第五章 三角函數（32類知識歸納38類題型突破）（解析版）

第五章三角函數（32類知識歸納+38類題型突破）題型一終邊相同的角題型二象限角題型三角度與弧度的互化題型四扇形的弧長與面積公式題型五各象限角三角函數值的符號題型六三角函數求值題型七三角函數線的應用題型八平方關系的應用題型九與的關系題型十商數關系題型十一同角三角函數基本關系的綜合應用題型十二誘導公式直接求值題型十三誘導公式化簡求值題型十四正弦（型）函數的圖象與性質題型十五余弦（型）函數的圖象與性質題型十六正切（型）函數的圖象與性質題型十七三角函數值的大小比較題型十八解三角不等式題型十九求參數及其范圍綜合題型二十三角函數圖象與性質壓軸題綜合題型二十一兩角和與差的余弦公式題型二十二兩角和與差的正弦公式題型二十三兩角和與差的正切公式題型二十四二倍角的正弦公式題型二十五二倍角的余弦公式題型二十六二倍角的正切公式題型二十七降冪公式題型二十八三角恒等變換的綜合應用題型二十九三角恒等變換的實際應用題型三十三角恒等變換壓軸題綜合題型三十一確定三角函數的解析式題型三十二同名三角函數的伸縮平移變換題型三十三異名三角函數的伸縮平移變換題型三十四伸縮平移變換的參數求解題型三十五伸縮平移變換的綜合應用題型三十六伸縮平移變換壓軸題綜合題型三十七三角函數的應用綜合題型三十八三角函數新定義綜合1.了解角的定義，會角的分類，熟悉象限角與軸線角，會表示終邊相同的角．2.熟練掌握角度和弧度的互化，會求扇形的弧長、周長及面積．3.理解并掌握三角函數的定義，掌握各象限內三角函數值的符號，理解并會使用三角函數線．4.理解并掌握同角三角函數的基本關系，會給值求值及化簡求值．5.熟練掌握三角函數的圖象與性質，并會三角函數型函數的相關計算．6.熟練掌握三角恒等變換，并會公式變形及其計算．7.熟練掌握三角函數間的伸縮平移變換及相關計算求解．8.會三角函數的實際應用．角的定義平面內一條射線繞著端點從一位置旋轉到另一個位置所形成的的圖形叫做角；射線的端點叫做角的頂點，旋轉開始時的射線叫做角的始邊，旋轉終止時的射線叫做角的終邊角的分類按照角終邊的位置可分為（象限角和軸線角）按照選擇方向可分為（正角（逆時針選擇）、負角（順時針選擇）和零角（不旋轉））象限角第Ⅰ象限角：，或，第Ⅱ象限角：，第Ⅲ象限角：，第Ⅳ象限角：，或，軸線角終邊落在軸正半軸上：，終邊落在軸負半軸上：，終邊落在軸正半軸上：，終邊落在軸負半軸上：，終邊落在軸上：，，終邊落在軸上：，終邊落在坐標軸上：，，終邊落在上：，終邊落在上：，或：，β，α終邊相同?β＝α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關于x軸對稱?β＝－α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關于y軸對稱?β＝π－α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關于原點對稱?β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.終邊相同的角與終邊相同的角的集合為：，角度與弧度的關系，扇形的弧長、周長及面積公式角度制弧度制弧長公式面積公式周長公式是扇形的半徑，是圓心角的度數是扇形的半徑，是圓心角弧度數，是弧長三角函數的定義，正弦線：，余弦線：，正切線：三角函數在各象限內的符號三角函數值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．特殊角的三角函數值度弧度00100100101不存在0不存在0兩角互余的三角函數關系互余，，已知，則：兩角互補的三角函數關系互補，，，已知，則：，常見三角不等式若，則；若，則..同角三角函數的基本關系平方關系：商數關系：推導公式：誘導公式誘導類型或，，或，，或，，誘導方法：奇變偶不變，符號看象限奇偶指的是或中的奇偶，若為奇數，變函數名；，若為偶數，不變函數名；，，象限指的是原函數名的象限，再判斷符號規(guī)定：無論角多大，看作第一象限角（銳角）誘導公式，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，三角函數的圖象與性質圖象定義域值域最值當時，；當時，．當時，；當時，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數偶函數奇函數單調性在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸三角函數型函數的圖象和性質正弦型函數、余弦型函數性質，振幅，決定函數的值域，值域為決定函數的周期，叫做相位，其中叫做初相正切型函數性質的周期公式為：會用五代作圖法及整體代換思想解決三角函數型函數的圖象及性質正弦的和差公式余弦的和差公式正切的和差公式正弦的倍角公式余弦的倍角公式升冪公式：，降冪公式：，正切的倍角公式半角公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).以上稱之為半角公式，符號由eq\f(α,2)所在象限決定．和差化積與積化和差公式推導公式輔助角公式，，其中，三角函數的伸縮平移變換伸縮變換（，是伸縮量）振幅，決定函數的值域，值域為；若↗，縱坐標伸長；若↘，縱坐標縮短；與縱坐標的伸縮變換成正比決定函數的周期，若↗，↘，橫坐標縮短；若↘，↗，橫坐標伸長；與橫坐標的伸縮變換成反比平移變換（，是平移量）平移法則：左右，上下伸縮平移變換①先平移后伸縮向左平移個單位→，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋丁谙壬炜s后平移橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋丁蜃笃揭苽€單位→三角函數圖象的變換常用結論（1）對稱與周期的關系正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個周期；正切曲線相鄰兩個對稱中心之間的距離是半個周期．（2）與三角函數的奇偶性相關的結論若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數，則有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若為奇函數，則有φ＝kπ(k∈Z)．若y＝Acos(ωx＋φ)為偶函數，則有φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數，則有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數，則有φ＝kπ(k∈Z)．題型一終邊相同的角【例1】（1）（2023上·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）下列各角中，與角終邊相同的角為：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】與角終邊相同的角為，取的值即可求解.【詳解】與角終邊相同的角為，令,可得，故A滿足題意，其余選項代入可得k不是整數，故選:A.（2）（2023上·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）下列各角中，與角的終邊相同的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據終邊相同角的形式依次驗證各個選項即可.【詳解】與終邊相同的角為；當時，，A正確；其余三個選項中，不合題意.故選：A.（3）（2023下·上海長寧·高一統(tǒng)考期末）與終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知結合終邊相同的角的表示方法即可得答案.【詳解】因為，或，所以在和之間與終邊相同的角有和，故選：A鞏固訓練：1．（2023上·山東臨沂·高一?？计谀┡c角終邊相同的最小正角是（

）A． B． C． D．120°【答案】C【分析】求出與角終邊相同的角，進而可得最小正角.【詳解】與角終邊相同的角為，當時，取最小正角，為故選：C.2．（2023上·吉林長春·高一長春外國語學校?？计谀┫铝懈鹘侵校c角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據即可得到答案.【詳解】對選項A，，故A錯誤.對選項B，因為，故B正確.對選項C，，故C錯誤.對選項D，，故D錯誤.故選：B3．（2022上·山東青島·高一?？计谀┮阎希瑒t下列集合與P相等的是（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】分別判斷各選項表示終邊的位置即可得出答案.【詳解】集合P表示終邊在坐標軸上的角的集合，A選項，表示終邊在軸的角的集合，B選項，表示終邊在軸的角的集合，C選項，表示終邊在軸非負半軸的角的集合，D選項，表示終邊在坐標軸的角的集合，故選：D.題型二象限角【例2】（1）（2023上·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知角，那么的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用角終邊相同公式得到的終邊與的終邊相同，從而得到的終邊所在象限．【詳解】因為，又，所以的終邊在第三象限．故選：C．（2）（2023上·山東·高一山東師范大學附中?？计谀ǘ噙x）下列說法正確的是（

）A．鈍角大于銳角B．時間經過兩個小時，時針轉了60°C．三角形的內角必是第一象限角或第二象限角D．若是第三象限角，則是第二象限角或第四象限角【答案】AD【分析】利用銳角、鈍角范圍判斷A；利用正負角的意義判斷B；利用象限角的意義判斷CD作答.【詳解】對于A，因為銳角，鈍角，因此鈍角大于銳角，A正確；對于B，時間經過兩個小時，時針轉了，B不正確；對于C，當三角形的一個內角為時，該角不是第一象限角，也不是第二象限角，C不正確；對于D，因為是第三象限角，即，則，當為奇數時，是第二象限角，當為偶數時，是第四象限角，D正確.故選：AD（3）（2023上·廣東廣州·高一?？计谀ǘ噙x）下列四個角為第三象限角的是（

）A．2 B． C． D．【答案】BC【分析】根據角的大小及終邊相同的角判斷角所在的象限.【詳解】2弧度角為第二象限角；與的終邊相同，為第三象限角；為第三象限角；為第二象限角；故選：BC（4）（2022上·安徽阜陽·高一界首中學?？计谀ǘ噙x）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角【答案】AB【分析】由與關于x軸對稱，判斷A選項；由已知得，，再根據不等式的性質可判斷B選項；由是第一象限角判斷C選項；由不等式的性質可得，，由此可判斷D選項．【詳解】解：因為與關于x軸對稱，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A選項正確；因為是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B選項正確；因為是第二象限角，所以是第一象限角，故C選項錯誤；因為是第二象限角，所以，，所以，，所以的終邊可能在y軸負半軸上，故D選項錯誤．故選：AB.鞏固訓練1．（2023上·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學校聯(lián)考期末）已知為第三象限角，則為第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三【答案】A【分析】根據為第三象限角得到的取值范圍，進而可得的范圍，即可求解.【詳解】因為為第三象限角，所以所以當為偶數時，記,所以所以為第二象限角，當為奇數時，記,所以所以為第四象限角，所以為第二或第四象限角，故選:A.2．（2023上·吉林長春·高一長春市實驗中學?？计谀ǘ噙x）若角是第二象限角，則下列各角中是第三象限角的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用不等式表示象限角，根據象限角的定義逐項判斷可得答案.【詳解】因為角是第二象限角，所以，，對于A，，，故是第三象限角，故A正確；對于B，，，故是第一象限角，故B不正確；對于C，，，故是第三象限角，故C正確；對于D，,,故是第三象限角或軸負半軸上的角或第四象限角，故D不正確.故選：AC3．（2023上·山東臨沂·高一?？计谀ǘ噙x）已知為第四象限角，則可能為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】BCD【分析】寫出角的范圍，求得，討論，，，即可求得答案.【詳解】由題意知為第四象限角，則,則，當時，，為第四象限角，當時，，為第二象限角，當時，，為第三象限角，即可能為第二、三、四象限角，不可能為第一象限角，故選：題型三角度與弧度的互化【例3】（1）（2023上·重慶南岸·高一重慶市第十一中學校?？计谀?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用公式可求角的弧度數【詳解】角對應的弧度數為故選：C（2）（2023上·山西太原·高一太原市進山中學校校考期末）把弧度化成角度：【答案】【分析】利用角度制與弧度制的互化即可求解.【詳解】，故答案為：鞏固訓練1．（2023上·浙江杭州·高一校考期末）將化成弧度為．【答案】/【分析】根據弧度制與角度制互化公式進行求解即可.【詳解】，故答案為：2．（2023下·上海長寧·高一統(tǒng)考期末）將弧度化為角度：弧度=°．【答案】【分析】根據角度制與弧度制的互化即可求解.【詳解】.故答案為：題型四扇形的弧長與面積公式【例4】（1）（2023上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）扇形的圓心角為1，半徑為1，則扇形的面積為．【答案】/【分析】利用扇形的面積公式直接求解即可.【詳解】因為扇形的圓心角為1，半徑為1，所以該扇形的面積，故答案為：（2）（2023上·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）已知弧長為的弧所對圓心角為，則這條弧所在圓的半徑為cm．【答案】【分析】由弧長與半徑、圓心角之間的關系，代入數據即可得解.【詳解】依題意把代入公式得，解得.故答案為：.（3）（2023上·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）已知一個扇形的周長為8，則當該扇形的面積取得最大值時，圓心角大小為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據扇形面積公式及其基本不等式求出扇形面積取得最大值時的扇形半徑和弧長，利用弧度數公式即可求出圓心角.【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，由已知得，扇形面積為，當且僅當，即時等號成立，此時，則圓心角，故選：D.（4）（2023上·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）中國的扇文化有著極其深厚的人文底蘊，折扇從明代開始流行，扇面書畫、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜愛（如圖1）.制作折扇的扇面時，先從一個圓面中剪下扇形，再從扇形中剪去扇形（如圖2）.記圓面面積為，扇形的面積為，把滿足且的扇面稱為“完美扇面”，現(xiàn)有用半徑為的圓面制作而成的“完美扇面”，則弧的長為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出，設圓心角，圓的半徑為，表示出，，根據求出，再根據弧長公式計算可得.【詳解】依題意，，即，即，所以，則，設圓心角，圓的半徑為，則，，所以，因為，所以，即，解得，所以弧的長為.故選：D（5）（2023上·廣東清遠·高一統(tǒng)考期末）《樂府詩集》輯有晉詩一組，屬清商曲辭吳聲歌曲，標題為《子夜四時歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：疊扇放床上，企想遠風來.輕袖佛華妝，窈窕登高臺?詩里的疊扇，就是折扇.折扇展開后可看作是半徑為的扇形，是圓面的一部分，如圖所示.設某扇形的面積為，該扇形所在圓面的面積為，當與的比值為時，該扇面為“黃金美觀扇面”.若某扇面為“黃金美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為.【答案】【分析】利用與比值，列出方程即可.【詳解】，扇形所在圓面的面積為：且：；故答案為：（6）（2023下·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）古希臘地理學家埃拉托色尼從書中得知，位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼（現(xiàn)在的阿斯旺，在北回歸線上）記為，夏至那天正午，陽光直射，立桿無影；同樣在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亞歷山大城記為，測得立桿與太陽光線所成的角約為.他又派人測得，兩地的距離km，平面示意圖如圖，則可估算地球的半徑約為（

）（）A．km B．km C．km D．km【答案】C【分析】利用圓的性質及周長公式即可求解.【詳解】設地心為，依題意可得，，，設地球的周長為，半徑為，則，所以km.故選：C鞏固訓練1．（2022上·廣東汕尾·高一統(tǒng)考期末）已知扇形的面積為9，圓心角為2rad，則扇形的弧長為．【答案】6【分析】聯(lián)立公式和，即可得到本題答案.【詳解】設半徑為，弧長為，由題得，，，②代入①得，，所以，則.故答案為：62．（2023上·吉林長春·高一長春外國語學校校考期末）設r為圓的半徑，弧長為的圓弧所對的圓心角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據弧長、圓心角、半徑的關系，代入求解，再轉化為角度制即可.【詳解】由弧長、圓心角、半徑的關系：，弧長為的圓弧所對的圓心角：.故選：A.3．（2023上·山東聊城·高一校聯(lián)考期末）《九章算術》是我國算術名著，其中有這樣的一個問題：“今有宛田，下周三十步，徑步．問為田幾何？”意思是說：“現(xiàn)有扇形田，弧長60步，直徑32步，問面積是多少？”在此問題中，扇形的圓心角的弧度數是（

）A． B． C． D．120【答案】A【分析】根據扇形面積公式得到面積為步，設出扇形圓心角，根據求出扇形圓心角.【詳解】因為直徑步，故半徑為步，（平方步），設扇形的圓心角為，則，即．故選：.4．（2023上·湖南永州·高一統(tǒng)考期末）玉雕在我國歷史悠久，玉雕是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝加工生產成的玉雕工藝.某扇環(huán)形玉雕（扇環(huán)是一個圓環(huán)被扇形截得的一部分）尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用扇形的面積公式，利用大扇形面積減去小扇形面積即可得解．【詳解】如圖，設，，由弧長公式可得，解得，，設扇形，扇形的面積分別為，，則該壁畫的扇面面積約為．故選：A5．（2023上·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）炎炎夏日，古代人們乘涼時用的紙疊扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，得到的扇形ABC面積為，則當該紙疊扇的周長最小時，的長度為cm.【答案】【分析】設扇形ABC的半徑為，弧長為，根據扇形ABC的面積得到，紙疊扇的周長，利用基本不等式求解即可.【詳解】設扇形ABC的半徑為，弧長為，則扇形面積.由題意得，所以.所以紙疊扇的周長，當且僅當即，時，等號成立，所以此時的長度為.故答案為：6．（2023上·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形的邊長為，分別以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點，則圍成的陰影部分的面積為．【答案】【分析】利用圓半徑得到為等邊三角形得出，則陰影部分的面積用扇形與等邊三角形面積表示即可．【詳解】如圖，連接.由題意知，線段的長度都等于半徑，所以，為正三角形，則，故的面積為，扇形的面積為，由圖形的對稱性可知，扇形的面積與扇形的面積相等，所以陰影部分的面積.故答案為：.題型五各象限角三角函數值的符號【例5】（1）（2023上·山東棗莊·高一棗莊八中?？计谀┤簦?，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】直接由三角函數的象限符號取交集得答案.【詳解】由，可得為第三、第四象限角及軸非正半軸上的角；由，可得為第一、第四及軸非負半軸上的角．取交集可得，是第四象限角．故選：D．（2）（2023上·浙江杭州·高一?？计谀┤?，且，則角是第（

）象限角．A．二 B．三 C．一或三 D．二或四【答案】D【分析】先判斷角所在的象限，再判斷角所在的象限.【詳解】由條件知與異號，則為第二或第三象限角；又與異號，則為第三或第四象限角所以為第三象限角，即，，為第二或第四象限角.故選：D.（3）（2023上·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）“角是第三象限角”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】結合角所在象限的性質及充分不必要條件進行判斷即可.【詳解】當角是第三象限角時，，，于是，所以充分性成立；當，即時，角是第二或第三象限角，所以必要性不成立，故選：A．（4）（2022上·江蘇南通·高一江蘇省南通中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，點位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】運用誘導公式計算出P點坐標的符號就可判斷出P點所在的象限.【詳解】，，在第四象限；故選：D.鞏固訓練1．（2022上·上海普陀·高一曹楊二中?？计谀┮阎堑谒南笙薜慕牵瑒t點在（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據題意，由所在象限可判斷三角函數的符號，可得，可得答案．【詳解】根據題意，是第四象限角，則，則點在第二象限,故選：．2．（2023上·廣東·高一統(tǒng)考期末）已知為第二或第三象限角，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據角所在的象限，可判斷出三角函數值的符號，從而可判斷出選項.【詳解】若角為第二象限角，則，此時；若角為第三象限角，則，此時；所以當為第二或第三象限角時，.故選：A.3．（2023上·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）已知，則“”是“點在第一象限內”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】結合三角函數的想先符號判斷即可.【詳解】若，則在第一或三象限，則或，則點在第一或三象限，若點在第一象限，則，則.故“”是“點在第一象限內”的必要不充分條件.故選：B4．（2023上·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）（多選）若，，則可以是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】AC【分析】由條件，可知是第一象限角，據此得到范圍，即可確定所在的象限.【詳解】因為，，所以，故是第一象限角，由，得，當為偶數時，是第一象限角，當為奇數時，是第三象限角.故選：AC.題型六三角函數求值【例6】（1）（2023上·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）已知角的終邊經過點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角函數的定義直接構造方程求解即可.【詳解】角的終邊經過點，，解得：.故選：A.（2）（2023上·山東棗莊·高一山東省滕州市第五中學?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，已知角的始邊是軸的非負半軸，終邊經過點，則.【答案】【分析】根據三角函數的定義求得正確答案.【詳解】依題意，.故答案為：（3）（2023上·四川眉山·高一?？计谀┮阎堑氖歼吪cx軸非負半軸重合，終邊與單位圓的交點為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用任意角的三角函數的定義求值.【詳解】角的終邊與單位圓的交點為，則.故選：A（4）（2023上·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末）已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合．若角終邊上一點的坐標為，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】計算得到點的坐標，根據三角函數定義計算得到答案．【詳解】，即，則．故選：D．（5）（2023上·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知角的終邊經過點，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據三角函數的定義計算即可.【詳解】因為角的終邊經過點，所以，故A正確；，故B錯誤；，故C正確，D錯誤.故選：AC.鞏固訓練1．（2023上·山東濟寧·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與軸非負半軸重合，角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據點和三角函數概念，即可求出的值.【詳解】因為點，則，故選：A.2．（2023上·山東德州·高一統(tǒng)考期末）已知點是角終邊上的一點，且，則的值為（

）A．2 B． C．或2 D．或【答案】D【分析】根據三角函數的定義計算可得.【詳解】解：因為點是角終邊上的一點，且，所以，解得或.故選：D3．（2023上·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角函數的定義和同角三角函數的基本關系即可求解.【詳解】由三角函數的定義可得：，也即，由可得：，解得：或（舍去），因為角的終邊過點，所以，則，故選：.4．（2023上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）已知角終邊經過點，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據余弦函數的定義列式計算即可.【詳解】因為角終邊經過點，所以，所以，解得.故選：C5．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學校考期末）（多選）在直角坐標系中，角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由已知利用任意角的三角函數的定義即可求解.【詳解】則題意可得，則，A選項正確；，B選項正確；，C選項錯誤；由，角的終邊在第三象限，即，則，即角的終邊在二、四象限，所以，D選項正確.故選：ABD.題型七三角函數線的應用【例7】（1）函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解三角不等式即可.【詳解】由題可知：，解得：故選：C.【點睛】本題考查三角不等式的求解，可用三角函數線，也可結合三角函數的圖像進行求解，屬基礎題.（2）已知，那么下列命題成立的是（

）A．若，是第一象限角，則B．若，是第二象限角，則C．若，是第三象限角，則D．若，是第四象限角，則【答案】D【解析】根據三角函數線，以及特殊角的三角函數值即可容易判斷.【詳解】對選項：令滿足，但，故錯誤；對選項：令滿足，但，故錯誤；對選項：令滿足，但，故錯誤；對選項：畫出余弦線以及正切線如下所示：如圖所示：余弦線滿足，但其對應正切線，則，故正確.故選：D.【點睛】本題考查應用正切線比較三角函數值的大小，屬基礎題.（3）若0<α<2π，且sinα<，cosα>，則角α的取值范圍是（

）A． B．C． D．∪【答案】D【分析】根據題意，畫出三角函數線，找出角度范圍，即可表示.【詳解】角α的取值范圍為圖中陰影部分如下所示吧：即∪故選：.【點睛】本題考查由三角函數值的范圍，求角度的范圍，涉及三角函數線的應用，屬基礎題.（4）設a=sin1,b=cos1,c=tan1,則a,b,c的大小關系是（

）A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a【答案】C【詳解】由于，結合三角函數線的定義有：，結合幾何關系可得：，即.本題選擇C選項.鞏固訓練1．如果，那么下列不等式成立的是A． B．C． D．【答案】C【分析】分別作出角的正弦線、余弦線和正切線，結合圖象，即可求解.【詳解】如圖所示，在單位圓中分別作出的正弦線、余弦線、正切線，很容易地觀察出，即.故選C.【點睛】本題主要考查了三角函數線的應用，其中解答中熟記三角函數的正弦線、余弦線和正切線，合理作出圖象是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題.2．在上，滿足的的取值范圍是.【答案】【分析】由，結合三角函數線，即可求解，得到答案.【詳解】如圖所示，因為，所以滿足的的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數值，以及三角函數線的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.3．已知是的一個內角，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，即可求出的取值范圍.【詳解】解：，令，又，所以，作角的正切線，如圖所示.由圖可得，當時，，此時，，即的取值范圍是.故選：.【點睛】本題考查三角函數線的應用，利用三角函數線解三角不等式，屬于基礎題.題型八平方關系的應用【例8】（1）（2022上·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據角的范圍，確定的符號.然后根據正余弦的關系，即可求出答案.【詳解】因為，所以.又，所以.故選：D.（2）（2023上·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角函數的定義和同角三角函數的基本關系即可求解.【詳解】由三角函數的定義可得：，也即，由可得：，解得：或（舍去），因為角的終邊過點，所以，則，故選：.鞏固訓練1．（2023上·廣東廣州·高一?？计谀┮阎獮榈诙笙藿?且,則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據為第二象限角,可得三角函數值的正負,根據平方關系可得余弦值,根據商數關系即可得正切值.【詳解】解:由題知為第二象限角,所以,因為,所以,.故選:C2．（2023上·上海浦東新·高一校考期末）已知，，則．【答案】/【分析】直接根據同角三角函數之間的關系即可得結果.【詳解】因為，，所以，故答案為：.題型九與的關系【例9】（1）（2023上·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】利用同角三角函數之間的關系式可得，根據即可求得結果.【詳解】將兩邊同時平方可得，，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故選：C（2）（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學?？计谀┮阎?，則的值為（

）A． B． C． D．不存在【答案】B【分析】由，代入已知條件解方程即可.【詳解】，由，則，解得，由三角函數的值域可知，不成立，故.故選：B（3）（2023上·海南·高一海南華僑中學校考期末）若，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可推出，進而可得出.然后根據的范圍，開方即可求出.【詳解】因為，，所以，.所以，.又，所以，所以.故選：A.（4）（2023上·河北保定·高一統(tǒng)考期末）已知，則.【答案】/【分析】利用同角三角函數的關系，求出函數解析式，再代入求值.【詳解】已知，因為，所以令，則，則.故答案為：（5）（2023上·山東德州·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由題意得，可得，根據的范圍，可得的正負，求得的值，即可判斷A的正誤，聯(lián)立可求得的值，即可判斷B的正誤，根據同角三角函數的關系，可判斷C的正誤，平方差計算的值可判斷D的正誤，從而得到答案.【詳解】因為①，所以，則，因為，所以，所以，所以，所以②，故A錯誤；①②聯(lián)立可得，，故B正確；所以，故C錯誤；，故D正確；故選：BD鞏固訓練1．（2023上·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）已知，，則．【答案】/【分析】先通過角的范圍確定的符號，然后通過計算可得答案.【詳解】，，即，又，.故答案為：.2．（2023上·江蘇連云港·高一校考期末）已知，則.【答案】【分析】由題知，進而根據求解即可.【詳解】解：因為，所以，所以且，所以故答案為：3．（2023下·湖南長沙·高二湘府中學校考階段練習）已知，，則的值為．【答案】【分析】將的兩邊同時平方可得，結合角的范圍即可求得，即可計算出.【詳解】由題意，兩邊同時平方可得，即，所以，又因為，所以，，所以，可得．故答案為：4．（2023下·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用同角三角函數的關系式的變換求出結果．【詳解】因為，平方得，又故，則．故選：B.5．（2023上·山東濟南·高一濟南三中?？计谀ǘ噙x）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】AB選項，兩邊平方得到，再結合得到，，得到AB正確；先求出的平方，結合角的范圍求出的值.【詳解】AB選項，兩邊平方得，，即，所以，B正確，因為，所以，故，所以，A正確；CD選項，，因為，，所以，故，C錯誤，D正確.故選：ABD題型十商數關系【例10】（1）（2023上·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谀┮阎堑捻旤c為坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，點是角終邊上一點，則.【答案】1【分析】根據三角函數的定義得到，再利用弦切互化將的分子和分母同時除以得到，即可求解.【詳解】因為點是角終邊上一點，所以，所以，故答案為：1.（2）（2023上·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）已知是第二象限的角，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先將條件等式變形為分子分母為關于的二次齊次式，然后同除即可得關于的方程，求出，進而可得，則可求.【詳解】是第二象限的角，，解得，，.故選：A.（3）（2023上·吉林長春·高一長春外國語學校校考期末）已知，且為第二象限角.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函數的基本關系式求解；（2）利用三角函數的誘導公式求解.【詳解】（1）解：因為，且為第二象限角，所以；（2）.鞏固訓練1．（2023上·廣東深圳·高一深圳第二實驗學校?？计谀┮阎?，則.【答案】3【分析】利用同角的三角函數關系，結合正余弦齊次式法求值，即得答案.【詳解】由可得，故，解得，故答案為：32．（2023上·山東棗莊·高一棗莊八中?？计谀┤簦瑒t．【答案】/【分析】將原式轉化為齊次分式，化弦為切求解即可.【詳解】原式.故答案為：.3．（2023上·北京·高一北京市十一學校?？计谀┮阎?，則.【答案】【分析】在代數式上除以，再利用弦化切可求得所求代數式的值.【詳解】因為，則.故答案為：.題型十一同角三角函數基本關系的綜合應用【例11】（1）（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知，，則下列結論正確的是（

）A．為第二象限角 B．C． D．【答案】ABD【分析】利用同角三角函數的基本關系計算求解即可判斷各選項.【詳解】由同角三角函數平分關系可得，，因為，所以，解得，,因為，所以是第二象限角，故選項，正確，有同角三角函數商數關系可得，，故選項錯誤，因為，故選項正確.故選：.（2）（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知角滿足______．請從下列三個條件中任選一個作答．（注：如果多個條件分別作答，按第一個解答計分）．條件①：角的終邊與單位圓的交點為；條件②：角滿足；條件③：角滿足．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)時，原式；時，原式；【分析】（1）利用三角函數定義以及同角三角函數的平方關系即可解得；（2）將分母看成“1”，將表達式化為只含有的式子代入計算即可求得結果.【詳解】（1）條件①：因為角的終邊與單位圓的交點為，可得，，由三角函數的定義可得條件②：因為角滿足，又因為，即可得所以，可得條件③：因為角滿足，又因為，即，可得又，∴，即（2）易知由（1）可知：，當時，原式；當時，原式.（3）（2023上·江蘇無錫·高一無錫市第一中學?？计谀?1)已知角終邊上一點，求的值；(2)已知關于x的方程的兩根為和，.求實數b以及的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由三角函數的定義求得，再利用三角函數的誘導公式，結合三角函數的商數關系化簡求值即可；（2）先利用韋達定理得到，，再將兩邊平方，結合即可求出，從而利用即可得解.【詳解】（1）因為角終邊上一點，所以，所以.（2）因為關于的方程的兩根為和，所以，，因為，所以，所以，因為，所以，且，所以，則，故，所以.鞏固訓練1．（2023上·山東德州·高一統(tǒng)考期末）已知角的值點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸．若角的終邊落在直線上，則的值等于（

）A．3或3 B．或 C．3或 D．3或【答案】B【分析】討論角在第二象限或第四象限，化簡代入即可得出答案.【詳解】角的終邊落在直線上，所以角在第二象限或第四象限，所以，所以，當角在第二象限時，，所以，當角在第四象限時，，所以，故選：B.2．（2023上·上海楊浦·高一復旦附中?？计谀┮阎?、是關于的方程的兩個根.(1)求實數的值，(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）計算，根據韋達定理得到，解得答案；（2）根據三角恒等變換化簡得到原式為，代入數據計算即可.【詳解】（1）、是關于的方程的兩個根，，解得或，則，，，解得或（舍），故；（2）.3．（2023上·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末）已知角滿足.(1)若，求的值；(2)若角的終邊與角的終邊關于軸對稱，求的值.【答案】(1)，(2).【分析】（1）由同角三角函數的基本關系求解；（2）求出，由弦化切將變形為求解.【詳解】（1）因為，所以.由，得，又因為，所以，，.（2）因為角的終邊與角的終邊關于軸對稱，所以，由，得，則，所以.題型十二誘導公式直接求值【例12】（1）（2023上·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據誘導公式求解即可.【詳解】,故選：A（2）（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用誘導公式計算得到答案.【詳解】.故選：B（3）（2023上·廣東清遠·高一統(tǒng)考期末）已知，則.【答案】/【分析】根據誘導公式進行求解即可.【詳解】，故答案為：（4）（2023上·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據誘導公式求解即可.【詳解】，故選：B（5）（2023上·黑龍江大慶·高一鐵人中學?？计谀┮阎堑慕K邊經過點，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角函數的定義式可得各三角函數值，再利用誘導公式進行化簡求值.【詳解】由已知角的終邊經過點，得，，又由誘導公式得，故選：A.鞏固訓練1．（2023上·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據誘導公式運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：C.2．（2023上·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第六十八中學校考期末）的值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用三角函數的誘導公式，即可求解.【詳解】由三角函數的誘導公式，可得.故選：B.3．（2023上·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學?？计谀?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導公式將大角變小角然后計算即可.【詳解】.故選：A.4．（2023上·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知，則.【答案】【分析】根據利用誘導公式計算可得.【詳解】因為，所以.故答案為：5．（2023上·山東泰安·高一泰山中學?？计谀┤?，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數誘導公式，再結合同角的三角函數關系化為齊次式，求值可得答案.【詳解】由題意得，故選：A題型十三誘導公式化簡求值【例13】（1）（2023上·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導公式、同角三角函數的基本關系式求得正確答案.【詳解】.故選：B（2）（2023上·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知，且.求下列各式的值：(1)：(2).【答案】(1)(2)【分析】(1)根據角的范圍和同角三角函數的基本關系得出，進一步得到，將式子弦化切即可求解；(2)利用誘導公式將式子化簡為，結合（1）即可求解.【詳解】（1）因為且，所以，則，所以.（2）.（3）（2023上·廣東汕尾·高一統(tǒng)考期末）已知，且為第三象限角.(1)求和的值；(2)已知，求的值.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用平方關系可得，再由同角三角函數之間的基本關系可得；（2）利用誘導公式將化簡代入（1）中的值即可求得結果.【詳解】（1）由可得，，所以又為第三象限角，所以；;所以，；（2）利用誘導公式可得，將代入可得，即.（4）（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考開學考試）已知，.(1)求的值；(2)若角的終邊與角關于軸對稱，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平方關系式求出和，再根據商數關系式求出；（2）根據角的終邊與角關于軸對稱，推出，，，，再根據誘導公式化簡所求式子，代入可求出結果.【詳解】（1）因為，所以，由，得，得，得，得或，當時，由得，不符合題意；當時，由得，所以.（2）若角的終邊與角關于軸對稱，則，，即，，所以,,,,.（5）（2023上·湖北·高一湖北省黃梅縣第一中學校聯(lián)考期末）已知關于的方程的兩根為和，其中，(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據韋達定理得，再利用，即可求出的值；（2）先根據題意求出，再利用誘導公式化簡式子，即可得到答案.【詳解】（1）由得，方程的兩根為和，，于是，進而，即，由，對左右兩邊同時平方，得，解得．（2）原方程即，兩根為，由得，于是，（6）（2023上·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，角的始邊為軸的非負半軸，終邊在第二象限且與單位圓交于點，點的縱坐標為(1)求和的值；(2)若將射線繞點逆時針旋轉，得到角，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由三角函數的定義可得出，利用同角三角函數的基本關系可求得的值，即可求得和的值；（2）利用誘導公式可求得、，再利用誘導公式可求得所求代數式的值.【詳解】（1）解：由三角函數的定義可得，又因為為第二象限角，則，所以，，.（2）解：由題知，則，，則．鞏固訓練1．（2023上·天津靜?！じ咭混o海一中校考期末）已知，則.【答案】【分析】利用誘導公式將已知條件進行化簡成，代入式子即可求解.【詳解】，所以，則，故答案為：.2．（2023上·山西太原·高一統(tǒng)考期末）已知，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據平方關系計算可得；（2）利用誘導公式化簡，再代入計算可得.【詳解】（1）解：因為，且，所以，又，所以.（2）解：.3．（2023上·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知．(1)若角的終邊過點，求；(2)若，分別求和的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用誘導公式化簡，根據三角函數的定義求得.（2）根據齊次式的知識求得正確答案.【詳解】（1），若角的終邊過點，則，所以.（2）若，所以；.4．（2023上·新疆烏魯木齊·高一?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，角，的頂點與坐標原點重合，始邊為的非負半軸，終邊分別與單位圓交于，兩點，點的縱坐標為，點的縱坐標為.(1)求的值；(2)化簡并求值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函數的定義求出和，即可求出的值.（2）先利用三角函數誘導公式進行化簡，進而求解．【詳解】（1）由題意，根據三角函數的定義，，，由，所以，，所以.（2）由（1）知，所以.5．（2023上·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）已知．(1)化簡；(2)若為第四象限角且，求的值；(3)若，求．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）由誘導公式和同角三角函數的關系化簡即可.（2）根據象限確定三角函數的符號，由同角三角函數的關系計算.（3）由函數解析式使用誘導公式化簡計算.【詳解】（1）．（2）因為為第四象限角且，所以，所以．（3）因為，，所以．6．（2023上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期末）已知角是第二象限角，其終邊與以坐標原點為圓心的單位圓交于點．(1)求，，的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函數的定義求出，再根據同角三角關系求，；（2）利用誘導公式化簡函數的解析式，結合第一問即可得到結果．【詳解】（1）由題意可得：，且角是第二象限角，則，故.（2）由（1）可得：，則.題型十四正弦（型）函數的圖象與性質【例14】（1）（2023下·重慶·高一校聯(lián)考期末）函數的單調減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用整體法求解正弦型函數的單調性，即可求解.【詳解】令,所以，當，由于，故D正確，ABC均錯誤，故選：D（2）（2023上·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）設函數的圖象的一個對稱中心為，則的一個最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切型函數的對稱性可得出的表達式，再利用正切型函數的周期公式可求得結果.【詳解】因為函數的圖象的一個對稱中心為，所以，，可得，，則，故函數的最小正周期為，當時，可知函數的一個最小正周期為.故選：C.（3）（2022上·江蘇連云港·高一校考期末）（多選）關于函數有如下四個命題，其中正確的是（

）A．的圖象關于y軸對稱 B．的圖象關于原點對稱C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點(π，0)對稱【答案】BCD【分析】求得的奇偶性判斷選項AB；利用與是否相等判斷選項C；利用與是否相等判斷選項D.【詳解】∵的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}，∴為奇函數，其圖象關于原點對稱.故A錯誤，B正確；∵∴，∴的圖象關于直線對稱，故C正確；又，∴，∴的圖象關于點(π，0)對稱，故D正確．故選：BCD．（4）（2023上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知函數，下列說法正確的是（

）A．的定義域是 B．的圖象關于原點對稱C． D．當時，的最小值為【答案】BC【分析】由函數解析式，根據奇偶性的定義，可得A、B的正誤；根據函數解析式可得函數值可得C的正誤；根據余弦函數的性質，可得D的正誤.【詳解】對A，由函數，其定義域為，故A錯誤；對B，，故函數為奇函數，故B正確；對C，因為，故C正確；對D，當時，，則，故D錯誤.故選：BC.（5）（2022上·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知函數，則（）A．的最小正周期為 B．的圖象關于點中心對稱C．的圖象關于直線對稱 D．在上單調遞增【答案】ACD【分析】根據正弦函數的性質逐一判斷即可.【詳解】的最小正周期為，A正確，，B錯誤，，C正確，當時，，單調遞增，D正確，故選：ACD（6）（2022上·江蘇泰州·高一靖江高級中學?？茧A段練習）（多選）已知函數的圖象關于點對稱，則（

）A．B．直線是曲線的一條對稱軸C．D．在區(qū)間上單調遞增【答案】BC【分析】根據求得，結合三角函數的對稱性、周期性、單調性求得正確答案.【詳解】依題意，由于，所以，A選項錯誤.則，，所以直線是曲線的一條對稱軸，B選項正確.的最小正周期，所以，C選項正確.由得，所以不是的遞增區(qū)間，D選項錯誤.故選：BC（7）（2023上·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）已知函數的最小正周期為．(1)求的單調遞增區(qū)間；(2)當時，求的值域．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據函數的周期求出的值，即可得到函數解析式，再根據正弦函數的性質計算可得；（2）由的取值范圍，求出的范圍，再根據正弦函數的性質計算可得；【詳解】（1）解：∵的最小正周期為，∴，∴，∵，∴，∴，令，，得，，，，所以的單調遞增區(qū)間為，．（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴的值域為．（8）（2023上·寧夏銀川·高一銀川二中校考期末）已知.(1)求函數的周期和對稱中心；(2)求函數的單調遞增區(qū)間；(3)若，求函數的值域.【答案】(1),(2)(3)【分析】（1）根據正弦函數的周期和對稱中心，即可求得答案；（2）根據正弦函數的單調區(qū)間，采用整體代換方法，即可求得答案；（3）根據，確定，從而求得，進而求得答案.【詳解】（1）由，則函數最小正周期為，令，即函數的對稱中心為.（2）令，故函數的單調遞增區(qū)間為.（3）當時，，則，故的值域為.鞏固訓練1．（2023上·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的偶函數，且最小正周期，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據正弦型三角函數最小正周期與偶函數得出與，即可代入求值.【詳解】函數的周期，，解得，函數是定義在上的偶函數，，，，，，故選：A.2．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）已知（為常數），若在上單調，且，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據在上單調，可得，再由求得的一條對稱軸和一個對稱中心，進而求得，再求的值.【詳解】對于函數，，因為在上單調，所以，即.又，所以為的一條對稱軸，且即為的一個對稱中心，因為，所以和是同一周期內相鄰的對稱軸和對稱中心，則，即，所以，所以，又為的一個對稱中心，則，，則，，當時，.故選：A.3．（2023上·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）已知函數，.(1)求的最小正周期及單調增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)；，(2)最大值為2，最小值為【分析】（1）利用周期的公式求解，利用整體代入求解單調遞增區(qū)間；（2）利用的范圍求出的范圍，結合的范圍可得區(qū)間最值.【詳解】（1）的最小正周期為.令，得，于是的單調增區(qū)間為，.（2）因為，所以，因此，，.即在區(qū)間上的最大值為2，最小值為.4．（2022上·山東濟南·高一山東省濟南市萊蕪第一中學?？茧A段練習）（多選）已知函數,下列結論中正確的是（

）A．函數的周期是B．函數的圖象關于直線對稱C．函數的最小值是D．函數的圖象關于點對稱【答案】AC【分析】根據的解析式,由可求其周期,令即可求對稱軸,根據,即可求最值,根據對稱中心是令,即可判斷選項D正誤.【詳解】解:由題知,,故選項A正確;令,解得:,令,令,故選項B錯誤;因為,所以,故選項C正確;因為對稱中心縱坐標為1,故選項D錯誤.故選:AC5．（2023下·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）（多選）關于函數，下列說法正確的是（

）A．最小正周期為 B．C．圖象關于點對稱 D．在上的最大值為1【答案】ACD【分析】根據給定條件，利用正弦函數的圖象性質，逐項分析判斷作答.【詳解】對于A，的最小正周期，故選項A正確；對于B，，故選項B錯誤；對于C，令，則，所以的對稱中心為，當時，函數的圖象關于點對稱，故選項C正確；對于D，因為，所以，當即時，函數取最大值1，故選項D正確；故選：ACD.6．（2023上·安徽合肥·高一校聯(lián)考期末）（多選）下列關于函數說法正確的是（

）A．周期為 B．單調遞增區(qū)間是C．圖象關于直線對稱 D．圖象關于點對稱【答案】ABD【分析】根據正弦函數的周期性，單調性及對稱性逐一判斷即可.【詳解】對于A，函數的周期為，故A正確；對于B，令，得，所以單調遞增區(qū)間是，故B正確；對于C，因為，所以直線不是函數圖象的對稱軸，故C錯誤；對于D，因為，所以函數圖象關于點對稱，故D正確.故選：ABD.7．（2023上·廣東云浮·高一統(tǒng)考期末）已知函數(1)求的單調遞減區(qū)間；(2)求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據正弦型函數的單調性，利用整體代換法求解即可；（2）先求出的范圍，再根據正弦函數的性質求解即可.【詳解】（1）由可得，所以，所以函數單調遞減區(qū)間為：.（2）令，由可得，又因為函數在單調遞增，在單調遞減，所以在時有最大值1，又，所以，所以函數在上的值域為.8．（2023上·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知函數（）的圖象關于直線對稱，且函數的最小正周期為.(1)求；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2)最大值為2，最小值為.【分析】（1）根據正弦型函數的最小正周期公式，結合正弦型函數的對稱性進行求解即可；（2）根據正弦型函數的單調性進行求解即可.【詳解】（1）因為函數f（x）的最小正周期為π，所以.∵為f（x）的一條對稱軸，∴，又，所以，故；（2）當時，，所以當，即時，.當，即時，.題型十五余弦（型）函數的圖象與性質【例15】（1）（2023下·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）已知函數，且，則（

）A．在區(qū)間上單調遞減B．在區(qū)間上單調遞增C．在區(qū)間上單調遞減D．在區(qū)間上單調遞增【答案】D【分析】利用誘導公式及余弦函數的性質求出，，不妨取，即可得到的解析式，再根據余弦函數的性質求出其單調區(qū)間，結合選項判斷即可.【詳解】因為且，所以，即，所以，即，所以，，則，，不妨取，所以，令，，解得，，所以的單調遞減區(qū)間為，，令，，解得，，所以的單調遞增區(qū)間為，，結合各選項可知只有D正確；故選：D（2）（2023上·天津河西·高一統(tǒng)考期末）函數在的值域是.【答案】【分析】根據余弦函數的性質結合整體思想即可得解.【詳解】因為，所以，所以，所以函數在的值域是.故答案為：.（3）（2023下·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知函數，則（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關于對稱C．的圖象關于對稱 D．在上單調遞減【答案】AC【分析】通過分析函數的周期，對稱性和單調區(qū)間即可得出結論.【詳解】由題意，在中，，A正確；B項，∵函數關于對稱，∴在中，，解得：，當時，，故B錯誤.C項，在函數中，函數關于對稱，在中，，解得：當時，，C正確；D項，在函數中，函數在上單調遞減，在中，當函數單調遞減時，，解得：，∴在上單調遞減，在在上單調遞增，D錯誤.故選：AC.（4）（2023上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知函數，下列選項正確的有（

）A．的最小正周期為B．函數的單調遞增區(qū)間為C．在區(qū)間上只有一個零點D．函數在區(qū)間的值域為【答案】AC【分析】根據余弦函數的周期公式求出周期可判斷A正確；根據可判斷B不正確；求出函數在區(qū)間上的零點可判斷C正確；求出函數在區(qū)間的值域可判斷D不正確.【詳解】由可得的最小正周期為，故A正確；因為，，故B不正確；由，得，，得，，由，，得，，所以，此時，即在區(qū)間上只有一個零點，故C正確；由，得，得，即函數在區(qū)間的值域為，故D不正確.故選：AC（5）（2023上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數，.(1)求的單調遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最小值.【答案】(1)（）(2)【分析】（1）利用整體代入法與余弦函數的性質求解即可；（2）利用余弦函數的性質，結合整體法求解即可.【詳解】（1）設，∵，的單調遞增區(qū)間是，，∴由，，解得，，∴函數的單調遞增區(qū)間為（）.（2）∵，∴，∴由余弦函數的性質，當，即時，的最小值為，此時，∴當時，在區(qū)間上的最小值為.（6）（2023上·山東聊城·高一校聯(lián)考期末）已知函數，．(1)求函數的最小正周期和單調遞減區(qū)間；(2)求方程在區(qū)間上有解，求的范圍，并求出取得最小值時的值．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）利用周期公式直接求周期，令可求單調遞減區(qū)間；（2）利用余弦函數的性質求出在的值域，進而可得的范圍，然后可求出取得最小值時的值.【詳解】（1）由已知函數的最小正周期，令，得，即函數的單調遞減區(qū)間為；（2）當時，，，即，又方程在區(qū)間上有解，，當取得最小值時，，得.即當時，取得最小值.鞏固訓練1．（2023上·甘肅天水·高一校聯(lián)考期末）函數，的值域為．【答案】【分析】根據題意，換元令，然后結合二次函數的值域，即可求得結果.【詳解】令，則，當時，則函數取得最小值為，當時，函數取得最大值為，故函數的值域為.故答案為：2．（2023上·山東·高一山東省實驗中學?？计谀┖瘮档淖畲笾岛妥钚≈捣謩e是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】，函數可化簡為,令,本題轉化為函數,的最值求解即可.【詳解】根據題意,令,則,因為函數的對稱軸為,所以根據二次函數的圖像和性質得:當時,;當時,.故選:B.3．（2023·山東臨沂·高一?？计谀ǘ噙x）設函數，則關于函數說法正確的是（

）A．函數是偶函數，且函數的對稱軸是y軸B．函數的最大值為2C．函數在單調遞減D．函數圖象關于點對稱【答案】BD【分析】利用三角函數的性質對每個選項逐個判斷即可【詳解】對于A，∴，∵，為偶函數，由，得函數的對稱軸為，，所以y軸（即）為其中一條對稱軸，故A不正確；對于B，的最大值是，故選項B正確．對于C，求的遞減區(qū)間，相當于的遞增區(qū)間，令，解得，所以的遞減區(qū)間為，無論k取何整數，不包含區(qū)間，所以C不正確；由，，解得，，所以函數的對稱中心為，可得當時，其圖象關于點對稱，故D正確；故選：BD．4．（2023上·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）（多選）關于函數，下列說法正確的是（

）A．函數定義域為 B．函數是偶函數C．函數是周期函數 D．函數在區(qū)間上單調遞減【答案】BCD【分析】根據函數的定義域、奇偶性、周期性、單調性對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由于，所以的定義域不是，A選項錯誤.由得，所以，所以的定義域是，的定義域關于原點對稱，，所以是偶函數，B選項正確.，所以是周期函數，C選項正確.當時，恒成立，在上單調遞增，所以在區(qū)間上單調遞減，D選項正確.故選：BCD5．（2022上·黑龍江哈爾濱·高一尚志市尚志中學?？茧A段練習）已知函數．(1)求函數的單調區(qū)間；(2)求函數在區(qū)間上的最小值和最大值，并求此時x的值．【答案】(1)增區(qū)間，；減區(qū)間，(2)最大值為，；最小值為，【分析】（1）將整體代入的單調區(qū)間，求出的范圍即可；（2）通過x的范圍，求出的范圍，然后利用的最值的取值求解即可.【詳解】（1），令，，得，，令，，得，，故函數的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為，；（2）當時，，所以當，即時，取得最大值，當，即時，取得最小值．6．（2023上·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）已知函數．(1)求函數取得最大值、最小值的自變量的集合，并求出最大值、最小值；(2)求函數在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間．【答案】(1)答案見解析(2)和【分析】（1）直接利用余弦函數的性質求最值及取最值時的集合；（2）先通過求出的范圍，再根據余弦函數的性質求解單調增區(qū)間.【詳解】（1）對于函數，當，即時，函數取得最大值；當，即時，函數取得最小值．（2），，由和可得函數的單調增區(qū)間為和.題型十六正切（型）函數的圖象與性質【例16】（1）1．（2023上·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）函數的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用整體代入法求得正確答案.【詳解】由，解得，所以函數的定義域是.故選：D（2）（2023上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將轉化為或，利用數形結合法求解.【詳解】解：等價于或，如圖所示：由正切函數圖象知，故選：B．（3）（2022上·陜西榆林·高一?？计谀ǘ噙x）已知函數，則下列命題中正確的有（

）A．的最小正周期為B．的定義域為C．圖象的對稱中心為，D．的單調遞增區(qū)間為，【答案】ACD【分析】根據正切函數的圖象及性質解決即可.【詳解】由題知，函數，所以的最小正周期為，故A正確；的定義域滿足，即所以的定義域為，故B錯誤；圖象的對稱中心應滿足，即，所以圖象的對稱中心為，，故C正確；的單調遞增區(qū)間應滿足，即，,所以的單調遞增區(qū)間為，，故D正確；故選：ACD（4）（2023上·云南·高一云南師大附中?？计谀ǘ噙x）關于函數，下列選項正確的是（

）A．的定義域為 B．是奇函數C．的最小正周期是 D．【答案】AC【分析】根據正切函數的性質判斷A，畫出函數圖象，結合圖象判斷B、C，根據奇偶性與單調性判斷D.【詳解】解：函數的定義域與的定義域相同，即為，故A正確；由及的定義域知是偶函數，故B錯誤；作出的圖象如圖所示，由圖可知函數的最小正周期為，故C正確；由于，，且根據圖象知在上單調遞增，所以，即，故D錯誤.故選：AC．（5）（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考開學考試）（多選）已知函數，下列結論正確的是（

）A．函數恒滿足B．直線為函數圖象的一條對稱軸C．點是函數圖象的一個對稱中心D．函數在上為增函數【答案】AC【分析】根據誘導公式可判斷A選項；利用正切型函數的對稱性可判斷BC選項；利用正切型函數的單調性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，A正確；對于B選項，函數無對稱軸，B錯；對于C選項，由可得，當時，可得，所以，點是函數圖象的一個對稱中心，C對；對于D選項，當時，，所以，函數在上不單調，D錯.故選：AC.（6）（2023上·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知函數，則下列結論中正確的有（

）A． B．的定義域為C．在區(qū)間上單調遞增 D．若，則的最小值為【答案】BC【分析】根據正切函數的性質周期,定義域,函數值和單調性等選項逐個判斷即可.【詳解】已知函數,函數的定義域為,即函數的定義域為,故選項正確;則,故選項錯誤;當,則在區(qū)間上單調遞增,故選項正確;因為的周期,所以若，則的最小值為,故選項錯誤;故選:.（7）（2023下·江西撫州·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知函數，則（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關于原點對稱C．有最小值 D．在上為增函數【答案】BD【分析】根據三角恒等變換的公式，化簡得到，結合正切函數的圖象與性質，逐項判定，即可求解.【詳解】由函數，對于A中，由，所以的最小正周期為，所以A錯誤；對于B中，由的定義域關于原點對稱，且，所以的圖象關于原點對稱，所以B正確；對于C中，由函數的值域為，可得，所以C錯誤；對于D中，由，可得，可得函數單調遞增，所以在上也單調遞增，所以D正確.故選：BD.鞏固訓練1．（2023上·北京·高一北京市十一學校?？计谀┖瘮?，的值域為.【答案】【分析】求出的取值范圍，再結合二次函數的基本性質可求得結果.【詳解】令，，因為函數在上單調遞增，當時，，即，又因為函數在上單調遞增，當時，，所以，函數，的值域為.故答案為：.2．（2023上·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）函數的單調區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據正切函數的性質可得，解得答案.【詳解】由，解得，所以函數的單調區(qū)間是.故選：A.3．（2023上·吉林·高一吉林市田家炳高級中學?？计谀ǘ噙x）已知函數，則（

）A．B．的最小正周期為C．把向左平移可以得到函數D．在上單調遞增【答案】ABD【分析】根據正切函數的函數值，周期，平移對應的解析式變化，和函數的單調性即可求解.【詳解】,所以，故選項A正確；的最小正周期為，故選項B正確；把向左平移可以得到函數，故選項C錯誤；，，單調遞增，所以在上單調遞增，故D選項正確；故選：ABD.4．（2023上·山東煙臺·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知函數，則（

）A．的最小正周期為 B．的定義域為C．若，則（） D．在其定義域上是增函數【答案】ABC【分析】根據正切函數的性質依次求出函數的最小正周期、定義域、單調區(qū)間即可求解.【詳解】A：，函數的最小正周期為，故A正確；B：由，得，所以函數的定義域為，故B正確；C：，得，解得，故C正確；D：，解得所以函數在上單調遞增，故D錯誤.故選：ABC.5．（2023上·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知函數，則下列判斷正確的是（

）A．的定義域是 B．的值域是RC．是奇函數 D．的最小正周期是π【答案】AB【分析】由正切函數定義域，值域，奇偶性，最小正周期判斷各選項即可.【詳解】A選項，令，得，故A正確；B選項，因函數值域為R，則值域為R，故B正確；C選項，，則不是奇函數，故C錯誤；D選項，的最小正周期為，故D錯誤.故選：AB6．（2023上·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知函數，則下列說法正確的是（

）A．的值域是R B．在定義域內是增函數C．的最小正周期是 D．的解集是【答案】AC【分析】根據正切函數的性質，即可判斷A項；求出函數的單調遞增區(qū)間，即可判斷B項；由周期公式，求出周期，即可判斷C項；由時，由的解，即可得出，求解不等式即可得出解集，判斷D項.【詳解】對于A項，根據正切函數的性質，可知的值域是R，故A項正確；對于B項，由可得，，所以的定義域為.由可得，，所以在每一個區(qū)間上單調遞增，故B項錯誤；對于C項，由已知可得，的最小正周期是，故C項正確；對于D項，當時，由，可得.則由可得，，所以的解集是，故D項錯誤.故選：AC.7．（2023上·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知函數，則下列敘述中，正確的是（

）．A．函數的圖象關于點對稱 B．函數在上單調遞增C．函數的最小正周期為 D．函數是偶函數【答案】AB【分析】由正切函數性質判斷AB，利用特殊值及周期性、奇偶性的定義判斷CD．【詳解】，A正確；時，，因此此時遞增，B正確；，但不存在，C，D均不正確，故選：AB．題型十七三角函數值的大小比較【例17】（1）（2023上·浙江·高一期末），則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據正弦函數的單調性可得的大小，根據對數的性質可得的大小.【詳解】因為，且在區(qū)間上為增函數，所以，即；又，故．故選：C.（2）（2023·北京朝陽·二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用中間值可以比較三者的大小關系.【詳解】因為，，，所以.故選：D.（3）（2023上·湖南婁底·高一?？计谀┤?，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據正弦函數的單調性、對數函數的單調性進行判斷即可.【詳解】因為，所以，又，所以．故選：D（4）（2023上·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據利用對數函數的性質和正弦函數的性質求解.【詳解】解：因為，，，所以．故選：C（5）（2021上·江西宜春·高一統(tǒng)考期末）設，，，則下列結論成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】比較、的大小關系，并比較、、三個數與的大小關系，由此可得出、、三個數的大小關系.【詳解】且，即，又，因此，.故選：B.（6）（2023上·山東濟寧·高一曲阜一中?？计谀┫铝羞x項中大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用三角函數的單調性即可求解【詳解】因為，且在內單調遞減，在內單調遞減，在內單調遞增，所以，，，所以故選：B（7）（2023下·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦函數在上單調遞減得到，再利用正切函數在上單