三角函數(shù)第一章復(fù)習(xí)

第一章三角函數(shù)復(fù)習(xí)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)誘導(dǎo)公式任意角的三角函數(shù)弧度制與角度制任意角的概念應(yīng)用應(yīng)用(扇形弧長(zhǎng)與面積公式)知識(shí)結(jié)構(gòu)1.1.1任意角知識(shí)樹象限角終邊相同的角零角負(fù)角正角任意角1、角的概念的推廣正角負(fù)角oxy的終邊的終邊零角1.1.1任意角的概念3、終邊相同的角2、在坐標(biāo)系中討論角象限角結(jié)論：所有與α終邊相同的角的集合：S={β|β=α+k·360°,k∈Z}終邊相同的角:S={β|β=α+k·360°,k∈Z}注意：①

k∈Z；②α是任意角；③終邊相同的角不一定相等。反之，相等的角的終邊一定相同（終邊相同的角與相等角的區(qū)別）④k·360°與α之間是“＋”，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋(－30°)，即與－30°角終邊相同；注意：這是一類角，有無(wú)窮多個(gè)，共同特征是它們的終邊位置相同，所以可以構(gòu)成集合。類型1：終邊相同的角及象限角1.已知α＝－1910°，(1)把α寫成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第幾象限角，(2)求θ，使θ與α的終邊相同，且-720°≤θ<0°.[分析]解答本題(1)用α除以360°，使余數(shù)為正，且使余數(shù)在[0°，360°)即可；(2)根據(jù)終邊相同角的定義，用公式α＋k·360°列不等式求解．

角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上的角象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}象限角角集合表示銳角{α|0°<α<90°}0°～

90°{α|0°≤α<90°}小于90°的角{α|α<90°}第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}銳角、0°～

90°的角、小于90°的角、第一象限角的區(qū)別銳角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角的關(guān)系用Venn圖表示，如圖所示．跟蹤練習(xí)

類型2：判斷角所在的象限[分析]由角α為第二象限角，可求出α的范，進(jìn)而求出2α和的范圍，然后討論角所在的象限．討論依據(jù)是：相差360°的整數(shù)倍的角的終邊相同．

作業(yè)：

角的終邊落在“射線上”、“直線上”及“互相垂直的兩條直線上”的一般表示式類型3：終邊落在直線上的角1.若角α的終邊在函數(shù)y＝－x的圖象上，試寫出角α的集合．跟蹤練習(xí)[分析]

函數(shù)y＝－x的圖象是第二、四象限的平分線，可以先在0°～360°范圍內(nèi)找出滿足條件的角，進(jìn)一步寫出滿足條件的所有角，并注意化簡(jiǎn)．區(qū)間角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域內(nèi)角．其寫法可分為三步：類型4：區(qū)間角的表示(1)先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°到360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β}；(3)起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α、β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．

1.若角α的終邊在下圖中陰影所表示的范圍內(nèi)，則α角組成的集合為________．跟蹤練習(xí)1.1.1弧度制知識(shí)樹弧長(zhǎng)公式扇形的面積公式弧度制表示任意角角度制1、弧度的定義:︱α︱=lr2、弧度與角度的換算:180°=πrad3、弧長(zhǎng)公式：4、扇形面積公式：1.1.2弧度制

特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表角度

弧度

0

角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起

關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)

(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，第一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)

(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng)．角α終邊所在的坐標(biāo)軸集合x軸非負(fù)半軸{α|α＝2kπ，k∈Z}x軸非正半軸{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}x軸{α|α＝kπ，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上的角y軸非負(fù)半軸y軸非正半軸y軸坐標(biāo)軸終邊落在坐標(biāo)軸上的角角α終邊所在象限集合第一象限第二象限第三象限第四象限象限角

1.把下列各角從角度化成弧度或從弧度化成角度

類型1：弧度制與角度制的互換

1.已知一扇形的周長(zhǎng)為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？[分析]正確使用扇形弧長(zhǎng)公式及面積公式．類型1：弧長(zhǎng)和扇形面積公式的應(yīng)用1.1.1任意角的三角函數(shù)知識(shí)樹各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號(hào)三角函數(shù)線單位圓定義誘導(dǎo)公式一一般定義三角函數(shù)定義1.一般定義2.單位圓定義三角函數(shù)定義域3.三角函數(shù)定義域RR3、任意角的三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)xyocosxysinxyotan++––++––++––一全正，二正弦，三正切，四余弦.o正弦函數(shù)在第I、

Ⅱ象限及y軸正半軸上為正余弦函數(shù)在第I、Ⅳ象限及x軸正半軸上為正正切函數(shù)在第I、Ⅲ象限為正3、終邊相同的角的三角函數(shù)值（公式一）：終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等.4、三角函數(shù)線類型1：求某一個(gè)角的三角函數(shù)值

例2.求

的三角函數(shù)值解法一：用一般定義解法二：利用單位圓解法三：利用誘導(dǎo)公式

類型2：三角函數(shù)值在個(gè)象限的符號(hào)

3、已知tanx>0，且sinx＋cosx>0，那么角x是(

)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角類型3：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（一）

例題.求下列三角函數(shù)的值類型3：三角函數(shù)線例題.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的

大小

（1）與（2）與

1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系知識(shí)樹同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值證明三角函數(shù)定義1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

平方關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：注意：

類型1：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

[分析]先考慮利用平方關(guān)系求出cosα，再利用商數(shù)關(guān)系求出tanα.

類型2：整體代入求值類型3：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明

類型4：與方程有關(guān)的三角函數(shù)問(wèn)題

例、已知sinθ、cosθ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0的兩個(gè)根．求：(1)sin3θ＋cos3θ；(2)tanθ＋cotθ.[分析]根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表示出a與sinθ·cosθ間的關(guān)系，然后利用(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ求出a值，最后再求(1)、(2)的值．1.1.1三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式知識(shí)樹公式六綜合應(yīng)用公式二三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式三公式四公式五第一象限第三象限第四象限第二象限第一象限第二象限sincostan奇變偶不變，符號(hào)看象限其中“奇變偶不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)當(dāng)k為偶數(shù)為同名，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)為異名；“符號(hào)”是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)；“看象限”是指把α看成銳角時(shí)等式左邊三角函數(shù)值的符號(hào)．誘導(dǎo)公式作用公式一將角轉(zhuǎn)化為0~2π求值公式二將0~2π的角轉(zhuǎn)化為0~π的角求值公式三將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值公式四將角轉(zhuǎn)化為0~的角求值公式五實(shí)現(xiàn)正弦和余弦的互相轉(zhuǎn)化公式六實(shí)現(xiàn)正弦和余弦的互相轉(zhuǎn)化誘導(dǎo)公式的作用類型1：直接求值問(wèn)題利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)的步驟(1)“負(fù)化正”——用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)化；(2)“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角；(3)“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角；(4)“銳求值”——得到銳角的三角函數(shù)后求值．

類型2：條件求值問(wèn)題解決條件求值問(wèn)題，要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系，要么將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，要么將所求式進(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．總之，設(shè)法消除已知式與所求式之間的種種差異是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

類型3：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問(wèn)題三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)方法(1)利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)；(2)常用“切化弦”法，即通常將表達(dá)式中的切函數(shù)化為弦函數(shù)；(3)注意“1”的變形應(yīng)用．化簡(jiǎn)：

sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；類型4：三角函數(shù)式的條件求值問(wèn)題

例、已知，求