2023-2024學(xué)年江西省宜春市萬載縣高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題（A卷）含解析

試卷第=page11頁，共=sectionpages44頁試卷第=page44頁，共=sectionpages44頁2023-2024學(xué)年江西省宜春市萬載縣高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題（A卷）一、單選題（每小題5分共40分）1．若經(jīng)過點(diǎn)和的直線的斜率為2，則（

）A．1 B．2 C．3 D．42．設(shè)點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（

）A． B．C． D．3．平面內(nèi)點(diǎn)P到、的距離之和是10，則動點(diǎn)P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．4．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．255．平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．線段 B．圓 C．橢圓 D．不存在6．已知，分別是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則（

）A． B． C． D．7．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.已知四棱錐是陽馬，平面，且，若，則（

）

A． B．C． D．8．已知向量，，若，，則的值為（

）A．3或1 B．2 C．1或2 D．2二、多選題（每小題5分共20分）9．以直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．10．已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則弦長可能是（

）A．1 B． C． D．311．設(shè)、為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．12．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．過點(diǎn)，的直線的傾斜角為B．若直線與直線垂直，則C．直線與直線之間的距離是D．過兩點(diǎn)的直線方程為三、填空題（每小題5分共20分）13．已知點(diǎn)到直線的距離為2，則．14．已知雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，則的最小值為.15．如圖，的二面角的棱上有，兩點(diǎn)，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于已知，，，則的長為

16．已知，是空間單位向量，，若空間向量滿足，，，且對于任意，，，則的最小值為，此時(shí)．四、解答題（共70分）17．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是.(1)求邊所在的直線方程；(2)求邊上的高所在直線的方程.18．已知直線.(1)求證：直線過定點(diǎn)M；(2)若直線分別交x軸、軸的正半軸于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.19．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，為上一點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為上一點(diǎn)，且，求的面積.20．設(shè)點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn).(1)求點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到直線的距離之和的最小值；(2)若，求的最小值.21．已知，．(1)求；(2)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．22．如圖，在直三棱柱中，，，，是的中點(diǎn)，求：(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)點(diǎn)到平面的距離；(3)求與平面所成角的正弦值.答案第=page99頁，共=sectionpages99頁答案第=page1010頁，共=sectionpages1010頁1．C【分析】根據(jù)題意，由斜率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：C2．C【分析】利用直線斜率定義數(shù)形結(jié)合即可求得直線的斜率取值范圍.【詳解】

直線過點(diǎn)，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是.故選：C3．B【分析】求出即可得出動點(diǎn)P的軌跡方程.【詳解】由題意，平面內(nèi)點(diǎn)P到、的距離之和是10，∴動點(diǎn)的軌跡為橢圓,焦點(diǎn)在軸上,,解得：，∴，∴軌跡方程為:，故選:B.4．D【分析】利用橢圓的定義及基本不等式可求答案.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值.故選：D.5．A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離之和的幾何意義分析即可【詳解】因?yàn)?，表示點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為2，又，則點(diǎn)的軌跡就是線段.故選：A6．A【分析】利用雙曲線的定義求出，，，利用余弦定理得出結(jié)果即可.【詳解】由題意可得，由雙曲線的定義得，而，解得，由余弦定理得所以.故選：A.7．D【分析】結(jié)合已知條件，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?因?yàn)?，所?故選：D.8．A【分析】由向量模長的坐標(biāo)表示求得，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求，即得結(jié)果》【詳解】，可得．又，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．故選：A9．BD【分析】先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再得到拋物線方程.【詳解】直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，故以和為焦點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程分別為和.故選：BD.10．BC【分析】先設(shè)直線，再聯(lián)立方程組得韋達(dá)定理，求出弦長,最后確定范圍即可.【詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)過斜率存在的直線方程為：，聯(lián)立方程組消去，并整理得，易得，設(shè)，，則，，，，當(dāng)斜率不存在時(shí)，故．故選:BC．11．BD【分析】利用空間數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，向量不能作除法，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，，B對；對于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，，D對.故選：BD.12．ACD【分析】對A，利用斜率得到角度；對B，根據(jù)斜率乘積為-1，計(jì)算可得；對C，利用平行線之間的距離公式計(jì)算可判斷；對D，直線方程兩點(diǎn)式成立條件即可判斷.【詳解】對A，設(shè)直線傾斜角為，則，所以傾斜角不是，故錯(cuò)誤；對B，由兩條直線垂直，則，故正確；對C，直線，即，所以與直線之間的距離是，故錯(cuò)誤；對D，過兩點(diǎn)的直線方程為，故錯(cuò)誤.故選：ACD13．【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】由題意可得，故答案為：14．9【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的最小值為9.故答案為：915．【分析】由向量的線性表示，根據(jù)向量模長根式即可代入求解.【詳解】解：由條件，知，,所以，所以,故答案為：16．13【分析】由已知求得，不妨設(shè)，，，再由已知結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求得與的值，然后求，配方后求其最小值即可求解【詳解】∵，∴．不妨設(shè)，，，由題意可知，，∴，，．∵，∴．∵，∴∴當(dāng)，時(shí)，取得最小值1，即的最小值為1，此時(shí)．故答案為：；17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求解斜率，進(jìn)而由斜截式即可求解方程，（2）根據(jù)斜率公式以及垂直關(guān)系得高所在直線斜率，即可求解.【詳解】（1）由題意可得,由斜截式可得直線方程為；（2）,所以邊上的高所在直線的斜率為，由點(diǎn)，所以邊上的高所在直線方程為.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）整理成點(diǎn)斜式，即可得到恒過定點(diǎn)，（2）把坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式方程，由乘“1”法以及基本不等式即可求解.【詳解】（1）證明：直線整理可得當(dāng)時(shí)不論為何值，，此時(shí)，，則直線恒過定點(diǎn).（2）設(shè)，，其中，，則直線AB的方程可寫成，將代入得，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故的最小值為.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件先求解出的值，然后根據(jù)橢圓定義求解出的值，結(jié)合求解出的值，則方程可求；（2）根據(jù)先求解出點(diǎn)坐標(biāo)，然后由三角形面積公式求解出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)?，可得，所以，則，，由橢圓的定義可得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因?yàn)椋?，所以，所?20．(1)(2)4【分析】（1）利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為到焦點(diǎn)的距離，再利用數(shù)形結(jié)合，即可求解；（2）利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為到準(zhǔn)線的距離，再利用數(shù)形結(jié)合，即可求解；【詳解】（1）如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由拋物線的定義知點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.于是，問題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到的距離之和最小.顯然，連接與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，故最小值為＝.

（2）如圖，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，

此時(shí)，，那么,即最小值為4.21．(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算，先求出，，然后計(jì)算數(shù)量積；（2）根據(jù)空間向量的運(yùn)算，先求出，，根據(jù)垂直關(guān)系可知它們數(shù)量積為，據(jù)此計(jì)算.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，所以?）因?yàn)椋?，所以，由?），因?yàn)椋?，所以，解?2．(1)(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用求解即可；（2）設(shè)平面的法