zhì)也是風(fēng)險管理，不同的資金管理方案帶來的是具有不同風(fēng)險特性的收益率分布，投資者將自己的風(fēng)險偏好表達(dá)在對收益率分布的約束中，從而在這些約束條件下優(yōu)化出最佳的倉下面先用一個通俗易懂的小例子展現(xiàn)一下不同倉位選擇對同一交易策略的巨大影響。設(shè)想我們玩一個交以選擇每次投入固定比例，比如每次1%的總資金量，我們模擬了使用這兩種倉位設(shè)置玩1000輪游戲的資金資料來源：銀河期貨可以發(fā)現(xiàn)，盡管兩種方式都能盈利，但最終的結(jié)果大有不同。二者一開始資金曲線的增長趨勢很相似，不過隨著交易次數(shù)的增多，固定比例倉位交易取得了比固定金額交易高得多的盈利，但與此同時資金曲線的波動也放大了很多。這種特點其實是建立在玩家在交易一個正期望策略的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步地，如果玩家入場的情形，發(fā)現(xiàn)在零期望的情況下，固定金額交易和固定比例交易的資金曲線比較接近，二者的收益和波動都很相似。而在負(fù)期望的情況下，兩種交易方式長期來看都會虧損，但固定比例交易的資金曲線衰減速率要明顯比固定金額交易的資金曲線衰減速率慢一些，且波動率也有所降低。另外，很重要的一點是固定比例交易幾乎沒有“破產(chǎn)”的風(fēng)險，因為玩家會在資金量減小后按規(guī)則縮減投入到游戲中的籌碼。而在允許加杠桿的條件下，具有負(fù)期望的固定手?jǐn)?shù)交易卻注定會使得玩家“爆倉”。從本質(zhì)上看，這是算術(shù)增長和幾何增長的區(qū)別，固定金額倉位管理中盈虧是關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價格變動線性變化的，而固定比例倉位管理卻有著“盈增虧縮”的特性，使得盈虧具有了凸性(convexity)和正偏度(positive在期貨交易中，固定金額倉位和每次等手?jǐn)?shù)建倉比較類似，而固定比例倉位則對應(yīng)著等杠桿率或等風(fēng)險度的建倉方式。在許多量化策略的回測中我們也確實發(fā)現(xiàn)，同種策略里，等杠桿率建倉或等風(fēng)險度建倉往往話，又該如何確定？這當(dāng)然取決于投資者的效用函數(shù)是什么，想去優(yōu)化的目標(biāo)是什么，一種簡潔明了而具有深刻內(nèi)涵的解答由貝爾實驗室的JohnKelly在1956年給出。在Kelly看來，最有效的目標(biāo)函數(shù)是對數(shù)收益率f*pqKelly比例可以寫成f*pbqa），輪游戲里收益率的期望值，所以說只有正期望的交易才值得投入f*>0去做，具有負(fù)期望的交易應(yīng)當(dāng)投入f*<0去做空，而對于那些期望收益特別大、收益風(fēng)險比特別高的交易則可通過加杠桿使f*>1的方式來達(dá)得到了下圖中這樣一條先升后降、關(guān)于f=f*左右對稱的拋物線和扇形區(qū)間。資料來源：銀河期貨觀察這一數(shù)值模擬的結(jié)果，我們可以得到幾個（1）對于一個單輪正期望策略，在倉位大小滿足0<f<2f*的條件下長期來看可以取得正的平均對數(shù)收益（或幾何平均收益），且Kelly比例f*可以使平均對數(shù)收益最大化。），f>2f*），長期（4）隨著倉位比例的增大，收益的波動會單調(diào)遞增。例如f=0.5f*和f=1.5f*提供了相同的平均對數(shù)收益，Kelly準(zhǔn)則與目標(biāo)波動率、風(fēng)險平價有著怎樣的聯(lián)系呢？要搭建起這實的金融世界中投資結(jié)果遠(yuǎn)不止兩種，收益率更適合用一個連續(xù)的概率分布來建模。在這種情況下，我們將使用收益率的期望μ和波動率σ代替二元模型中的勝率和賠率作為Kelly公式的輸入?yún)?shù)。導(dǎo)過程放在附錄中，此處只陳述最后的結(jié)論。設(shè)倉位比例為f，資金的對數(shù)增長率為g(f)，則對數(shù)增長率的E(lng(f))=一σ2f2+μf這是一條關(guān)于f開口向下的拋物線，其最大值在Kelly比例f*=處取到，為。關(guān)于這個最優(yōu)比（1）只需估計出策略的預(yù)期收益率μ和預(yù)期波動率σ就可確定Kelly比例。（2）如果體系中存在大于0的無風(fēng)險收益率r，Kelly比例將被修正為f*=r，不失一般性，下面均假設(shè)r=0，也就是將μ理解為承擔(dān)風(fēng)險獲得的收益率。（3）對數(shù)增長率lng(f)的標(biāo)準(zhǔn)差為fσ,隨著持倉比例單調(diào)遞增，這也與之前二元模型下的數(shù)值模擬相（4）當(dāng)以Kelly比例f*進(jìn)行投資時，對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差恰好為,這正是交易策略本身的以增大整體的波動換來更高的收益，這就是進(jìn)行動態(tài)波動率調(diào)整可以提升投資組合表現(xiàn)的本質(zhì)——我們希望一個恒定的目標(biāo)波動率呢？誠然，如果我們能較為精確地預(yù)測某一資產(chǎn)未來一段時間的夏普率，并據(jù)此動態(tài)無數(shù)高深莫測的量化模型、深思熟慮的主觀分析都在追逐著這道地平線上的夢幻光影，但沒有一個單一的策略能長期有效，阿爾法只會隨著市場的成熟而逐漸衰竭。簡單地取一下歷史平均，就能夠得到一個不錯的波動率估計，但對收益率取歷史平均作為預(yù)期收益率的估計只會招致災(zāi)難，這也是經(jīng)典的Markowitz均值-方差模型在業(yè)界實踐中水土不服的根本原因之一，在樣本內(nèi)最大化夏普率還不如完全忽略掉分子，去最小化投資組合的方差。我們對目標(biāo)波動率的研究也秉承了這一原則，承認(rèn)自己對于預(yù)期收益率的無知，選擇一種信息Kelly比例在期望意義下是最優(yōu)的，但一直以Kelly比例去管理倉位波動。前文已經(jīng)從標(biāo)準(zhǔn)差σ的角度闡述了這一點，本小節(jié)將從最大回撤的角度進(jìn)一步論證。假設(shè)我們的初始資金是W0，最終投資目標(biāo)（止盈線）是BW0，止損線是AW0，其中B>為f=Cf*，可以證明資金最終止盈而沒有止損的概率是：1A12/CBAP(A,B,C)~1一2/C1BA這個近似解在每一期的盈虧較小、止盈或止損需要較多輪交易時比較準(zhǔn)確，其證明思路來自概率論中著有三分之一的可能在資金翻倍之前先回撤到原來的一半！一個更有意思的點在于，此公式不直接依賴于和策略本身有關(guān)的參數(shù)p,a,b或μ,σ，而只由止損線、止盈線以及倉位大小所決定，也就是說即使原始策略比較優(yōu)質(zhì)，有著較高的勝率和賠率，以一倍的Kelly比例去投資依最終目標(biāo)的期望時間或者說期望交易次數(shù)會顯著增加。事實上，不斷交易直到觸碰止盈線A或止損線B的平)下表基于二元損益模型的假設(shè)，結(jié)合理論推導(dǎo)和MonteCarlo模擬兩種方法計算了不同倉位下在止損前止資料來源：銀河期貨Kelly比例f1=0。在加入了歷史數(shù)據(jù)、主觀分析、量化模型等等信息后，一個具有正期望的交易策略被設(shè)計一個后驗分布，最佳的分?jǐn)?shù)Kelly比例正是f1與f2的平均。無信息先驗的加入使得我們不容易高估策略的優(yōu)益率長期來看負(fù)相關(guān)入手，牛長熊短的美國股市確實具有這一特性，在溫和上漲階段加大杠桿，在急劇下跌階段減小杠桿，可以顯著地提升投資組合的表現(xiàn)。然而，中國市場的資產(chǎn)是否具備這種性質(zhì)，還有待真實數(shù)資料來源：iFinD，銀河期貨動率與收益率具備比較明顯的負(fù)相關(guān)性，這也為目標(biāo)波動率法的應(yīng)用提供了3.中國市場中的實證檢驗接下來，我們對中國市場的不同類型資產(chǎn)應(yīng)用目標(biāo)波動率法，觀察和檢驗實施了時序波動率鎖定的投資益率的標(biāo)準(zhǔn)差作為對未來新一個交易日波動率的估計，進(jìn)行滾動更新，調(diào)倉的頻率為周度，并使用當(dāng)日的期在權(quán)益資產(chǎn)大類中，回測的標(biāo)的是滬深300指數(shù)。目標(biāo)波動率法要求我們能對標(biāo)的資產(chǎn)靈活地進(jìn)行杠桿無需頻繁調(diào)倉，少部分期貨起到多頭替代的作用以調(diào)整杠桿）。為了在比較時排除期貨升貼水的影響，買入資料來源：銀河期貨資料來源：銀河期貨資料來源：銀河期貨對于目標(biāo)波動率法，初始時把所有商品的（年化）目標(biāo)資組合具有近似相等的波動貢獻(xiàn)，接下來分別獨立地根據(jù)目標(biāo)波動率進(jìn)行調(diào)倉，最后將所有商品的資金曲線加和。而在基準(zhǔn)策略中則是初始時將資金平均分配給每一種商品（對每種期貨配置相同的合約價值且杠桿率），資料來源：銀河期貨注意，商品組合中品種較多，而組合整體的波動率不僅由單個期貨品種的波動率決定，還與不同品種之間的相關(guān)性有關(guān)。在投資組合理論中，高維協(xié)方差矩陣的穩(wěn)健估計是一個很大的挑戰(zhàn)，樸素（naive）的估計方法會帶來顯著的統(tǒng)計誤差，本文受到討論的主題和篇幅所限，沒有在這方面深挖，在構(gòu)建商品組合時忽略了不同品種的相關(guān)性而只利用了協(xié)方差矩陣對角線上的信息進(jìn)行優(yōu)化，所以相關(guān)性的劇烈變化會對商品組合整體的目標(biāo)波動率鎖定效果造成一定的負(fù)面影響。但在經(jīng)過了大量的回測檢驗后，筆者發(fā)現(xiàn)了下面這個比較實用的經(jīng)驗法則：如果選擇的期貨品種足夠多而分散，使得投資組合內(nèi)具有許多低相關(guān)的資產(chǎn)對，這時當(dāng)我們把每個期貨品種的波動率鎖定為時，投資組合的波動率大約會穩(wěn)定在左右。比如在本回測中，單個期在此基礎(chǔ)上，接下來將進(jìn)行股票、債券、商品三種大類資產(chǎn)的組合配置。首先，將三類資產(chǎn)的目標(biāo)波動率設(shè)定在同一水平（這一思路與截面上的風(fēng)險平價一致），將其記為σ0。其次，要決定的是整個投資組合的目標(biāo)波動率σtarget，對此我們選擇了高風(fēng)險、中風(fēng)險和低風(fēng)險這三個不同的σhigh=15%σmiddle=10%σlow=5%使用目標(biāo)波動率法進(jìn)行資產(chǎn)配置的一大優(yōu)勢就在于可以清晰、簡明而靈活地刻畫和調(diào)控投資組合的風(fēng)險等級，基于同一底層策略按投資者的需要構(gòu)建出具有不同風(fēng)險特性的組合。在這一層次，由于資產(chǎn)只有三種（股、債、商），數(shù)量較少，所以對相關(guān)性矩陣的估計會比較有效和穩(wěn)資料來源：iFind，銀河期貨），了0左右。在這種情況下，為了降低投資組合整體的波動率，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)高配與其他品種低相關(guān)的資產(chǎn)，適當(dāng)?shù)团渑c其他品種高相關(guān)的資產(chǎn)，也就是高配債券而低配股票和商品。定量地來說，設(shè)股票、債券、商品三類資產(chǎn)組合的日對數(shù)收益率為R1,R2,R3，對應(yīng)的權(quán)重分別為w1,w2,w3，則總投資組資料來源：銀河期貨 243 243 三類資產(chǎn)的兩兩相關(guān)系數(shù)p12,p13,p23以及三個最優(yōu)權(quán)重w1,w2,w3所唯一確定，于目標(biāo)波動率鎖定的大類資產(chǎn)配置策略。為了進(jìn)行業(yè)績比較，將基準(zhǔn)設(shè)定為初始時用三分之一的資金分別配圖表11：目標(biāo)波動率法大類資產(chǎn)配置（低風(fēng)險，σtarge資料來源：銀河期貨圖表13：目標(biāo)波動率法大類資產(chǎn)配置（中風(fēng)險，σtarget=10%）資料來源：銀河期貨arge資料來源：銀河期貨圖表15資料來源：銀河期貨arge資料來源：銀河期貨可以發(fā)現(xiàn)，無論是低風(fēng)險等級、中風(fēng)險等級還是高風(fēng)險等級的的目標(biāo)波動率大類資產(chǎn)組合都相對基準(zhǔn)取得了比較穩(wěn)定的超額收益，且超額收益的穩(wěn)定性隨著目標(biāo)波動率的提高進(jìn)一步有所提升，但這并不意味著可線最高點的左側(cè)。另一方面，在杠桿交易中要尤其注意保證金風(fēng)險和尾部風(fēng)險，不可針對整體的夏普率去過隨著杠桿率的加大非線性地增長，所以在對單資產(chǎn)回測中看到了在有些時段目標(biāo)波動率法的回撤甚至超過了大回撤率已經(jīng)超過了基準(zhǔn)的水平，而投資組合的平均保證金率（持倉風(fēng)險度）大約在20%左右，此時在所有資產(chǎn)同時下跌、不同資產(chǎn)間相關(guān)性陡增時還能4.總結(jié)與展望細(xì)致的梳理和解讀，構(gòu)建了一套思路簡明、邏輯自洽而回測有效的量化資產(chǎn)組合配置框架（1）在根據(jù)目標(biāo)波動率進(jìn)行動態(tài)調(diào)倉時，調(diào)倉的倉位增減而無法連續(xù)平滑地將杠桿率調(diào)整至預(yù)設(shè)目標(biāo)。如果某一資產(chǎn)的持倉規(guī)模較小，離散調(diào)倉會產(chǎn)生較大差距，如此一來會對目標(biāo)波動率法的效果產(chǎn)生影響嗎？這是個在實踐中很值得思考所論述的那樣，理論上對波動率的預(yù)測能比對收益率的預(yù)測做得更加有效而穩(wěn)健，所以這是一個性價（3）波動率是否一定應(yīng)該與倉位的大小負(fù)相關(guān)究表明趨勢的出現(xiàn)常常伴隨著波動率的急劇變動，特別是波動率從小到大的過程，而趨勢跟蹤策獲利，需要在這一波動率增長的過程中加大倉位，這時波動率因子與倉位是正相關(guān)的。所以一個需要把多方面的信息融合起來，在這種情況下我們可以考慮把波動率因子作為預(yù)測收益率的輸入（4）在構(gòu)建大類資產(chǎn)組合的過程中，我們先將），逆，模型的參數(shù)穩(wěn)健性大大提升，我們希望借鑒這種思路將資產(chǎn)間的相關(guān)性信息利用起來，使得不僅能實現(xiàn)對單資產(chǎn)和少量資產(chǎn)組合的目標(biāo)波動率鎖定，還能讓包含大量資產(chǎn)的投資組合整體的波動率也具有更加平穩(wěn)的時序性質(zhì)。RichardGrinold在他的著作《主動投資組合管理》(ActivePortfolioManagement)中提出了主動管理律(TheFundamentalLawofActiveManagement)：IR=IC.一個投資策略的表現(xiàn)由其信息比率（InformationRatio）來衡量，而信（2）寬度(Breadth)：它是單位筆者在網(wǎng)絡(luò)上看到了一段對這一定律詼諧幽默而引人深思），策略組合和投資組合的核心就在于第二點——擴大投研的廣度，去系統(tǒng)性地承受但如何優(yōu)雅地吃下這頓午餐，依然包含著許多學(xué)問。例如大家都知道低相關(guān)的策略能夠起到相互對沖、平滑損益曲線的作用，但如果這兩個策略的波動率相差較大或不夠穩(wěn)定，就會讓對沖的效果大打折扣，這也是目標(biāo)波動率和風(fēng)險平價起作用的一個關(guān)鍵?？偠灾P者希望通過一系列風(fēng)險管理和投資組合管理方面的研金融衍生品研究所設(shè)我們的初始資金量為W0，在進(jìn)行了n輪交易游戲后結(jié)果，且勝率是p；如果勝利，收益率是b；如果失敗，收益率是-a。同時假設(shè)每輪投入總資金量的固定比例f，這樣一來進(jìn)行了n輪游戲后的資金量就是：W(1+fb)N1(1-fa)N2其中N1和N2這兩個隨機變量分別代表成功和失敗的次數(shù)，滿足N1+N2=n。定義g(f)=(1+fb)N1/n(1-fa)N2/n為資金的增長率（growthrate它是每輪游戲收益率的幾何平均值。一個直觀的想法是，能否選擇f去最大化E(g(f))呢？這是行不通的，因為g(f)具有高度正偏的概率分表整體的分布狀況。從這種分布中進(jìn)行抽樣大概率得到的都是比數(shù)學(xué)期望小得多的結(jié)果。如果執(zhí)意去優(yōu)化E(g(f))，在單輪游戲期望收益為正的條件下會得到每一輪都應(yīng)投入全部資金的結(jié)論。因為這類分布的高期望完全是靠右側(cè)長尾上的極端情形取得的，而絲毫不在乎左側(cè)的風(fēng)險。事實上，這種優(yōu)化方案的最終破產(chǎn)概資料來源：網(wǎng)絡(luò) 金融衍生品研究所（1）既然問題是g(f)的均值不具有代表性導(dǎo)致的，那可不可以去優(yōu)化一個能反映g(f)整體分布情況的統(tǒng)計量，比如中位數(shù)呢？考慮對g(f)取對數(shù)，將累乘變?yōu)槔奂樱蛊涓舆m用大數(shù)定律和中心極限定理的使用條件。在n充分大時，lng(f)將收斂到正態(tài)分布，而g(f)將收斂到對數(shù)正態(tài)分布。一個既在意料之外又在情理之中的思路是，最大化對數(shù)正態(tài)分布的中位值等價于最大化其對應(yīng)正態(tài)分布的中位值，而因為正態(tài)分布的中位值就是其平均值，所以去最大化資金的平均對數(shù)增長率（loggrowthrate）E(lng(f))是一個很不錯的解決方案。通過取對數(shù)的方式，我們減輕了原分布中的高偏度特性，得到一個分布更加對稱的隨機變量lng(f)，從而讓期望值能代表整體的分布情況。（2）優(yōu)化E(g(f))的問題在于只考慮了g(f)很大時的收益，忽視了g(f)很小時的風(fēng)險，那我們可以使用一個凸的效用函數(shù)，來表達(dá)財富增長時的邊際效用遞減和財富減少時對風(fēng)險的厭惡和警惕，一個自然的選擇同樣也是取對數(shù)，讓lng(f)作為盈虧的效用，我們要優(yōu)化的不是期望收益而是期望效用。E(lng(f))=pln(1+fb)+(1一p)ln(1一fa)在上式中對f求導(dǎo)并將導(dǎo)數(shù)設(shè)定為0便得到了倉位分配的最優(yōu)比例（Kelly比例）：f*=pq我們基于兩種不同的方法在不同的假設(shè)下來推導(dǎo)連續(xù)盈虧下的Kelly準(zhǔn)則，輸入?yún)?shù)只有單期收益率的期望μ和波動率σ。第一種方法中假設(shè)時間序列是離散的，設(shè)第n期的財富為Wn，第n期交易的收益率為Rn,每期投入交易的財富比例為f，那么有如下的遞推公式：W所以在進(jìn)行了n輪交易后，總財富是：nWfRi)(1+fRi)lng(f)=ln(1+fRi)假設(shè)收益率Ri獨立同分布，可統(tǒng)一記為隨機變量R，其概率密度函數(shù)為Q(r)，則可將資金對數(shù)增長率的E(lng(f))=∫ln(1+fr)Q(r)dr為了尋找最優(yōu)的f使得E(lng(f))最大化，我們對f求導(dǎo)，令其導(dǎo)數(shù)為0：dE(lng(f))df假設(shè)），那么投入的資金比例f也會比較小，在此條件下可將上式展開為關(guān)于fr的冪級數(shù)：rQ(r)(1-fr+f2r2-f3r3+…)dr~∫rQ(r)dr-f∫r2Q(r)dr在只保留前兩階展開項的情況下，我們發(fā)現(xiàn)線性項正好對應(yīng)R的均值μ,二次項正好對應(yīng)R的方差σ2，f*=第二種方法中假設(shè)時間序列是連續(xù)的，假定我們所投資的資產(chǎn)價格或某一策略的凈值服從漂移率為μ,波動率為σ的幾何布朗運動，倉位比例為f，那么t時刻的總財富Wt服從下面這個隨機微分方程：ttttdW=μfWdttttt其中Bt是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。使用伊藤引理對lnWt求微分可得到此方程的解：Wt=W0exp[(σ2f2+μf)t+f2σ2Bt]E(lng(f))=一σ2f2+μf這是一個關(guān)于f的二次函數(shù)，其最大值在f*=前文通過大量的理論分析和數(shù)值模擬，從期望、波動、回撤的角度建立了對Kelly倉位管理策略優(yōu)劣的~Lognormal((μf一σ2f2)t,f2σ2t)間的演化圖?？梢钥吹剑S著時間的推移，概率密度均從初始狀態(tài)1逐漸擴散開來，但不同倉位對應(yīng)的擴