15.1分式（重難點突破）解析版

15.1分式（重難點）【知識點一、分式及基本概念】1.分式的定義分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成AB的形式，如果除式B中含有字母，那么稱AB為分式．分式AB中，A注：①分式可以理解為兩個整式相除的商，分母是除數(shù)，分子是被除數(shù)，分?jǐn)?shù)線是除號。②整式B作為分母，則整式B≠0.③只要最終能轉(zhuǎn)化為AB形式即可.④B中若無字母，則變成系數(shù)乘A，為整式2.分式的相關(guān)概念(1)分式AB有意義的條件：分母不為0，即B≠(2)分式的值為0的條件：分子為0，且分母不為0，即A=0且B≠0(3)分式為正的條件：分子與分母的積為正，即AB>0(4)分式為負(fù)的條件：分子與分母的積為負(fù)，即AB<0【知識點二、分式的基本性質(zhì)】1.分式的基本性質(zhì)(1)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)（特點）如下：①分母不能為零;②分?jǐn)?shù)分子分母同乘除不為零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變;③分?jǐn)?shù)的通分與約分（短除法）.(2)分式是分?jǐn)?shù)的拓展延伸，分式有與分?jǐn)?shù)類似的性質(zhì)（特點）：①分式分母也不能為零②分式分子分母同乘除一個不為零的整式，分式大小不變。即：用式子表示為AB=A?CB?C(C≠0)或AB=③分式的通分與約分在知識點4中詳細(xì)講解.2.分式的約分與通分(1)分式的約分：與分?jǐn)?shù)的約分類似，約去分式分子、分母中的公因式（最大公約數(shù)）.注：有時，分式分子、分母需進行一定的轉(zhuǎn)換才有公因式。(2)最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．注：約分一般是將一個分式化為最簡分式，分式約分所得的結(jié)果有時可能成為整式．(3)分式的通分：利用分式的性質(zhì)，將分式的分母變成最小公倍數(shù)，分子根據(jù)分母擴大的倍數(shù)相應(yīng)擴大，不改變分式的值。步驟：①通過短除法，求出分式分母的最小公倍數(shù)；②分母變?yōu)樽钚」稊?shù)的值，確定原式分母擴大的倍數(shù);③分子對應(yīng)擴大相同倍數(shù).(4)最簡公分母：幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母．考點1：分式的定義例1．在-3x、5x+y、-1x、6π、-1A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)分式的定義(A與B為整式，B≠0，且B中含有字母，形如AB【詳解】解：分式分別是5x+y，-1x，-故選：A．【點睛】本題主要考查分式的定義，熟練掌握分式的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1-1】．在xx，12，x2+12，3xyA．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【詳解】解：分式有xx，3x+y共故選A【點睛】本題主要考查分式的定義，注意π不是字母，是常數(shù)，所以3xyπ【變式訓(xùn)練1-2】．在代數(shù)式a+1a，1m，13，x-1πA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，且B≠0，那么式子AB【詳解】解：根據(jù)分式定義，在在代數(shù)式a+1a，1m，13，x-1π，2x+y中，分式有a+1故選：B．【點睛】此題主要考查了分式定義，關(guān)鍵是掌握分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．【變式訓(xùn)練1-3】．在代數(shù)式1m，14，2xyπ-1，2x+y，a+2aA．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】判斷一個式子是否是分式，關(guān)鍵看分母中是否含有未知數(shù)，然后對分式的個數(shù)進行判斷．【詳解】解：1m，2故選：A．【點睛】本題主要考查分式的定義，熟練掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵，注意π是常數(shù)，不是字母．【變式訓(xùn)練1-4】．代數(shù)式-32x，x-y5，-x+y2，7y2A．1個 B．2個 C．3 D．4個【答案】B【分析】分式的定義，一般地，如果A、B（B不等于零）表示兩個整式，且B中含有字母，那么式子AB就叫做分式，其中A稱為分子，B【詳解】解：代數(shù)式-32x，x-y5，-x+y2，7y23x，2a故選：B．【點睛】本題考查了分式的定義，掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵．考點2：分式有意義無意義例2．若分式3x-1有意義，則x的取值范圍是（

A．x=0 B．x=1 C．x≠0 D．x≠1【答案】D【分析】根據(jù)分式有意義，分母不等于0列式計算即可得解．【詳解】解：由題意得，x-1≠0，解得x≠1．故選：D．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．【變式訓(xùn)練2-1】．若分式x+3xx-1有意義，則x的取值范圍是（A．x≠0 B．x≠1 C．x≠3 D．x≠0或x≠1【答案】D【分析】根據(jù)分式有意義的條件進行求解即可．【詳解】解：要使分式x+3x則xx-1≠0，即∴x≠0且x≠1，故選：D．【點睛】此題考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不為0是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2-2】若分式ma+b有意義，則下列說法正確的是（

A．a(chǎn)+b=0 B．a(chǎn)=-b C．a(chǎn)+b≠0 D．-a=b【答案】C【分析】根據(jù)分式有意義的條件確定a+b≠0，得到答案．【詳解】解：因為分式有意義，∴a+b≠0，故選C．【點睛】本題主要考查分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2-3】若分式22-x無意義，則x的值為（

A．2 B．-2 C．±2 D．0【答案】A【分析】直接利用分式無意義的條件，即分母等于零可得答案．【詳解】解：若分式22-x無意義，則2-x=0解得x=2．故選：A．【點睛】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式無意義的條件是分母等于零是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2-4】當(dāng)x=1時，下列分式?jīng)]有意義的是（）A．x+2x B．xx-1 C．x-2x【答案】B【分析】當(dāng)分母為0時，分式?jīng)]有意義，從而可得答案．【詳解】解：x+2x無意義則x=0，故Axx-1無意義則x=1，故Bx-2x無意義則x=0，故Cxx+1無意義則x=-1，故D故選B【點睛】本題考查的是分式無意義的條件，熟記分式無意義時，分母等于0是解本題的關(guān)鍵．考點3：分子分母擴大相同倍數(shù)例3．把分式aba3+b3中的aA．不變 B．?dāng)U大為原來的3倍C．縮小為原來的13 D．?dāng)U大為原來的9【答案】C【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進行計算即可解答．【詳解】解：由題意得：3a?3b3a∴把分式aba3+b3中的a和b故選：C．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-1】如果把分式2x3x-2y中的x、y都擴大3倍，那么分式的值（

A．?dāng)U大3倍 B．不變 C．?dāng)U大6倍 D．縮小3倍【答案】B【分析】分別將原式中的x、y都用3x、3y代入，在用分式的基本性質(zhì)進行化簡，即可求解．【詳解】解：原式===2x故選：B【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，理解性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-2】將aba+b中的a，b都擴大3倍，則分式的值（

A．?dāng)U大3倍 B．?dāng)U大6倍 C．?dāng)U大9倍 D．不變【答案】A【分析】利用分式的基本性質(zhì)進行計算判斷即可解答．【詳解】解：由題意得：3a?3b3a+3b∴將aba+b中的a、b都擴大3倍，則分式的值擴大3故選：A．【點睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-3】將分式3xx-y中的x,y的值都擴大為原來的2A．?dāng)U大為原來的2倍 B．?dāng)U大為原來的4倍 C．縮小為原來的一半 D．不變【答案】D【分析】利用分式的基本性質(zhì)即可完成．【詳解】解：3?2x當(dāng)分式3xx-y中的x,y的值都擴大為原來的2故選：D．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-4】若分式5n-5mmn中m，n的值同時擴大為原來的2倍，則此分式的值（

A．?dāng)U大為原來的2倍 B．不變C．?dāng)U大為原來的4倍 D．縮小為原來的1【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)約分化簡．【詳解】解：5×2n-5×2m2m×2n故選：D【點睛】本題考查分式的化簡，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點4：分式的基本性質(zhì)例4．下列各式從左到右變形正確的是(

)A．a(chǎn)b=a+2b+2 B．a(chǎn)b=【答案】C【分析】根據(jù)分式的分子分母都乘或除以同一個不為零的整式，分式的值不變，可得答案．【詳解】解：∵分式的分子分母都乘或除以同一個不為零的整式，分式的值不變，∴A，B，D錯誤，C選項中分子分母都乘以mm≠0，分式的值不變，原變形正確，故此選項符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)．分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．【變式訓(xùn)練4-1】下列約分正確的是（）A．x+1x2+1=1x+1 B．a(chǎn)+m【答案】C【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A．x+1x2+1B．a(chǎn)+ma+n≠mC．x+23x+6=x+2D．x6x2故選：C．【點睛】本題主要考查了分式基本性質(zhì)的應(yīng)用，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4-2】下列各式正確的是（

）A．1+nm=-1+nm B．n+am+a=【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進行計算即可解答．【詳解】解：A、1+nmB、n+am+aC、m+1m-1D、15b-5a2a-6b故選：D．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4-3】下列等式從左到右的變形正確的是（

）A．b2x=by2xy B．a(chǎn)ba2【答案】B【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變，解決即可．【詳解】A、b2xB、abaC、baD、ba故選：B．【點睛】此題考查了分式的基本性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用．【變式訓(xùn)練4-4】下列式子從左到右變形正確的是（

）A．-aa-b=-ab-a B．a(chǎn)b=【答案】B【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、-aa-bB、abC、abD、ab故選：B．【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的分子和分母同乘（除以）同一個不為0的整式，分式的值不變，是解題的關(guān)鍵．考點5：值為0例5．若分式x-1x-1的值為0，則x=【答案】-1【分析】根據(jù)分式的值為0的條件：分子為0且分母不為0解答即可．【詳解】解：由題意，得x-1=0解得x=-1，故答案為：-1．【點睛】本題考查了分式的值為0的條件，熟練掌握分式的值為0的條件是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-1】當(dāng)x=時，分式1-x1+x的值為0【答案】1【分析】根據(jù)分式的值為0的條件進行解答即可．【詳解】解：∵分式1-x1+x的值為0∴1-x=0，1+x≠0，解得：x=1．故答案為：1．【點睛】本題考查了分式的值為0的條件，即分式值為0的條件是分子等于0且分母不等于0．【變式訓(xùn)練5-2】．若分式4-aa2-2a-8的值為0【答案】-4【分析】根據(jù)分式值為零及分式有意義的條件列方程及不等式求解．【詳解】解：由題意可得4-a解得：a=-4，故答案為：-4【點睛】本題考查分式值為零的條件，理解當(dāng)分子為零且分母不等于零時分式的值為零是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-3】．當(dāng)x=時，分式x-1x+1的值為【答案】1【分析】根據(jù)分式值為零，分子等于零，分母不為零得：x-1=0，x+1≠0求解即可．【詳解】解：由題意，得：x-1=0x+1≠0，解得：x=1故答案為：1．【點睛】此題考查了分式值為零的條件，熟練掌握分式值為零的條件“分子為零，分母不為零”是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-4】．若分式a-22a+3的值為0，則a的值為__________【答案】2【分析】分式的值為0的條件是：分子為0，分母不為0，據(jù)此求解即可．【詳解】解：依題意得a-22a+3則a-2=0，2a+3≠0，解得a=2，a≠-3故答案為：2．【點睛】本題考查了分式的值，注意分式的值為0，即分式的分子為0，且分母不為0．考點6：最簡分式例6．已知三張卡片上面分別寫有6，x-1，x2-1，從中任選兩張卡片，組成了三個不同的式子：6x2-1，x-1【答案】1【分析】直接利用分式的基本性質(zhì)以及最簡分式的定義形如AB，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0【詳解】解：x-16x-1x其中是最簡分式的有：6x2-1故答案為：1．【點睛】本題主要考查了最簡分式的定義，熟知相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6-1】．給出下列3個分式：①y2x，②x+yx2+y2【答案】①②/②①【分析】根據(jù)最簡分式的定義即可求出答案．【詳解】解：∵x-yx2-∴其中的最簡分式有：①y2x，②x+y故答案為：①②．【點睛】本題考查了最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．掌握最簡分式定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6-2】．有下列分式：①a+2a2-4；②5xyx2-xy；③14a21(a-b)；④x+3【答案】④⑤【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義進行判斷即可．【詳解】解：①a+2a②5xyx③14a21(a-b)④x+3x⑤a2綜上分析可知，最簡分式有④⑤．故答案為：④⑤．【點睛】本題主要考查了最簡分式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握定義，在化簡結(jié)果中（利用約分的方法），分子和分母已沒有公因式，這樣的分式稱為最簡分式．【變式訓(xùn)練6-3】．給出下列3個分式：①b2a，②a+ba2+b2【答案】①②/②①【分析】根據(jù)最簡分式的定義，即可求解．【詳解】解：①b2a②a+ba③m+2nm故答案為：①②．【點睛】本題主要考查了最簡分式，熟練掌握分子分母除了1之外沒有其它公因式的分式是最簡分式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6-4】．下列分式：①x+1x2-1；②x2-1x2+1；【答案】②③/③②【分析】利用最簡分式的定義逐項判斷即可．【詳解】解：x+1x2-1x2-1xm2-4m+4my2-362y+12故答案為：②③．【點睛】本題考查最簡分式的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握最簡分式的定義．一個分式的分子和分母沒有公因式時,這個分式稱為最簡分式．考點7：約分例7．31．約分：(1)xy(2)m2【答案】(1)y(2)1-m【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母同時除以即可得出答案；（2）首先把分子分母分解因式，再約去公因式即可．【詳解】（1）解：原式=xy?y（2）原式=m-121+m【點睛】此題主要考查了約分，熟練掌握約分的方法是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7-1】．約分：(1)-24(2)a【答案】(1)-3(2)a-1【分析】（1）分子分母同時約去公因式8y（2）分子和分母分別利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后約分即可．【詳解】（1）解：-24=-3x（2）解：a==a-1【點睛】本題主要考查了分式的約分，正確找到分子和分母的公因式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7-2】．下列分式中，哪些是最簡分式？若不是最簡分式，請化為最簡分式．(1)x2(2)3aa-b【答案】(1)不是最簡分式，化簡見解析(2)不是最簡分式，化簡見解析【分析】最簡分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．據(jù)此即可求解.【詳解】（1）解：x2則x2（2）解：3aa-b則3aa-b【點睛】本題考查了最簡分式，利用分式的基本性質(zhì)對分式進行化簡．最簡分式判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進行約分．【變式訓(xùn)練7-3】．約分：(1)24a(2)(a-2b)【答案】(1)6b(2)a-2b【分析】（1）找出分子分母的公因式，并給分子、分母同時除以公因式即可得出約分結(jié)果；（2）先對分母、分子因式分解，再找出公因式即可．【詳解】（1）解：24ab（2）解：(a-2b)2【點睛】本題主要考查約分，解題的關(guān)鍵是找出分子分母的公因式．【變式訓(xùn)練7-4】．約分：(1)6xy(2)2a(a-1)8a【答案】(1)-3xy；(2)-1【分析】（1）直接利用分式的性質(zhì)化簡得出答案；（2）首先將分母括號中的1-a變?yōu)?a-1【詳解】（1）解：6xy（2）2a(a-1)8a=-2a(a-1)=-1【點睛】此題主要考查了分式的約分，找到分子分母的公因式是解題關(guān)鍵．考點8：通分例8．將下列各分式通分：(1)3a2b(2)2xx-5與3x【答案】(1)6b2a