高中數(shù)學(xué)人教版(A版)必修-第一冊(2019)-5.2.1-三角函數(shù)的概念課件-2021-2022學(xué)

第五章三角函數(shù)5.2.1三角函數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)

借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義；（重點）01

根據(jù)定義認(rèn)識函數(shù)值的符號，理解誘導(dǎo)公式一；（重點）02

能初步運用定義解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡單問題；（重點、難點）03

04學(xué)科素養(yǎng)

三角函數(shù)的概念；

數(shù)學(xué)抽象

三角函數(shù)的第一定義和第二定義；數(shù)學(xué)建模

三角函數(shù)的第二定義的推導(dǎo)；邏輯推理

通過定義求角的三角函數(shù)值；數(shù)學(xué)運算01知識回顧RetrospectiveKnowledge弧度制的定義：我們規(guī)定：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度，記作1rad，讀作1弧度.角的擴(kuò)充：一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；一條射線繞其端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個零角．所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合象限角與軸線角：把角的頂點固定在原點，角的終邊始終與x軸的非負(fù)半軸重合.那么，角α的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角.如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上,這個角稱軸線角.銳角α的正弦、余弦和正切叫做角α的銳角三角函數(shù)，分別記作sinα，cosα，tanα.ABCα02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，下面借助這些知識研究上一節(jié)開頭提出的問題，即研究單位圓上點的運動．如圖，單位圓⊙O上的點P，以A為起點做逆時針方向旋轉(zhuǎn)，我們將如何建立一個數(shù)學(xué)模型，刻畫單位圓上點P位置變化情況．

根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗，我們選擇在坐標(biāo)系上研究這個問題．

如圖，以單位圓的圓心O為原點，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，則點A的坐標(biāo)為(1，0)，點P的坐標(biāo)為(x，y)，射線OA從x軸非負(fù)半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α，終止位置為OP．﹒【探究】當(dāng)時，點P的坐標(biāo)是什么？當(dāng)或時，點P的坐標(biāo)又是什么？給定一個角α，它的終邊OP與單位圓的交點P的坐標(biāo)是唯一確定的嗎？

利用勾股定理可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，點P的坐標(biāo)是；當(dāng)或

時，點P的坐標(biāo)分別是和，它們都是唯一確定的(如圖).

【結(jié)論】一般地，任意給定一個角α∈R，它的終邊OP與單位圓的交點P的坐標(biāo)，無論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的.所以，點P的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y都是角α的函數(shù)．下面給出這些函數(shù)的定義．

設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊與單位圓相交于點P(x，y)(1)把點P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y=sinα；(2)把點P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα，即x=cosα；(3)把點P的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的比值叫做α的

,記作,即(x≠0).設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊與單位圓相交于點P(x，y)，可以看出，當(dāng)時，α的終邊始終在y軸上，這時P點的橫坐標(biāo)x等于0，所以

無意義.除此之外，正切tanα與實數(shù)α是一一對應(yīng)的，所以它們之間也是函數(shù)關(guān)系，稱為正切函數(shù)．

角確定→角的終邊唯一確定→角的終邊與單位圓的交點確定→角的三角函數(shù)值（正弦值、余弦值、正切值）確定，所以角的三角函數(shù)值是關(guān)于角的函數(shù)，通常我們把自變量角記為x，對應(yīng)的函數(shù)值記為y．

我們把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常把它們記為：正弦函數(shù)：y=sinx，

x∈R；余弦函數(shù)：y=cosx，

x∈R；正切函數(shù)：y=tanx，

．OxyP(x，y)α1M利用銳角三角函數(shù)概念可得：與按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的結(jié)論是相同的．【探究】在初中我們學(xué)了銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，設(shè)，把按銳角三角函數(shù)的定義求得的銳角x的正弦值記為z1，并把按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的x的正弦值記為y1，那么z1與y1相等嗎？對于余弦、正切也有相同的結(jié)論嗎？【例1】求的正弦、余弦和正切值．Oxy1M【解析】在坐標(biāo)系中作出∠AOB=，易知:∠AOB的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為，所以如何求α角的三角函數(shù)值?借助解直角三角形求得α終邊與單位圓交點的坐標(biāo)，再通過三角函數(shù)的定義求出α的三角函數(shù)值．【例2】如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊上任意一點P(不與原點O重合)的坐標(biāo)為(x，y)，點P與原點的距離為r．求證：【解析】設(shè)α的終邊與單位圓交于點P0(x0，y0)，分別過點P，P0作x軸的垂線PM，P0M0，垂足分別為M，M0，則:|P0M0|＝|y0|，|PM|＝|y|，|OM0|＝|x0|，|OM|＝|x|，ΔOMP∽ΔOM0P0α思考：根據(jù)例2，若已知點P（x，y）為角α終邊上異于原點的任意一點，那么α的各個三角函數(shù)值是否可以確定？α故只要知道角α終邊上任意一點，那么就可以求得角α的各個三角函數(shù)值，顯然任意角α的三角函數(shù)值僅與α有關(guān)，而與點P在角的終邊上的位置無關(guān).【練習(xí)】已知點P（3，-4）在角α終邊上，求sinα，cosα，tanα的值．

不存在

常見角的三角函數(shù)值

三角函數(shù)sinαcosαtanα定義域象限角三角函數(shù)值符號探究：根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，確定正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域，再確定這三種三角函數(shù)的值在各個象限的符號．

象限角函數(shù)值取正：一全二正弦，三切四余弦.【例3】求證：角θ為第三象限角的充要條件為

【證明】首先證明充分性，即如果①②都成立，那么θ為第三象限角.

因為sinθ＜0成立，所以θ角的終邊位于第三或者第四象限，也可能和y軸的負(fù)半軸重合；

又因為tanθ＞0成立，所以θ角的終邊位于第一或者第三象限；綜合可知：θ為第三象限角．再證明必要性：即如果θ為第三象限角，那么①②都成立.

因為θ是第三象限角，根據(jù)定義有sinθ＜0，cosθ＞0，所以必要性成立，即充要性成立．由三角函數(shù)的定義，我們知道：終邊相同的角的對應(yīng)三角函數(shù)相同.由此得到一組公式：cos(α+2kπ)=cosαtan(α+2kπ)=tanαsin(α+2kπ)=sinα其中k∈Z

公式一說明了角和三角函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系是多角對一值的關(guān)系：即給定一個角，它的三角函數(shù)值只要存在，就是唯一的；反過來，給定一個三角函數(shù)值，卻有無數(shù)個角與之對因．利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求[0，2π]的角的三角函數(shù)值．【例4】確定下列三角函數(shù)值的符號：【例5】求下列三角函數(shù)值：

【練習(xí)】填表：03拓展提升ExpansionAndPromotion04歸納總結(jié)SumUp1.三角函數(shù)的第一定義和第二定義：2.三角函數(shù)值在各個象限和軸線上的符號：象限角函數(shù)值取正：一全二正弦，三切四余弦.3.終邊相同的角的統(tǒng)一三角函數(shù)值相等cos(α+2kπ)=cosαtan(α+2kπ)=tanαsin(α+2kπ)=sinα若點P（x，y）為角α終邊上異于原點的任意一點，則0