河北保定市2024屆高三下學(xué)期第二次校模擬考試數(shù)學(xué)試題

河北保定市2024屆高三下學(xué)期第二次校模擬考試數(shù)學(xué)試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現(xiàn)隨機等可能取出小球，當(dāng)有放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為；當(dāng)無放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為，則（）A．， B．，C．， D．，2．一個正三角形的三個頂點都在雙曲線的右支上，且其中一個頂點在雙曲線的右頂點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知集合，，，則集合()A． B． C． D．4．如圖，在中，，且，則（）A．1 B． C． D．5．設(shè)拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為()A． B． C． D．6．若復(fù)數(shù)滿足，則（其中為虛數(shù)單位）的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知，則“m⊥n”是“m⊥l”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）．若從含有兩個及以上陽爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中都恰有兩個陽爻的概率為（）A． B． C． D．9．設(shè)雙曲線（a＞0，b＞0）的一個焦點為F（c,0）（c＞0），且離心率等于，若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx＝0截得的弦長為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．10．已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足（且），若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．11．雙曲線的漸近線方程為()A． B．C． D．12．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值為（）A．1 B．2 C． D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量，的夾角為，且，則=____14．已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7，則a2=____.15．設(shè)函數(shù)滿足,且當(dāng)時,又函數(shù),則函數(shù)在上的零點個數(shù)為___________.16．已知雙曲線（，）的左，右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于，兩點，若，，則雙曲線的離心率為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知a＞0，證明：1．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線、的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線，分別交于、兩點（異于極點），定點，求的面積19．（12分）如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，且，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.20．（12分）已知數(shù)列中，a1=1，其前n項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，若數(shù)列為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．21．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，點是棱的中點，，.（1）若，證明：平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最大值為，且，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關(guān)系.【題目詳解】可能的取值為；可能的取值為，，，，故，.，，故，,故，.故選B.【題目點撥】離散型隨機變量的分布列的計算，應(yīng)先確定隨機變量所有可能的取值，再利用排列組合知識求出隨機變量每一種取值情況的概率，然后利用公式計算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.2、D【解題分析】

因為雙曲線分左右支，所以，根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點坐標(biāo)為，，將其代入雙曲線可解得．【題目詳解】因為雙曲線分左右支，所以，根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點坐標(biāo)為，，將其代入雙曲線方程得：，即，由得．故選：．【題目點撥】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．3、D【解題分析】

根據(jù)集合的混合運算，即可容易求得結(jié)果.【題目詳解】，故可得.故選：D.【題目點撥】本題考查集合的混合運算，屬基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

由題可,所以將已知式子中的向量用表示，可得到的關(guān)系，再由三點共線，又得到一個關(guān)于的關(guān)系，從而可求得答案【題目詳解】由，則，即，所以，又共線，則.故選：C【題目點撥】此題考查的是平面向量基本定理的有關(guān)知識，結(jié)合圖形尋找各向量間的關(guān)系，屬于中檔題.5、B【解題分析】

由圓過原點，知中有一點與原點重合，作出圖形，由，，得，從而直線傾斜角為，寫出點坐標(biāo)，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點坐標(biāo)，從而得三角形面積．【題目詳解】由題意圓過原點，所以原點是圓與拋物線的一個交點，不妨設(shè)為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，，∴，．故選：B.【題目點撥】本題考查拋物線與圓相交問題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點是其中一個交點，從而是等腰直角三角形，于是可得點坐標(biāo)，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點，恐怕難度會大大增加，甚至沒法求解．6、B【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定，即可得的最大值.【題目詳解】由知，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與點間的距離，又復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在圓的圓心到的距離為1，所以.故選：B【題目點撥】本題考查了復(fù)數(shù)模的定義及其幾何意義應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

構(gòu)造長方體ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α為面ADD1A1，底面ABCD為β，然后再在這兩個面中根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)倪x取直線為m，n即可進行判斷．【題目詳解】如圖，取長方體ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α為面ADD1A1，底面ABCD為β，直線=直線。若令A(yù)D1＝m，AB＝n，則m⊥n，但m不垂直于若m⊥，由平面平面可知，直線m垂直于平面β，所以m垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線∴m⊥n是m⊥的必要不充分條件．故選：B．【題目點撥】本題考點有兩個：①考查了充分必要條件的判斷，在確定好大前提的條件下，從m⊥n?m⊥？和m⊥?m⊥n？兩方面進行判斷；②是空間的垂直關(guān)系，一般利用長方體為載體進行分析．8、B【解題分析】

基本事件總數(shù)為個，都恰有兩個陽爻包含的基本事件個數(shù)為個，由此求出概率.【題目詳解】解：由圖可知，含有兩個及以上陽爻的卦有巽、離、兌、乾四卦，取出兩卦的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（巽，乾），（離，兌），（離，乾），（兌，乾）共個，其中符合條件的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（離，兌）共個，所以，所求的概率.故選：B.【題目點撥】本題滲透傳統(tǒng)文化，考查概率、計數(shù)原理等基本知識，考查抽象概括能力和應(yīng)用意識，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

由題得，，又，聯(lián)立解方程組即可得，，進而得出雙曲線方程.【題目詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為，且被圓x2+y2﹣2cx＝0截得的弦長為2，所以②又③由①②③可得：，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C【題目點撥】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，圓的方程的有關(guān)計算，考查了學(xué)生的計算能力.10、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式，進而求出，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論.【題目詳解】依題意有，①，②①②得，又因為，所以，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【題目點撥】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì)，要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法，屬于中檔題.11、A【解題分析】

將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其漸近線方程為，化簡整理即得漸近線方程.【題目詳解】雙曲線得，則其漸近線方程為，整理得.故選：A【題目點撥】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.12、B【解題分析】

因為圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則圓心為（3,0），半徑為4，根據(jù)相切可知，圓心到直線的距離等于半徑，可知的值為2，選B.【題目詳解】請在此輸入詳解！二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

根據(jù)平面向量模的定義先由坐標(biāo)求得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得；將化簡并代入即可求得.【題目詳解】，則，平面向量，的夾角為，則由平面向量數(shù)量積定義可得，根據(jù)平面向量模的求法可知，代入可得，解得，故答案為：1.【題目點撥】本題考查了平面向量模的求法及簡單應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的定義及運算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)二項展開式的通項公式即可得結(jié)果.【題目詳解】解：(2x-1)7的展開式通式為：當(dāng)時，，則.故答案為：【題目點撥】本題考查求二項展開式指定項的系數(shù)，是基礎(chǔ)題.15、1【解題分析】

判斷函數(shù)為偶函數(shù)，周期為2，判斷為偶函數(shù)，計算，，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像到答案.【題目詳解】知，函數(shù)為偶函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于對稱。，故函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，且。為偶函數(shù)，，，當(dāng)時，，，函數(shù)先增后減。當(dāng)時，，，函數(shù)先增后減。在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)在上的圖像，發(fā)現(xiàn)在內(nèi)圖像共有1個公共點，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為1．故答案為：.【題目點撥】本題考查了函數(shù)零點問題，確定函數(shù)的奇偶性，對稱性，周期性，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.16、【解題分析】

設(shè)，由雙曲線的定義得出：，由得為等腰三角形，設(shè)，根據(jù)，可求出，得出，再結(jié)合焦點三角形，利用余弦定理：求出和的關(guān)系，即可得出離心率.【題目詳解】解：設(shè)，由雙曲線的定義得出：，，由圖可知：，又，即，則，為等腰三角形，，設(shè)，，則，，即，解得：，則，，解得：，，解得：，，在中，由余弦定理得：，即：，解得：，即.故答案為：.【題目點撥】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，求雙曲線離心率.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析【解題分析】

利用分析法，證明a即可．【題目詳解】證明：∵a＞0，∴a1，∴a1≥0，∴要證明1，只要證明a1（a）1﹣4（a）+4，只要證明：a，∵a1，∴原不等式成立．【題目點撥】本題考查不等式的證明，著重考查分析法的運用，考查推理論證能力，屬于中檔題．18、（1），；（2）.【解題分析】

（1）先把參數(shù)方程化成普通方程，再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程；（2）先利用極坐標(biāo)求出弦長，再求高，最后求的面積．【題目詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為：，因為曲線的普通方程為：，曲線的極坐標(biāo)方程為；（2）由（1）得：點的極坐標(biāo)為，點的極坐標(biāo)為，，點到射線的距離為的面積為.【題目點撥】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化，同時也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問題，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）（2）不存在；詳見解析【解題分析】

（1）設(shè)，，，通過，即為的中點，轉(zhuǎn)化求解，點的軌跡的方程．（2）設(shè)直線的方程為，先根據(jù)，可得，①，再根據(jù)韋達(dá)定理，點在橢圓上可得，②，將①代入②可得，該方程無解，問題得以解決【題目詳解】（1）設(shè)，，則，，由題意知，所以為中點，由中點坐標(biāo)公式得，即，又點在圓：上，故滿足，得.曲線的方程.（2）由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，因為，故，即①，聯(lián)立，消去得：，設(shè)，，，，，因為四邊形為平行四邊形，故，點在橢圓上，故，整理得②，將①代入②，得，該方程無解，故這樣的直線不存在.【題目點撥】本題考查點的軌跡方程的求法、滿足條件的點是否存在的判斷與直線方程的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．20、（1）（2）【解題分析】

（1）項和轉(zhuǎn)換可得，繼而得到，可得解；（2）代入可得，由數(shù)列為遞增數(shù)列可得，，令，可證明為遞增數(shù)列，即，即得解【題目詳解】（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．（2）．=2·-λ（2n+1）．∵數(shù)列為遞增數(shù)列，∴，即．令，即．∴為遞增數(shù)列，∴，即的取值范圍為．【題目點撥】本題考查了數(shù)列綜合問題，考查了項和轉(zhuǎn)換，數(shù)列的單調(diào)性，最值等知識點，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.21、（1）見解析（2）【解題分析】

(1)由已知可證得平面,則有,在中,由已知可得,即可證得平面,進而證得結(jié)論.(2)過作交于,由為的中點,結(jié)合已知有平面.則,可求得.建立坐標(biāo)系分別求得面的法向量,平面的一個法向量為,利用公式即可求得結(jié)果.【題目詳解】（1）證明：平面，平面，,又四邊形為正方形，.又、平面，且，平面..中，，為的中點，.又、平面，，平面.平面，平面平面.（2）解：過作交于，如圖為的中點，，.又平面，平面.，.所以,又、、兩兩互相垂直